Généralités sur les fonctions

1) $f(1)=3-1=2$. $f(-2)=3(4)-1=11$. $f(3)=3(9)-1=26$.

2) Antécédent de $0$ : $3x^2-1=0 \iff x^2=\dfrac13 \iff x=\pm\dfrac{\sqrt3}3$.
Antécédent de $5$ : $3x^2-1=5 \iff x^2=2 \iff x=\pm\sqrt2$.
Antécédent de $-4$ : $3x^2-1=-4 \iff x^2=-1$ : impossible, pas d'antécédent.

1) $f_1$ est un polynôme : $D_{f_1}=\mathbb{R}$.

2) $D_{f_2}=\{x\in\mathbb{R} : 3x+4\ne0\}=\mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac43\right\}$.

3) Il faut $x\ge0$ (pour $\sqrt x$) et $x^2+x-2\ne0$. Or $x^2+x-2=(x+2)(x-1)$, nul en $-2$ et $1$. Comme $x\ge0$ exclut déjà $-2$, il reste à exclure $1$ : $D_{f_3}=[0,+\infty[\setminus\{1\}$.

1) $D_f=D_g=\mathbb{R}^*$. Pour $x\ne0$ : $f(x)=\dfrac{x}{x^2}=\dfrac1x=g(x)$. Donc $f=g$.

2) $D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1\}$, $D_g=\mathbb{R}$. Comme $D_f\ne D_g$, on a $f\ne g$ (bien que $f(x)=g(x)$ pour tout $x\ne-1$).

3) $D_f=D_g=\mathbb{R}$. Mais $f(x)=\sqrt{(x+1)^2}=|x+1|$, qui n'est égal à $x+1$ que pour $x\ge-1$ (par exemple $f(-2)=1\ne g(-2)=-1$). Donc $f\ne g$.

1) $f(0)=0$ : $A\in(C_f)$. $f(1)=\dfrac12\ne\dfrac13$ : $B\notin(C_f)$. $f(2)=\dfrac25\ne1$ : $C\notin(C_f)$. $f(-1)=-\dfrac12$ : $D\in(C_f)$.

2) Avec l'axe des abscisses : $g(x)=0 \iff x^2+2x+3=0$. $\Delta=4-12=-8<0$ : aucune solution, pas d'intersection.
Avec l'axe des ordonnées : $0\in D_g$, donc le point est $(0,g(0))=(0,3)$.

1) $D_{f_1}=\mathbb{R}^*$ (symétrique). $f_1(-x)=|-x|-\dfrac1{(-x)^2}=|x|-\dfrac1{x^2}=f_1(x)$ : $f_1$ est paire.

2) $D_{f_2}=\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}$ (symétrique). $f_2(-x)=\dfrac{-x}{x^2-1}=-f_2(x)$ : $f_2$ est impaire.

3) $D_{f_3}=\mathbb{R}$. $f_3(-x)=|-x-1|-|-x+1|=|x+1|-|x-1|=-f_3(x)$ : $f_3$ est impaire.

4) $D_{f_6}=\mathbb{R}$. $f_6(-x)=\sin(-x)-(-x)\cos(-x)=-\sin(x)+x\cos(x)=-f_6(x)$ : $f_6$ est impaire.

1) $D_f=\mathbb{R}$ (symétrique). $f(-x)=2x^2+3=f(x)$ : $f$ est paire.

2) Pour $a,b\in\mathbb{R}^+$, $a\ne b$ : $T=\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}=\dfrac{2a^2-2b^2}{a-b}=\dfrac{2(a-b)(a+b)}{a-b}=2(a+b)$. Comme $a,b\ge0$ (non tous deux nuls), $a+b>0$, donc $T>0$ : $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}^+$.

3) Comme $f$ est paire et croissante sur $\mathbb{R}^+$, elle est strictement décroissante sur $\mathbb{R}^-$.

4) $f$ décroît sur $]-\infty,0]$ de $+\infty$ à $3$, puis croît sur $[0,+\infty[$ de $3$ à $+\infty$ : minimum $f(0)=3$.

1) $T=\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}=\dfrac{(a^2-4a+3)-(b^2-4b+3)}{a-b}=\dfrac{(a-b)(a+b)-4(a-b)}{a-b}=a+b-4$.

2) Pour $a,b\le2$ distincts, $a+b<4$, donc $T<0$ : $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty,2]$.
Pour $a,b\ge2$ distincts, $a+b>4$, donc $T>0$ : $f$ est strictement croissante sur $[2,+\infty[$.

3) $f$ décroît sur $]-\infty,2]$ jusqu'à $f(2)=4-8+3=-1$, puis croît sur $[2,+\infty[$ : minimum $-1$ en $x=2$.

1) $(C_f)$ est une parabole. Sommet $\Omega\left(-\dfrac{b}{2a},f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)\right)$ avec $-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac34$.
$f\left(-\dfrac34\right)=2\left(\dfrac9{16}\right)+3\left(-\dfrac34\right)-4=\dfrac98-\dfrac94-4=-\dfrac{41}8$.
$\Omega\left(-\dfrac34,-\dfrac{41}8\right)$, axe de symétrie $x=-\dfrac34$.

2) Comme $a=2>0$ : $f$ est décroissante sur $\left]-\infty,-\dfrac34\right]$ et croissante sur $\left[-\dfrac34,+\infty\right[$, avec minimum $-\dfrac{41}8$.

1) $(C_f)$ est une hyperbole de centre $O$, d'asymptotes les droites $x=0$ et $y=0$.

2) Pour $x,y\in\mathbb{R}^*$ distincts, le taux de variation est $T=\dfrac{-3}{xy}$. Comme $xy>0$ pour deux réels non nuls de même signe, et ici $a=3>0$, $-a<0$ donc $T<0$ : $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}^*$ (sur chacun des intervalles $]-\infty,0[$ et $]0,+\infty[$).

On met $f$ sous forme réduite : $f(x)=\dfrac{2(x-1)+2}{x-1}=2+\dfrac2{x-1}$.

Comme $k=2>0$, $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ (sur chacun des deux intervalles $]-\infty,1[$ et $]1,+\infty[$).

La courbe est une hyperbole de centre $\Omega(1,2)$, d'asymptotes $x=1$ et $y=2$.

1) Il faut $2x^2+2x-4>0 \iff x^2+x-2>0 \iff (x+2)(x-1)>0 \iff x<-2$ ou $x>1$. $D_{f_4}=\,]-\infty,-2[\cup]1,+\infty[$.

2) Il faut $\dfrac{2-x}{4x+2}\ge0$ et $4x+2\ne0$. Étude de signe : positif sur $\left]-\dfrac12,2\right]$. $D_{f_6}=\left]-\dfrac12,2\right]$.

3) $\cos^2(x)-1=-\sin^2(x)$, donc il faut $\sin(x)\ne0$, c'est-à-dire $x\ne k\pi$ ($k\in\mathbb{Z}$). $D_{f_8}=\mathbb{R}\setminus\{k\pi : k\in\mathbb{Z}\}$.

1) Si $f$ est paire, elle change de sens de variation par symétrie : décroissante sur $[-6,-2]$ devient croissante sur $[2,6]$, et croissante sur $[-2,0]$ devient décroissante sur $[0,2]$.
Avec $f(2)=f(-2)=-2$ et $f(6)=f(-6)=4$ : $f$ décroît de $f(0)=0$ à $f(2)=-2$, puis croît de $f(2)=-2$ à $f(6)=4$.

2) Si $f$ est impaire, elle garde le même sens de variation : décroissante sur $[-6,-2]$ reste décroissante sur $[2,6]$, croissante sur $[-2,0]$ reste croissante sur $[0,2]$.
Avec $f(2)=-f(-2)=2$ et $f(6)=-f(-6)=-4$ : $f$ croît de $f(0)=0$ à $f(2)=2$, puis décroît de $f(2)=2$ à $f(6)=-4$.

1) Pour $x>0$ : $f(x)-2=x+\dfrac1x-2=\dfrac{x^2-2x+1}{x}=\dfrac{(x-1)^2}{x}\ge0$ (numérateur positif, $x>0$). Donc $f(x)\ge2$ pour tout $x>0$, avec égalité en $x=1$ ($f(1)=2$) : $2$ est le minimum de $f$ sur $\mathbb{R}_+^*$.

2) Pour $x<0$ : $f(x)+2=x+\dfrac1x+2=\dfrac{x^2+2x+1}{x}=\dfrac{(x+1)^2}{x}\le0$ (numérateur positif, $x<0$). Donc $f(x)\le-2$ pour tout $x<0$, avec égalité en $x=-1$ ($f(-1)=-2$) : $-2$ est le maximum de $f$ sur $\mathbb{R}_-^*$.

1) $-2x+3=-2(x-5)-7$ (car $-2(x-5)=-2x+10$, et $-2x+10-7=-2x+3$).
$f(x)=\dfrac{-2(x-5)-7}{x-5}=-2-\dfrac{7}{x-5}$.
Forme réduite : $\beta=-2$, $\alpha=-5$, $k=-7$. Centre $\Omega(5,-2)$, asymptotes $x=5$ et $y=-2$.

2) $-3x=-\dfrac32(2x+4)+6$ (car $-\frac32(2x+4)=-3x-6$, et $-3x-6+6=-3x$).
$h(x)=\dfrac{-\frac32(2x+4)+6}{2x+4}=-\dfrac32+\dfrac{6}{2x+4}=-\dfrac32+\dfrac{3}{x+2}$.
Forme réduite : $\beta=-\dfrac32$, $\alpha=2$, $k=3$. Centre $\Omega(-2,-\frac32)$, asymptotes $x=-2$ et $y=-\frac32$.