Arithmétique dans ?

I. Ensemble des nombres entiers naturels

Définition

• Les nombres entiers naturels forment un ensemble qu'on note $\mathbb{N}$ tel que $\mathbb{N} = \{0,1,2,3,4,5,\ldots\}$
• Les nombres entiers naturels non nuls forment un ensemble qu'on note $\mathbb{N}^*$ tel que $\mathbb{N}^* = \{1,2,3,4,5,\ldots\}$

Exemples :

• 3 est un entier naturel, on dit que 3 appartient à l'ensemble $\mathbb{N}$ et on écrit $3 \in \mathbb{N}$.
• $-5$ n'est pas un entier naturel, on dit que $-5$ n'appartient pas à l'ensemble $\mathbb{N}$ et on écrit $-5 \notin \mathbb{N}$.
• 4 est un entier naturel non nul, on dit que 4 appartient à $\mathbb{N}^*$ et on écrit $4 \in \mathbb{N}^*$.

Remarque :

• L'ensemble des nombres entiers naturels est infini : si $n$ est un entier naturel, alors son successeur $n+1$ est aussi un entier naturel.
• Le symbole $\in$ se lit « appartient à ».
• Le symbole $\notin$ se lit « n'appartient pas ».

II. Divisibilité dans ?

1. Nombres pairs — Nombres impairs

a) Définition

Soit $a$ un nombre entier naturel.

• On dit que $a$ est un nombre pair s'il existe un entier naturel $k$ tel que $a = 2k$.
• On dit que $a$ est un nombre impair s'il existe un entier naturel $k$ tel que $a = 2k+1$.

Exemple :

• $144 = 2 \times 72$, donc 144 est un nombre pair.
• $161 = 2 \times 80 + 1$, donc 161 est un nombre impair.

b) Opérations sur les nombres pairs et impairs

Propriété : Soient $a$ et $b$ deux nombres entiers naturels :

Démonstration (si $a$ pair et $b$ pair alors $a+b$ pair) :

Si $a$ est pair, il existe $k \in \mathbb{N}$ tel que $a = 2k$. Si $b$ est pair, il existe $k' \in \mathbb{N}$ tel que $b = 2k'$.

$$a + b = 2k + 2k' = 2(k+k')$$

D'où $a+b$ est un nombre pair (même démarche pour les autres cas).

Théorème : Le produit de deux nombres entiers naturels consécutifs est toujours un nombre pair.

Démonstration : Soit $n$ un entier naturel. Montrons que $n(n+1)$ est pair.

• 1er cas : si $n$ est pair, $n = 2k$, donc $n(n+1) = 2k(2k+1) = 2\big(k(2k+1)\big)$, d'où $n(n+1)$ est pair.
• 2ème cas : si $n$ est impair, $n = 2k+1$, donc $n(n+1) = (2k+1)(2k+2) = 2\big[(2k+1)(k+1)\big]$, d'où $n(n+1)$ est pair.

D'après les deux cas, $n(n+1)$ est un nombre pair, pour tout $n \in \mathbb{N}$.

2. Multiple et diviseur d'un nombre entier naturel

Définition : Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels. S'il existe un entier naturel $k$ tel que $a = k \times b$ alors :

• $a$ s'appelle le multiple de $b$
• $b$ s'appelle le diviseur de $a$
• $k$ s'appelle le rapport de $a$ par $b$

Exemple : $30 = 2 \times 15$ : donc 30 est un multiple de 15, 15 est un diviseur de 30, et 2 est le rapport de 30 par 15.

Remarque :

• 0 est un multiple de tous les nombres entiers naturels.
• 1 est un diviseur de tous les nombres entiers naturels.

3. Critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5 et 9

Propriété : Soit $n$ un entier naturel. $n$ est divisible par :

• 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8
• 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5
• 3 ou 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3 ou 9
• 4 si le nombre formé par ses chiffres des unités et des dizaines est un multiple de 4

Exemples :

• 4725 est divisible par 5 (chiffre des unités = 5), et par 3 et 9 (car $4+7+2+5=18$, multiple de 3 et de 9).
• 1628 est divisible par 4 (car 28 est un multiple de 4), et par 2 (chiffre des unités = 8).

III. Nombres premiers

Définition : Un entier naturel supérieur ou égal à 2 est dit premier s'il possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

Remarque :

• 1 n'est pas un nombre premier car il ne possède qu'un seul diviseur.
• 2 est le seul nombre pair qui soit premier.
• Pour étudier la primalité d'un entier naturel $n$, on cherche tous les nombres premiers $p$ tels que $p \le \sqrt{n}$. Si $n$ est divisible par l'un de ces nombres, alors $n$ n'est pas premier, sinon $n$ est premier.

Exemple : Le nombre 37 est-il premier ?

On a $\sqrt{37} \approx 6{,}08$ et les nombres premiers inférieurs ou égaux à $\sqrt{37}$ sont 2, 3 et 5. Or 37 n'est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5 : donc 37 est un nombre premier.

IV. Décomposition en produit de facteurs premiers

Théorème : Tout nombre entier naturel supérieur ou égal à 2 admet une décomposition en produit de facteurs premiers.

Exemple : $30 = 2 \times 3 \times 5$ est une décomposition de 30 en produit de facteurs premiers.

V. PGCD — PPCM

1. PGCD

a) Définition : Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels non nuls. Le plus grand commun diviseur de $a$ et $b$ s'appelle le PGCD de $a$ et $b$, noté $PGCD(a,b)$ ou $a \wedge b$.

Remarque : Comme 1 est un diviseur de tout nombre $a$ et $b$ de $\mathbb{N}$, alors $PGCD(a,b) \ge 1$.

Théorème : $PGCD(a,b)$ est le produit des facteurs premiers communs apparaissant à la fois dans la décomposition de $a$ et de $b$, affectés de leur plus petite puissance.

Exemple : $a = 132$ et $b = 120$.

$$132 = 2^2 \times 3 \times 11 \qquad 120 = 2^3 \times 3 \times 5$$

D'où $PGCD(132, 120) = 2^2 \times 3 = 12$.

b) Deux nombres entiers naturels premiers entre eux

Théorème : Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels. On dit que $a$ et $b$ sont premiers entre eux si et seulement si $PGCD(a,b) = 1$.

2. PPCM

Définition : Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels non nuls. Le plus petit commun multiple non nul de $a$ et $b$ s'appelle le PPCM de $a$ et $b$, noté $PPCM(a,b)$ ou $a \vee b$.

Théorème : $PPCM(a,b)$ est le produit des facteurs premiers communs et non communs apparaissant dans la décomposition de $a$ et de $b$, affectés de leur plus grande puissance.