Équations et inéquations

Ce chapitre couvre le programme de Tronc Commun sur le thème « Équations et inéquations ».

Objectifs du chapitre

Comprendre les notions clés du chapitre « Équations et inéquations »
Appliquer les méthodes vues en cours sur des exercices
Résoudre des problèmes concrets liés au chapitre

equations-inequations-systemes

Équations, inéquations et systèmes

Équations et inéquations du premier degré (dont $|ax+b|=c$), signe du binôme, équations et inéquations du second degré (discriminant, somme/produit des racines, factorisation, signe du trinôme), et systèmes de deux équations à deux inconnues (méthode du déterminant).

Dans tout ce cours, on désigne par $S$ l'ensemble des solutions.

I. Équations du premier degré à une inconnue

1. Équations de la forme $ax+b=0$

si $a=0$ et $b=0$ : $S=\mathbb{R}$ ;
si $a\ne0$ et $b=0$ : $S=\{0\}$ ;
si $a=0$ et $b\ne0$ : $S=\varnothing$ ;
si $a\ne0$ et $b\ne0$ : $S=\left\{-\dfrac ba\right\}$.

2. Équations de la forme $(ax+b)(cx+d)=0$

$(ax+b)(cx+d)=0 \iff ax+b=0$ ou $cx+d=0$, donc $S=\left\{-\dfrac ba,-\dfrac dc\right\}$.

3. Équations de la forme $\dfrac{ax+b}{cx+d}=0$

On détermine d'abord le domaine d'existence $D_E$ ($cx+d\ne0$), puis on résout $ax+b=0$ en ne gardant que les solutions appartenant à $D_E$.

4. Équations de la forme $|ax+b|=c$

Pour $(E): |ax+b|=c$ : si $c<0$, $S=\varnothing$ ; si $c\ge0$, $S=\left\{\dfrac{c-b}a,\dfrac{-c-b}a\right\}$.

II. Inéquations du premier degré à une inconnue

1. Signe du binôme $ax+b$

Le binôme $ax+b$ est du signe contraire de $a$ pour $x<-\dfrac ba$, s'annule en $x=-\dfrac ba$, et du signe de $a$ pour $x>-\dfrac ba$.

2. Signe d'un produit ou d'un quotient

Pour étudier le signe de $(ax+b)(cx+d)$ ou de $\dfrac{ax+b}{cx+d}$ ($cx+d\ne0$), on étudie le signe de chaque binôme séparément, puis on applique la règle des signes (produit/quotient de deux facteurs de même signe ? positif, de signes contraires ? négatif).

III. Équations et inéquations du second degré

1. Définitions

Pour $a\ne0$ : $ax^2+bx+c=0$ est une équation du second degré ; $\Delta=b^2-4ac$ est son discriminant.

2. Résolution de $ax^2+bx+c=0$

si $\Delta<0$ : $S=\varnothing$ ;
si $\Delta=0$ : $S=\left\{-\dfrac{b}{2a}\right\}$ ;
si $\Delta>0$ : $S=\left\{\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a},\dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a}\right\}$.

3. Somme et produit des racines

Si $x_1,x_2$ sont solutions de $ax^2+bx+c=0$ : $x_1+x_2=-\dfrac ba$ et $x_1\times x_2=\dfrac ca$.

4. Factorisation du trinôme

Pour $p(x)=ax^2+bx+c$ :

$\Delta<0$ : pas de factorisation ;
$\Delta=0$ : $p(x)=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2$ ;
$\Delta>0$ : $p(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.

5. Signe du trinôme $ax^2+bx+c$

$\Delta<0$ : $p(x)$ est du signe de $a$ pour tout $x$ ;
$\Delta=0$ : $p(x)$ est du signe de $a$ pour tout $x\ne-\frac{b}{2a}$ (et s'annule en $-\frac{b}{2a}$) ;
$\Delta>0$ (racines $x_1

IV. Systèmes de deux équations du premier degré à deux inconnues

1. Équation du premier degré à deux inconnues

$ax+by+c=0$ (avec $(a,b)\ne(0,0)$) ; le couple $(x_0,y_0)$ est solution $\iff ax_0+by_0+c=0$.

2. Résolution par la méthode du déterminant

Pour $(S): \begin{cases}ax+by=c\\a'x+b'y=c'\end{cases}$, le déterminant est $D=\begin{vmatrix}a&b\\a'&b'\end{vmatrix}=ab'-a'b$.

si $D\ne0$ : solution unique $x=\dfrac{D_x}{D}=\dfrac{cb'-c'b}{D}$, $y=\dfrac{D_y}{D}=\dfrac{ac'-a'c}{D}$ ;
si $D=0$ et $D_x=0$ et $D_y=0$ : une infinité de solutions ;
si $D=0$ et ($D_x\ne0$ ou $D_y\ne0$) : pas de solution.

Méthode à retenir

Méthode — résoudre une équation « quotient nul » ou « produit nul » : déterminer d'abord le domaine d'existence (dénominateurs non nuls), résoudre chaque facteur/numérateur égal à zéro, puis ne garder que les solutions appartenant au domaine.

Méthode — étudier le signe d'une expression : factoriser en produit/quotient de binômes ou d'un trinôme, dresser le tableau de signe de chaque facteur, puis combiner selon la règle des signes.

Méthode — se ramener à un système linéaire connu : pour un système impliquant $\dfrac1{f(x)}$, $|f(x)|$, etc., poser $X=\dfrac{1}{f(x)}$ (ou $X=|f(x)|$) pour se ramener à un système linéaire classique, le résoudre, puis revenir à $x$ en résolvant $f(x)=\dfrac1X$ (ou $|f(x)|=X$).

Exercices

Faciles

Exercice 1 — Équations du premier degré

Facile 10 min

Résoudre dans $\mathbb{R}$ :
1) $2(x+2)=4\left(\dfrac12x+1\right)$
2) $-3x+4=6\left(-\dfrac12x+1\right)$
3) $4(1-x)+2=0$
4) $5(1-x)-5=0$

1) $2x+4=2x+4$, soit $0=0$ : toujours vrai. $S=\mathbb{R}$.

2) $-3x+4=-3x+6$, soit $4=6$ : impossible. $S=\varnothing$.

3) $4-4x+2=0 \iff 6-4x=0 \iff x=\dfrac32$. $S=\left\{\dfrac32\right\}$.

4) $5-5x-5=0 \iff -5x=0 \iff x=0$. $S=\{0\}$.

Exercice 2 — Équations produit nul

Facile 10 min

Résoudre dans $\mathbb{R}$ :
1) $(3x-1)(2-x)=0$
2) $(-3x-5)(x^2-9)=0$
3) $4(x-1)^2=25$

1) $3x-1=0$ ou $2-x=0$ : $x=\dfrac13$ ou $x=2$. $S=\left\{\dfrac13,2\right\}$.

2) $-3x-5=0$ ou $x^2-9=0$ : $x=-\dfrac53$ ou $x=\pm3$. $S=\left\{-\dfrac53,-3,3\right\}$.

3) $(x-1)^2=\dfrac{25}4 \iff x-1=\pm\dfrac52 \iff x=\dfrac72$ ou $x=-\dfrac32$. $S=\left\{-\dfrac32,\dfrac72\right\}$.

Exercice 3 — Équations avec valeur absolue

Facile 10 min

Résoudre dans $\mathbb{R}$ :
1) $|4x-5|=0$
2) $|3x-1|=14$
3) $|2x+1|+6=0$

1) $4x-5=0 \iff x=\dfrac54$. $S=\left\{\dfrac54\right\}$.

2) $3x-1=14$ ou $3x-1=-14$ : $x=5$ ou $x=-\dfrac{13}3$. $S=\left\{-\dfrac{13}3,5\right\}$.

3) $|2x+1|=-6<0$ : impossible. $S=\varnothing$.

Exercice 4 — Couples solutions d'une équation à deux inconnues

Facile 10 min

On considère $(E): 3x+2y-1=0$. Parmi les couples suivants, déterminer ceux qui sont solutions de $(E)$ : $(0,1)$ ; $(1,-1)$ ; $(-1,2)$ ; $\left(\dfrac12,3\right)$.

$(0,1)$ : $3(0)+2(1)-1=1\ne0$. Non solution.

$(1,-1)$ : $3(1)+2(-1)-1=0$. Solution.

$(-1,2)$ : $3(-1)+2(2)-1=0$. Solution.

$\left(\dfrac12,3\right)$ : $3\left(\dfrac12\right)+2(3)-1=6{,}5\ne0$. Non solution.

Moyens

Exercice 1 — Équations quotient nul avec domaine

Moyen 10 min

Résoudre dans $\mathbb{R}$ :
1) $\dfrac{x+3}{8-x}=0$
2) $\dfrac{x^2-9}{5x}=0$
3) $\dfrac{(x+1)(x-2)}{x^2-4}=0$

1) Domaine : $x\ne8$. $x+3=0 \iff x=-3$ (valide). $S=\{-3\}$.

2) Domaine : $x\ne0$. $x^2-9=0 \iff x=\pm3$ (les deux valides). $S=\{-3,3\}$.

3) Domaine : $x^2-4\ne0 \iff x\ne\pm2$. Numérateur nul : $x=-1$ ou $x=2$. Mais $x=2$ est exclu du domaine. $S=\{-1\}$.

Exercice 2 — Inéquations du premier degré

Moyen 10 min

Résoudre dans $\mathbb{R}$ :
1) $3x-1\ge0$
2) $5x-2(x+3)>3x+1$
3) $-5x-\dfrac{\sqrt3}2\ge0$

1) $x\ge\dfrac13$. $S=\left[\dfrac13,+\infty\right[$.

2) $5x-2x-6>3x+1 \iff 3x-6>3x+1 \iff -6>1$ : impossible. $S=\varnothing$.

3) $-5x\ge\dfrac{\sqrt3}2 \iff x\le-\dfrac{\sqrt3}{10}$. $S=\left]-\infty,-\dfrac{\sqrt3}{10}\right]$.

Exercice 3 — Signe d'un produit et d'un quotient de binômes

Moyen 10 min

1) Dresser le tableau de signe de $\dfrac{3x-1}{2x+3}$ et de $\left(\dfrac12x+3\right)(-x+2)$.
2) Résoudre $\left(\dfrac12x+3\right)(-x+2)\le0$ et $\dfrac{3x-1}{2x+3}>0$.

1) $3x-1$ s'annule en $\dfrac13$ ; $2x+3$ s'annule en $-\dfrac32$ (exclu du domaine).
Signe du quotient : $+$ sur $\left]-\infty,-\frac32\right[$, $-$ sur $\left]-\frac32,\frac13\right[$, $+$ sur $\left]\frac13,+\infty\right[$.

$\dfrac12x+3$ s'annule en $-6$ ; $-x+2$ s'annule en $2$.
Signe du produit : $-$ sur $]-\infty,-6[$, $+$ sur $]-6,2[$, $-$ sur $]2,+\infty[$.

2) $\left(\dfrac12x+3\right)(-x+2)\le0 \iff x\in\,]-\infty,-6]\cup[2,+\infty[$.

$\dfrac{3x-1}{2x+3}>0 \iff x\in\,\left]-\infty,-\dfrac32\right[\cup\left]\dfrac13,+\infty\right[$.

Exercice 4 — Équations du second degré

Moyen 10 min

Résoudre dans $\mathbb{R}$ :
1) $2x^2+2x-12=0$
2) $5x^2-4x+2=0$
3) $3x^2-4x=0$
4) $x^2-2\sqrt3x+1=0$

1) Divisons par 2 : $x^2+x-6=0$. $\Delta=1+24=25>0$. $x=\dfrac{-1\pm5}2$ : $x=2$ ou $x=-3$. $S=\{-3,2\}$.

2) $\Delta=16-40=-24<0$. $S=\varnothing$.

3) $x(3x-4)=0 \iff x=0$ ou $x=\dfrac43$. $S=\left\{0,\dfrac43\right\}$.

4) $\Delta=(2\sqrt3)^2-4=12-4=8>0$. $x=\dfrac{2\sqrt3\pm2\sqrt2}2=\sqrt3\pm\sqrt2$. $S=\{\sqrt3-\sqrt2,\sqrt3+\sqrt2\}$.

Exercice 5 — Somme et produit des racines

Moyen 10 min

1) Sachant que $1$ est une solution de $2x^2-3x+1=0$, déterminer la deuxième solution.
2) Résoudre le système $(S): \begin{cases}x+y=13\\xy=12\end{cases}$.

1) Le produit des racines vaut $\dfrac ca=\dfrac12$. Si $x_1=1$, alors $x_2=\dfrac{1/2}{1}=\dfrac12$.

2) $x$ et $y$ sont les racines de $t^2-13t+12=0$. $\Delta=169-48=121=11^2$. $t=\dfrac{13\pm11}2$ : $t=12$ ou $t=1$.
Donc $(x,y)=(1,12)$ ou $(x,y)=(12,1)$.

Exercice 6 — Factorisation de trinômes

Moyen 10 min

Factoriser les trinômes suivants : $3x^2-4x+4$ ; $4x^2+3x-1$ ; $x^2-x+\dfrac14$.

$3x^2-4x+4$ : $\Delta=16-48=-32<0$. Pas de factorisation.

$4x^2+3x-1$ : $\Delta=9+16=25>0$. $x=\dfrac{-3\pm5}8$ : $x=\dfrac14$ ou $x=-1$. Factorisation : $4\left(x-\dfrac14\right)(x+1)=(4x-1)(x+1)$.

$x^2-x+\dfrac14$ : $\Delta=1-1=0$. Racine double $-\dfrac{b}{2a}=\dfrac12$. Factorisation : $\left(x-\dfrac12\right)^2$.

Exercice 7 — Résolution de systèmes par la méthode du déterminant

Moyen 10 min

Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ les systèmes suivants :
1) $\begin{cases}2x+y=4\\x-y=-1\end{cases}$
2) $\begin{cases}7x-2y=8\\3x+4y=18\end{cases}$
3) $\begin{cases}2x-3y=8\\3x+4y=-5\end{cases}$

1) $D=\begin{vmatrix}2&1\\1&-1\end{vmatrix}=-2-1=-3$. $D_x=\begin{vmatrix}4&1\\-1&-1\end{vmatrix}=-4+1=-3$, donc $x=1$. $D_y=\begin{vmatrix}2&4\\1&-1\end{vmatrix}=-2-4=-6$, donc $y=2$. $S=\{(1,2)\}$.

2) $D=\begin{vmatrix}7&-2\\3&4\end{vmatrix}=28+6=34$. $D_x=\begin{vmatrix}8&-2\\18&4\end{vmatrix}=32+36=68$, donc $x=2$. $D_y=\begin{vmatrix}7&8\\3&18\end{vmatrix}=126-24=102$, donc $y=3$. $S=\{(2,3)\}$.

3) $D=\begin{vmatrix}2&-3\\3&4\end{vmatrix}=8+9=17$. $D_x=\begin{vmatrix}8&-3\\-5&4\end{vmatrix}=32-15=17$, donc $x=1$. $D_y=\begin{vmatrix}2&8\\3&-5\end{vmatrix}=-10-24=-34$, donc $y=-2$. $S=\{(1,-2)\}$.

Difficiles

Exercice 1 — equations-inequations-systemes

Difficile 120 min

Exercice 2 — Signe de trinômes et résolution d'inéquations

Difficile 10 min

1) Dresser le tableau de signe de : $p(x)=2x^2+5x+3$ ; $Q(x)=16x^2+8x+1$ ; $R(x)=-3x^2+x-5$ ; $s(x)=x^2-5x+4$.
2) En déduire les solutions de $p(x)<0$ ; $Q(x)>0$ ; $R(x)\le0$ ; $s(x)\ge0$.

$p(x)$ : $\Delta=25-24=1>0$, racines $-\dfrac32$ et $-1$. Signe de $a=2>0$ à l'extérieur, opposé entre les racines.
$p(x)<0 \iff x\in\left]-\dfrac32,-1\right[$.

$Q(x)$ : $\Delta=64-64=0$, racine double $-\dfrac14$. $Q(x)\ge0$ toujours (signe de $a=16>0$), nul seulement en $-\frac14$.
$Q(x)>0 \iff x\ne-\dfrac14$.

$R(x)$ : $\Delta=1-60=-59<0$. $R(x)$ est toujours du signe de $a=-3$, donc $R(x)<0$ pour tout $x$.
$R(x)\le0 \iff x\in\mathbb{R}$ (toujours vrai).

$s(x)$ : $\Delta=25-16=9>0$, racines $1$ et $4$. $s(x)\ge0$ à l'extérieur de $[1,4]$ (signe de $a=1>0$).
$s(x)\ge0 \iff x\in\,]-\infty,1]\cup[4,+\infty[$.

Exercice 3 — Système avec changement de variable

Difficile 10 min

1) Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ le système $\begin{cases}2x+3y=1\\-x+y=-3\end{cases}$.
2) En déduire les solutions du système $\begin{cases}\dfrac{2}{x+1}+\dfrac{3}{y}=1\\-\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y}=-3\end{cases}$ ainsi que celles du système $\begin{cases}2|1-x|+\dfrac{3}{y}=1\\-|1-x|+\dfrac{1}{y}=-3\end{cases}$.

1) $D=\begin{vmatrix}2&3\\-1&1\end{vmatrix}=2+3=5$. $D_x=\begin{vmatrix}1&3\\-3&1\end{vmatrix}=1+9=10$, donc $x=2$. $D_y=\begin{vmatrix}2&1\\-1&-3\end{vmatrix}=-6+1=-5$, donc $y=-1$. $S=\{(2,-1)\}$.

2) En posant $X=\dfrac{1}{x+1}$ et $Y=\dfrac1y$, le système devient $\begin{cases}2X+3Y=1\\-X+Y=-3\end{cases}$, identique au système précédent : $X=2$, $Y=-1$.
$\dfrac1{x+1}=2 \iff x+1=\dfrac12 \iff x=-\dfrac12$. $\dfrac1y=-1 \iff y=-1$. $S=\left\{\left(-\dfrac12,-1\right)\right\}$.

De même, en posant $X=|1-x|$ et $Y=\dfrac1y$, on obtient $X=2$, $Y=-1$.
$|1-x|=2 \iff 1-x=2$ ou $1-x=-2 \iff x=-1$ ou $x=3$. $\dfrac1y=-1 \iff y=-1$.
$S=\{(-1,-1),(3,-1)\}$.

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Commentaires (1)

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KAMAL LAGUSIBY

nice

01/08/2026 à 04:31