Limites et continuité

Ce chapitre couvre le programme de 2ème Bac sur le thème « Limites et continuité ».

Objectifs du chapitre

Comprendre les notions clés du chapitre « Limites et continuité »
Appliquer les méthodes vues en cours sur des exercices
Résoudre des problèmes concrets liés au chapitre

La continuité d'une fonction numérique

Continuité en un point, continuité à droite/gauche, continuité sur un intervalle, image d'un intervalle, théorème des valeurs intermédiaires, théorème de Bolzano, fonction réciproque, racine n-ième, puissance rationnelle.

I. La continuité d'une fonction numérique

1. La continuité en un point

Définition : Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert $I$, et $a$ un élément de $I$. On dit que $f$ est continue au point $a$ si $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.

Exemples :

La fonction définie par $f(x) = \dfrac{x^2-9}{x-3}$ si $x \neq 3$ et $f(3)=6$ est continue en 3. En effet : $\displaystyle\lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} \dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3} = \lim_{x \to 3}(x+3) = 6 = f(3)$.
La fonction définie par $f(x) = \dfrac{\sin(3x)}{x}$ si $x \neq 0$ et $f(0)=1$ est discontinue en 0. En effet : $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} 3 \times \dfrac{\sin(3x)}{3x} = 3 \neq f(0)$.

2. La continuité à droite — la continuité à gauche

Définitions :

Soit $f$ définie sur $[a\,; a+\alpha[$ où $\alpha>0$. $f$ est continue à droite de $a$ si $\displaystyle\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$.
Soit $f$ définie sur $]a-\alpha\,; a]$ où $\alpha>0$. $f$ est continue à gauche de $a$ si $\displaystyle\lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)$.

Propriété : $f$ est continue en $a$ $\iff$ $\displaystyle\lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)$.

Exemple : La fonction $f(x) = \dfrac{x^2-1}{|x-1|}$ si $x \neq 1$, $f(1)=2$, est continue à droite en 1 mais non continue à gauche en 1.

3. La continuité sur un intervalle

Définitions :

$f$ est continue sur $]a\,; b[$ si $f$ est continue en tout point de $]a\,;b[$.
$f$ est continue sur $[a\,, b]$ si $f$ est continue en tout point de $]a\,;b[$, continue à droite de $a$ et continue à gauche de $b$.

Remarque : on définit de même la continuité sur $[a,b[$, $]a,b]$, $[a,+\infty[$ et $]-\infty,b]$.

Exemple — Fonction partie entière : $E(x)$ associe à tout réel $x$ l'unique entier relatif $n$ tel que $n \le x < n+1$. On a $E(3{,}2)=3$ et $E(-1{,}2)=-2$.

La fonction $x \mapsto E(x)$ est continue sur $[-1\,; 0[$, mais n'est pas continue sur $]1\,; 3[$ car $\displaystyle\lim_{x \to 1^+} E(x) = 1 = E(1)$ alors que $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} E(x) = 0 \neq E(1)$.

Propriété : les fonctions polynomiales, rationnelles, trigonométriques et $x \mapsto \sqrt{x}$ sont continues sur chaque intervalle inclus dans leur domaine de définition.

Propriétés (opérations) : Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$ :

$f+g$, $f \times g$, $kf$ et $f^n$ sont continues sur $I$ ($k \in \mathbb{R}$, $n \in \mathbb{N}$)
Si $\forall x \in I : g(x) \neq 0$ alors $\dfrac{f}{g}$ est continue sur $I$
Si $\forall x \in I : f(x) \ge 0$ alors $\sqrt{f}$ est continue sur $I$

Propriété (composition) : si $f$ est continue sur $I$ et $g$ continue sur $J$ tel que $f(I) \subset J$, alors $g \circ f$ est continue sur $I$.

Exemple : $f(x)=\cos(x^2+2)$. Les fonctions $f_1: x \mapsto \cos(x)$ et $f_2: x \mapsto x^2+2$ sont continues sur $\mathbb{R}$, et $f_2(\mathbb{R}) \subset \mathbb{R}$, donc $f=f_1 \circ f_2$ est continue sur $\mathbb{R}$.

Prolongement par continuité : soit $f$ continue sur $I$ et $a \notin I$ tel que $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = l \in \mathbb{R}$. La fonction $g$ définie par $g(x)=f(x)$ pour $x \in D_f$ et $g(a)=l$ est continue sur $I \cup \{a\}$ : c'est le prolongement de $f$ par continuité en $a$.

Exemple : $f(x) = \dfrac{\sin(x)}{x}$ est continue sur $\mathbb{R}^*$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 1$. La fonction $g$ définie par $g(x)=f(x)$ pour $x \neq 0$ et $g(0)=1$ prolonge $f$ continûment en 0.

II. L'image d'un intervalle par une fonction continue

1. Image d'un segment — Image d'un intervalle

Propriétés :

L'image d'un segment par une fonction continue est un segment.
L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

Si $f$ est continue et strictement monotone sur $I=[a,b]$ :

si $f$ est strictement croissante : $f([a,b]) = [f(a), f(b)]$
si $f$ est strictement décroissante : $f([a,b]) = [f(b), f(a)]$

(les mêmes principes s'étendent aux intervalles semi-ouverts et non bornés, en remplaçant les valeurs aux bornes exclues par la limite correspondante)

Remarque : si $f$ est continue sur $[a,b]$, de minimum $m$ et de maximum $M$, alors $f([a,b]) = [m, M]$.

Exemple : $f(x) = x^2 - 4x - 1$, strictement décroissante sur $]-\infty; 2]$ et strictement croissante sur $[2;+\infty[$.

$f([2;4]) = [f(2);f(4)] = [-5;-1]$
$f([2;+\infty[) = [f(2); \lim_{x \to +\infty} f(x)[\, = [-5;+\infty[$

2. Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Théorème : pour toute fonction $f$ définie et continue sur $[a,b]$, et tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c \in [a,b]$ tel que $f(c)=k$.

Exemple : montrons que $(E) : x^2 - \sqrt{x+2} = 2$ admet au moins une solution sur $[-2;0]$. Soit $f(x) = x^2-\sqrt{x+2}$, continue sur $[-2;0]$. On a $f(-2)=4$ et $f(0)=-\sqrt{2}$. Comme $f(0) \le 2 \le f(-2)$, d'après le TVI, $(E)$ admet au moins une solution sur $[-2;0]$.

Cas particulier — Théorème de Bolzano : si $f$ est continue sur $[a,b]$ et change de signe (c'est-à-dire $f(a) \times f(b) < 0$), alors $f$ s'annule en au moins un point $c \in ]a,b[$.

Conséquence (unicité) : si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a,b]$, alors pour tout $k \in f([a,b])$, il existe un unique $c \in ]a,b[$ tel que $f(c)=k$.

Méthode de dichotomie (pour encadrer la solution $c$ de $f(x)=0$ quand $f(a) \times f(b) < 0$) :

Si $f(a) \times f\left(\dfrac{a+b}{2}\right) < 0$ alors $a < c < \dfrac{a+b}{2}$ : on répète le procédé sur $\left[a, \dfrac{a+b}{2}\right]$
Sinon, $\dfrac{a+b}{2} < c < b$ : on répète le procédé sur $\left[\dfrac{a+b}{2}, b\right]$

On répète l'opération jusqu'à obtenir un encadrement de la précision souhaitée.

III. La fonction réciproque d'une fonction continue et strictement monotone

1. Propriétés de la fonction réciproque

Définition : soit $f$ continue et strictement monotone sur $I$, et $J=f(I)$. La fonction réciproque de $f$, notée $f^{-1}$, est définie sur $J$ par : $\forall y \in J, f^{-1}(y)=x$ tel que $f(x)=y$.

Propriétés :

$f^{-1}$ est continue sur $J=f(I)$
$f^{-1}$ est strictement monotone sur $J$, de même sens de variation que $f$
$\forall x \in I,\ f^{-1} \circ f(x) = x$ ; $\forall x \in J,\ f \circ f^{-1}(x) = x$
La courbe de $f^{-1}$ est le symétrique de la courbe de $f$ par rapport à la droite d'équation $y=x$.

Exemple : $f: x \mapsto \sqrt{x+2}$ est continue et strictement croissante sur $[0,+\infty[$, donc admet une réciproque $f^{-1}$ continue et croissante sur $f([0,+\infty[) = [\sqrt{2}, +\infty[$. On trouve son expression en résolvant $y = \sqrt{x+2}$ par rapport à $x$.

2. La fonction racine n-ième

Définition : pour $n \in \mathbb{N}^*$, la fonction réciproque de $f: x \mapsto x^n$ (définie de $\mathbb{R}^+$ vers $\mathbb{R}^+$) est appelée fonction racine $n$-ième, notée $x \mapsto \sqrt[n]{x}$.

Remarques : $\sqrt[1]{x}=x$ ; $\sqrt[2]{x}=\sqrt{x}$ ; $\sqrt[3]{x}$ est la racine cubique de $x$.

Conséquences (pour $x,y \in \mathbb{R}^+$) :

$x^n = y \iff x = \sqrt[n]{y}$
$\left(\sqrt[n]{x}\right)^n = x$
$\sqrt[n]{x} = \sqrt[n]{y} \iff x=y$ ; $\sqrt[n]{x} < \sqrt[n]{y} \iff x
$x \mapsto \sqrt[n]{x}$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}^+$, et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\sqrt[n]{x} = +\infty$

Opérations sur les racines $n$-ièmes (pour $m,n \in \mathbb{N}^*$, $a,b \in \mathbb{R}^+$) :

$\sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \times b}$
Si $b \neq 0$ : $\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$
$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[mn]{a}$ et $\sqrt[mn]{a^m} = \sqrt[n]{a}$

3. Puissance rationnelle d'un nombre strictement positif

Définition : pour $x \in \,]0,+\infty[$ et $r = \dfrac{m}{n} \in \mathbb{Q}^*$ ($m \in \mathbb{Z}^*$, $n \in \mathbb{N}^*$), on pose $x^r = \sqrt[n]{x^m}$.

Remarque : en particulier $x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x}$.

Propriétés (pour $x,y \in \mathbb{R}_+^*$, $r, r' \in \mathbb{Q}^*$) :

$x^r \times x^{r'} = x^{r+r'}$ ; $x^r \times y^r = (xy)^r$
$(x^r)^{r'} = x^{rr'}$ ; $\left(\dfrac{x}{y}\right)^r = \dfrac{x^r}{y^r}$
$x^{-r} = \dfrac{1}{x^r}$ ; $\dfrac{x^r}{x^{r'}} = x^{r-r'}$

Méthode à retenir

Méthode : pour montrer qu'une équation $f(x)=k$ admet une solution sur $[a,b]$ :

vérifier que $f$ est continue sur $[a,b]$ ;
calculer $f(a)$ et $f(b)$ et vérifier que $k$ est compris entre les deux (ou que $f(a) \times f(b) < 0$ pour une solution de $f(x)=0$) ;
conclure par le théorème des valeurs intermédiaires (ou Bolzano) ;
si $f$ est de plus strictement monotone sur $[a,b]$, la solution est unique ;
pour l'approcher, utiliser la dichotomie : couper l'intervalle en deux et garder la moitié où $f$ change encore de signe.

Exercices

Faciles

Exercice 1 — Continuité en un point (fonction rationnelle)

Facile 10 min

Étudier la continuité de $f$ au point $a=1$ où $f(x) = \dfrac{x^3-2x+1}{x-1}$ pour $x \neq 1$, et $f(1)=1$.

On factorise : $x^3-2x+1 = (x-1)(x^2+x-1)$ (car $1$ est racine du numérateur). Donc pour $x \neq 1$ : $f(x) = x^2+x-1$.

$\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = 1+1-1 = 1 = f(1)$.

Donc $f$ est continue en $a=1$.

Exercice 2 — Écriture sous forme de puissance rationnelle

Facile 12 min

Écrire sous forme d'une puissance rationnelle le nombre : $A = \dfrac{\sqrt[3]{4} \times 8^{1/2} \times \sqrt[5]{2}}{\sqrt[3]{2} \times \sqrt[6]{4}}$.

On exprime tout avec pour base $2$ : $\sqrt[3]{4}=2^{2/3}$, $8^{1/2}=2^{3/2}$, $\sqrt[5]{2}=2^{1/5}$, $\sqrt[3]{2}=2^{1/3}$, $\sqrt[6]{4}=2^{2/6}=2^{1/3}$.

Numérateur : $2^{2/3+3/2+1/5} = 2^{71/30}$ (en réduisant au dénominateur commun 30).

Dénominateur : $2^{1/3+1/3} = 2^{20/30}$.

$A = 2^{71/30-20/30} = 2^{51/30} = 2^{17/10}$.

Moyens

Exercice 1 — Continuité en un point (fonction irrationnelle)

Moyen 12 min

Étudier la continuité de $g$ au point $a=2$ où $g(x) = \dfrac{x\sqrt{x+2}-4}{x-2}$ pour $x \in [-2;2[\,\cup\,]2;+\infty[$, et $g(2)=\dfrac{5}{2}$.

On pose $u=\sqrt{x+2}$, donc $x=u^2-2$. Quand $x \to 2$, $u \to 2$.

$g(x) = \dfrac{(u^2-2)u-4}{u^2-4} = \dfrac{u^3-2u-4}{(u-2)(u+2)} = \dfrac{(u-2)(u^2+2u+2)}{(u-2)(u+2)} = \dfrac{u^2+2u+2}{u+2}$

Quand $u \to 2$ : $\dfrac{4+4+2}{4} = \dfrac{10}{4} = \dfrac{5}{2} = g(2)$.

Donc $g$ est continue en $a=2$.

Exercice 2 — Continuité à droite et à gauche en 0

Moyen 15 min

Soit $f$ définie par $f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x+1}-1}$ pour $x>0$, $f(x)=\dfrac{\sin(2x)}{x}$ pour $x<0$, et $f(0)=2$.

1) Étudier la continuité de $f$ à droite et à gauche en 0.

2) $f$ est-elle continue en 0 ?

À droite : en multipliant par la quantité conjuguée : $\dfrac{x}{\sqrt{x+1}-1} = \dfrac{x(\sqrt{x+1}+1)}{x} = \sqrt{x+1}+1$. Donc $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1+1 = 2 = f(0)$ : continue à droite.

À gauche : $\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \dfrac{\sin(2x)}{x} = \lim_{x \to 0^-} 2 \times \dfrac{\sin(2x)}{2x} = 2 = f(0)$ : continue à gauche.

Les deux limites latérales valent $f(0)=2$, donc $f$ est continue en 0.

Exercice 3 — Montrer la continuité sur un intervalle

Moyen 15 min

Montrer que $f$ est continue sur $I$ dans les cas suivants :

1) $f(x) = x^2+1+\sin(x)$ et $I=\mathbb{R}$.

2) $f(x) = \cos(x) \times \sqrt{4x^2+5}$ et $I=\mathbb{R}$.

3) $f(x) = \dfrac{4\sqrt{x}}{x^2+x-2}$ et $I=\,]2;+\infty[$.

1) $x^2+1$ est polynomiale (continue sur $\mathbb{R}$) et $\sin(x)$ est trigonométrique (continue sur $\mathbb{R}$) : leur somme $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.

2) $\cos(x)$ est continue sur $\mathbb{R}$ ; $4x^2+5 > 0$ pour tout $x$, donc $\sqrt{4x^2+5}$ est continue sur $\mathbb{R}$ ; leur produit $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.

3) $\sqrt{x}$ est continue sur $[0,+\infty[$ donc sur $]2,+\infty[$. $x^2+x-2=(x-1)(x+2)$ ne s'annule pas sur $]2,+\infty[$ (ses racines sont 1 et $-2$). Le quotient de fonctions continues à dénominateur non nul est continu, donc $f$ est continue sur $]2,+\infty[$.

Exercice 4 — Fonction réciproque d'une fonction irrationnelle

Moyen 18 min

On considère $f$ définie sur $[2,+\infty[$ par $f(x) = \sqrt{2x-4}$.

1) Montrer que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ à déterminer.

2) Déterminer l'expression de $f^{-1}(x)$ pour tout $x$ de $J$.

1) $f$ est continue sur $[2,+\infty[$ (composée de fonctions continues) et strictement croissante (car $2x-4$ est strictement croissante et $\sqrt{\cdot}$ conserve la monotonie). On a $f(2)=0$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$, donc $J=f([2,+\infty[)=[0,+\infty[$. $f$ admet donc une réciproque $f^{-1}$ définie sur $J=[0,+\infty[$.

2) Pour $y \ge 0$ : $f^{-1}(y)=x \iff f(x)=y \iff \sqrt{2x-4}=y \iff 2x-4=y^2 \iff x=\dfrac{y^2+4}{2}$.

Donc $f^{-1}(x) = \dfrac{x^2+4}{2}$ pour tout $x \in [0,+\infty[$.

Exercice 5 — Simplification de racines n-ièmes

Moyen 15 min

1) Simplifier $A = \dfrac{\sqrt[3]{512}}{\sqrt[3]{64}}$ et $B = \sqrt[3]{\sqrt{729}}$.

2) Mettre en ordre croissant les nombres $\sqrt[4]{3}$ ; $\sqrt[3]{2}$ et $\sqrt{5}$.

1) $A = \sqrt[3]{\dfrac{512}{64}} = \sqrt[3]{8} = 2$.

$\sqrt{729}=27$ (car $27^2=729$), donc $B=\sqrt[3]{27}=3$.

2) On ramène les trois nombres au même indice, le PPCM de $4,3,2$ étant $12$ :

$\sqrt[4]{3}=3^{1/4}=\sqrt[12]{3^3}=\sqrt[12]{27}$

$\sqrt[3]{2}=2^{1/3}=\sqrt[12]{2^4}=\sqrt[12]{16}$

$\sqrt{5}=5^{1/2}=\sqrt[12]{5^6}=\sqrt[12]{15625}$

Comme $16<27<15625$, on a : $\sqrt[3]{2} < \sqrt[4]{3} < \sqrt{5}$.

Difficiles

Exercice 1 — Domaine, monotonie et images d'une fonction homographique

Difficile 20 min

Soit $f(x) = \dfrac{3x+2}{x-4}$.

1) Déterminer $D_f$.

2) Étudier la monotonie de $f$.

3) Déterminer $f([0,1])$ ; $f(\,]4,+\infty[\,)$ et $f(\,]-\infty,4[\,)$.

1) $D_f = \mathbb{R} \setminus \{4\}$.

2) On écrit $f(x) = 3 + \dfrac{14}{x-4}$. La fonction $x \mapsto \dfrac{14}{x-4}$ est strictement décroissante sur chacun des intervalles $]-\infty,4[$ et $]4,+\infty[$, donc $f$ est strictement décroissante sur chacun de ces intervalles.

3) $f(0)=\dfrac{2}{-4}=-\dfrac{1}{2}$, $f(1)=\dfrac{5}{-3}=-\dfrac{5}{3}$. Comme $f$ est décroissante : $f([0,1])=[f(1),f(0)]=\left[-\dfrac{5}{3},-\dfrac{1}{2}\right]$.

Quand $x \to 4^+$, $f(x) \to +\infty$ ; quand $x \to +\infty$, $f(x) \to 3$. Donc $f(\,]4,+\infty[\,) = \,]3,+\infty[$.

Quand $x \to -\infty$, $f(x) \to 3$ ; quand $x \to 4^-$, $f(x) \to -\infty$. Donc $f(\,]-\infty,4[\,) = \,]-\infty,3[$.

Exercice 2 — Tableau de variation et images (fonction cubique)

Difficile 20 min

Soit $f(x) = 2x^3-3x^2$.

1) Dresser le tableau de variation de $f$.

2) Déterminer les images des intervalles suivants par $f$ : $[-1;0]$ ; $[1;2]$ ; $[-1;2[$ ; $[1;+\infty[$.

$f'(x) = 6x^2-6x = 6x(x-1)$, s'annule en $x=0$ et $x=1$. $f'>0$ sur $]-\infty,0[$, $f'<0$ sur $]0,1[$, $f'>0$ sur $]1,+\infty[$.

$f$ est donc croissante sur $]-\infty,0]$, décroissante sur $[0,1]$, croissante sur $[1,+\infty[$. On a $f(0)=0$ (maximum local) et $f(1)=-1$ (minimum local).

$f(-1)=-2-3=-5$.

$f([-1,0])$ : $f$ croissante ici, donc $=[f(-1),f(0)]=[-5,0]$.

$f([1,2])$ : $f$ croissante ici, $f(2)=16-12=4$, donc $=[f(1),f(2)]=[-1,4]$.

$f([-1,2[)$ : le minimum sur cet intervalle est $f(-1)=-5$, et $f(x) \to 4$ quand $x \to 2^-$ (non atteint) ; par continuité l'image est $[-5,4[$.

$f([1,+\infty[)$ : $f$ croissante, $f(1)=-1$, et $f(x) \to +\infty$, donc $=[-1,+\infty[$.

Exercice 3 — TVI, Bolzano et dichotomie

Difficile 25 min

Soit $f(x) = 3x^3-4x^2+4x-1$ définie sur $\mathbb{R}$.

1) Dresser le tableau de variation de $f$.

2) Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $c$ dans $\mathbb{R}$.

3) Vérifier que $c \in \,]0;1[$.

4) En utilisant la méthode de dichotomie, donner un encadrement de $c$ d'amplitude $25 \times 10^{-2}$.

1) $f'(x) = 9x^2-8x+4$. Le discriminant vaut $64-144=-80<0$ et le coefficient dominant $9>0$, donc $f'(x)>0$ pour tout $x$ : $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

2) $f$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$, avec $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$. D'après le TVI (cas de la stricte monotonie), l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $c$ dans $\mathbb{R}$.

3) $f(0)=-1<0$ et $f(1)=3-4+4-1=2>0$. Comme $f(0) \times f(1) < 0$, d'après Bolzano, $c \in \,]0;1[$.

4) On divise $[0,1]$ en deux : $f(0{,}5)=0{,}375-1+2-1=0{,}375>0$. Comme $f(0)<0On divise à nouveau : $f(0{,}25) \approx -0{,}203<0$. Comme $f(0{,}25)<0

Quiz — Quiz — La continuité d'une fonction numérique (18 questions)

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