Dérivation et étude de fonctions

Ce chapitre couvre le programme de 2ème Bac sur le thème « Dérivation et étude de fonctions ».

Objectifs du chapitre

Comprendre les notions clés du chapitre « Dérivation et étude de fonctions »
Appliquer les méthodes vues en cours sur des exercices
Résoudre des problèmes concrets liés au chapitre

Dérivabilité et étude des fonctions

Dérivabilité en un point, à droite/gauche, sur un intervalle ; dérivées usuelles et opérations ; monotonie et extremums ; dérivée d'une composée et d'une réciproque ; branches infinies ; concavité et symétrie.

I. Dérivabilité d'une fonction numérique

1. Dérivabilité en un point

Définition : soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $I$ et $a \in I$. $f$ est dérivable en $a$ s'il existe un réel $l$ tel que $\displaystyle\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} = l$. Ce réel $l$ est le nombre dérivé de $f$ en $a$, noté $f'(a)$.

Si $f$ est dérivable en $a$, la courbe $(C_f)$ admet en $A(a; f(a))$ une tangente d'équation : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.

Exemple : $g(x)=x^3$. $\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{g(x)-g(1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} \dfrac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1} = 3$. Donc $g$ est dérivable en 1, $g'(1)=3$, et la tangente en $A(1,g(1))$ a pour équation $y=3(x-1)+1=3x-2$.

Remarques :

Si $f'(a)=0$, $(C_f)$ admet une tangente horizontale $y=f(a)$ en $a$.
Si $\displaystyle\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} = \infty$, $f$ n'est pas dérivable en $a$ ; $(C_f)$ admet une tangente verticale en $a$.

2. Dérivabilité à droite — à gauche

Définitions : $f$ est dérivable à droite en $a$ si $\displaystyle\lim_{x \to a^+} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} = l$, noté $f'_d(a)$. De même à gauche, noté $f'_g(a)$.

Interprétation géométrique : si $f$ est dérivable à droite (resp. à gauche) en $a$, $(C_f)$ admet une demi-tangente à droite (resp. à gauche) en $A(a,f(a))$ d'équation $y=f'_d(a)(x-a)+f(a)$ (resp. avec $f'_g(a)$).

Propriété : $f$ est dérivable en $a$ $\iff$ $f$ est dérivable à droite et à gauche en $a$, et $f'_d(a) = f'_g(a)$.

3. Dérivabilité sur un intervalle

$f$ est dérivable sur $]a,b[$ si elle est dérivable en tout point de $]a,b[$. $f$ est dérivable sur $[a,b]$ si elle est dérivable sur $]a,b[$, dérivable à droite en $a$ et à gauche en $b$.

La fonction dérivée de $f$, notée $f'$, est définie par $f': I \to \mathbb{R}, x \mapsto f'(x)$.

4. Dérivées des fonctions usuelles

Fonction $f$	Dérivée $f'$	Dérivable sur
$x \mapsto a$ (constante)	$x \mapsto 0$	$\mathbb{R}$
$x \mapsto x$	$x \mapsto 1$	$\mathbb{R}$
$x \mapsto ax+b$	$x \mapsto a$	$\mathbb{R}$
$x \mapsto x^n$	$x \mapsto nx^{n-1}$	$\mathbb{R}$
$x \mapsto \sqrt{x}$	$x \mapsto \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$	$]0,+\infty[$
$x \mapsto \dfrac{1}{x}$	$x \mapsto -\dfrac{1}{x^2}$	$]-\infty,0[$ ou $]0,+\infty[$
$x \mapsto \sin x$	$x \mapsto \cos x$	$\mathbb{R}$
$x \mapsto \cos x$	$x \mapsto -\sin x$	$\mathbb{R}$
$x \mapsto \tan x$	$x \mapsto 1+\tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x}$	$\mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2}+k\pi\}$

5. Opérations sur les fonctions dérivées

Soient $u,v$ dérivables sur $I$ et $k \in \mathbb{R}$ :

$(u+v)' = u'+v'$
$(u \times v)' = u'v + uv'$
$(k \times u)' = k \times u'$
Si $v$ ne s'annule pas sur $I$ : $\left(\dfrac{1}{v}\right)' = \dfrac{-v'}{v^2}$ et $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v-uv'}{v^2}$

Monotonie et extremums d'une fonction dérivable

Monotonie — soit $f$ dérivable sur $I$ :

si $f'(x) > 0$ sur $I$ (ou $f'(x) \ge 0$ avec $f'$ nulle seulement en points isolés) : $f$ est strictement croissante sur $I$
si $f'(x) < 0$ sur $I$ (idem) : $f$ est strictement décroissante sur $I$
si $f'(x)=0$ sur $I$ : $f$ est constante sur $I$

Extremums — soit $f$ dérivable sur $I$, $x_0 \in I$ :

si $f'$ s'annule en $x_0$ et change de signe au voisinage de $x_0$, alors $f(x_0)$ est un extremum (maximum ou minimum) de $f$
si $f$ admet un extremum en $x_0$, alors $f'(x_0)=0$

Dérivées successives : si $f'$ est dérivable sur $I$, sa dérivée est la dérivée seconde $f''$ (ou $f^{(2)}$). On définit ainsi $f^{(n+1)} = (f^{(n)})'$, la dérivée d'ordre $n$.

II. Continuité et dérivation

Propriété : toute fonction dérivable en $a$ est continue en $a$. Si $f$ est dérivable sur $I$, alors $f$ est continue sur $I$.

Remarque : la réciproque est fausse : $f: x \mapsto |x|$ est continue en 0 mais non dérivable en 0 (car $f'_d(0)=1 \neq f'_g(0)=-1$).

III. Dérivée d'une fonction composée

Propriété : si $f$ est dérivable sur $I$ et $g$ dérivable sur $f(I)$, alors $g \circ f$ est dérivable sur $I$, et pour tout $x$ de $I$ : $(g \circ f)'(x) = f'(x) \times g'(f(x))$.

Exemple : $f(x)=x^2+1$, $g(x)=\dfrac{x}{x-2}$. $g \circ f$ est dérivable sur $I=]1,+\infty[$ (car $f$ polynomiale dérivable, $f(I)=]2,+\infty[$, et $g$ rationnelle dérivable sur $\mathbb{R} \setminus \{2\} \supset f(I)$), et $(g \circ f)'(x) = \dfrac{-2}{(x^2-1)^2} \times 2x = \dfrac{-4x}{(x^2-1)^2}$.

Conséquence : si $u$ est strictement positive et dérivable sur $I$, alors $\sqrt{u}$ est dérivable sur $I$ et $\left(\sqrt{u}\right)' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$.

IV. Dérivée de la fonction réciproque

Propriété : soit $f$ continue et strictement monotone sur $I$, $a \in I$ :

si $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a) \neq 0$, alors $f^{-1}$ est dérivable en $f(a)$ et $\left(f^{-1}\right)'(f(a)) = \dfrac{1}{f'(a)}$
si $f$ est dérivable sur $I$ et $f'$ ne s'annule pas sur $I$, alors $f^{-1}$ est dérivable sur $f(I)$ et $\left(f^{-1}\right)'(x) = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}$

Exemple : $f(x)=\sqrt{x^2+1}$ sur $\mathbb{R}^+$. $f$ est strictement croissante (car $f'(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}} > 0$ sur $]0,+\infty[$), donc admet une réciproque sur $f(\mathbb{R}^+)=[1,+\infty[$. On a $f(\sqrt{3})=2$ et $f'(\sqrt{3})=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \neq 0$, donc $f^{-1}$ est dérivable en 2 et $\left(f^{-1}\right)'(2) = \dfrac{1}{f'(\sqrt{3})} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$.

V. Dérivée de la fonction $x \mapsto \sqrt[n]{u(x)}$

Propriété 1 : $x \mapsto \sqrt[n]{x}$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ et $\left(\sqrt[n]{x}\right)' = \dfrac{1}{n\left(\sqrt[n]{x}\right)^{n-1}}$.

Si $f$ est strictement positive et dérivable sur $I$, alors $x \mapsto \sqrt[n]{f(x)}$ est dérivable sur $I$ et $\left(\sqrt[n]{f(x)}\right)' = \dfrac{f'(x)}{n \times \left(\sqrt[n]{f(x)}\right)^{n-1}}$.

Propriété 2 : pour $r \in \mathbb{Q}^*$, $x \mapsto x^r$ est dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$, de dérivée $x \mapsto rx^{r-1}$. Si $u$ est dérivable et strictement positive sur $I$, alors $\left((u(x))^r\right)' = ru'(x)(u(x))^{r-1}$.

VI. Branches infinies (rappels)

Si $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \infty$ : $(C_f)$ admet une asymptote verticale $x=a$.
Si $\displaystyle\lim_{x \to \infty} f(x) = l$ : $(C_f)$ admet une asymptote horizontale $y=l$.
Si $\displaystyle\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$, on étudie $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x}$ :
- si la limite vaut $0$ : branche parabolique de direction l'axe des abscisses
- si la limite est infinie : branche parabolique de direction l'axe des ordonnées
- si la limite vaut $a$ (fini, non nul), on étudie $\displaystyle\lim_{x \to \infty} (f(x)-ax)$ : si infinie, branche parabolique de direction $y=ax$ ; si elle vaut $b$, $(C_f)$ admet l'asymptote oblique $y=ax+b$

Exemple : $f(x)=\dfrac{2x}{x-1}$. $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 2$ : asymptote horizontale $y=2$. $\displaystyle\lim_{x \to 1^+} f(x)=+\infty$, $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x)=-\infty$ : asymptote verticale $x=1$.

VII. Concavité d'une courbe — Points d'inflexion

Soit $f$ deux fois dérivable sur $I$ :

$(C_f)$ est concave sur $I$ $\iff$ $\forall x \in I, f''(x) \le 0$
$(C_f)$ est convexe sur $I$ $\iff$ $\forall x \in I, f''(x) \ge 0$
$\Omega(a,f(a))$ est un point d'inflexion $\iff$ $f''$ s'annule en $a$ et change de signe de part et d'autre de $a$

VIII. Éléments de symétrie d'une courbe

Axe de symétrie : la droite $x=a$ est axe de symétrie de $(C_f)$ $\iff$ $\forall x \in D_f$, $2a-x \in D_f$ et $f(2a-x)=f(x)$.

Centre de symétrie : $\Omega(a,b)$ est centre de symétrie de $(C_f)$ $\iff$ $\forall x \in D_f$, $2a-x \in D_f$ et $f(2a-x)=2b-f(x)$.

Exemple (axe) : $f(x)=x^2-2x+1$. On vérifie $f(2-x)=(2-x)^2-2(2-x)+1=x^2-2x+1=f(x)$ : la droite $x=1$ est axe de symétrie de $(C_f)$.

Méthode à retenir

Méthode — étude complète d'une fonction :

déterminer $D_f$ ;
étudier les limites aux bornes et en déduire les branches infinies (asymptotes, branches paraboliques) ;
calculer $f'(x)$, étudier son signe pour dresser le tableau de variation, et identifier les extremums ;
si besoin, étudier $f''(x)$ pour la concavité et les points d'inflexion ;
rechercher un éventuel axe ou centre de symétrie ;
tracer la courbe à l'aide de tous ces éléments.

Exercices

Faciles

Exercice 1 — Nombre dérivé et tangente

Facile 10 min

Soit $f(x)=1-x^2$.
1) Calculer le nombre dérivé de $f$ en $1$.
2) Déterminer une équation de la tangente à $(C_f)$ au point d'abscisse $1$.

1) $\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} \dfrac{(1-x^2)-0}{x-1} = \lim_{x \to 1} \dfrac{-(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} -(x+1) = -2$.
Donc $f$ est dérivable en $1$ et $f'(1)=-2$.

2) $f(1)=1-1=0$. Tangente : $y=f'(1)(x-1)+f(1)=-2(x-1)+0=-2x+2$.

Exercice 2 — Calculs de dérivées (produit, quotient, composée trigonométrique)

Facile 10 min

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes, en précisant l'ensemble de dérivabilité :
1) $f(x)=(2x-3)(x^2-5x)$
2) $g(x)=\dfrac{x+1}{x-1}$
3) $h(x)=x^3\cos(x)$

1) $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ (produit de polynômes) :
$f'(x)=2(x^2-5x)+(2x-3)(2x-5)=2x^2-10x+4x^2-16x+15=6x^2-26x+15$.

2) $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ :
$g'(x)=\dfrac{1\cdot(x-1)-(x+1)\cdot 1}{(x-1)^2}=\dfrac{x-1-x-1}{(x-1)^2}=\dfrac{-2}{(x-1)^2}$.

3) $h$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ :
$h'(x)=3x^2\cos(x)+x^3(-\sin(x))=3x^2\cos(x)-x^3\sin(x)$.

Exercice 3 — Axe de symétrie

Facile 10 min

Soit $f(x)=-3x^2+5x-1$. Montrer que la droite $D:x=\dfrac56$ est un axe de symétrie de $(C_f)$.

On doit vérifier que $f\left(\dfrac53-x\right)=f(x)$ pour tout $x$ (avec $2\times\frac56=\frac53$).

$f\left(\frac53-x\right)=-3\left(\frac53-x\right)^2+5\left(\frac53-x\right)-1$
$=-3\left(\frac{25}{9}-\frac{10}{3}x+x^2\right)+\frac{25}{3}-5x-1$
$=-\frac{25}{3}+10x-3x^2+\frac{25}{3}-5x-1$
$=-3x^2+5x-1=f(x)$.

L'égalité étant vérifiée pour tout $x$, la droite $x=\dfrac56$ est bien un axe de symétrie de $(C_f)$.

Moyens

Exercice 1 — Signe de la dérivée et monotonie

Moyen 10 min

Soit $f(x)=(x-1)^3$.
1) Montrer que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et calculer $f'(x)$.
2) Étudier le signe de $f'(x)$.
3) En déduire que $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

1) $f$ est une fonction polynôme (composée de $x \mapsto x-1$ et $x \mapsto x^3$), donc dérivable sur $\mathbb{R}$, et $f'(x)=3(x-1)^2$.

2) Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $(x-1)^2 \ge 0$, donc $f'(x)=3(x-1)^2 \ge 0$. De plus $f'(x)=0 \iff x=1$ : la dérivée s'annule uniquement en un point isolé.

3) Comme $f'(x)\ge 0$ sur $\mathbb{R}$ et ne s'annule qu'en un point isolé, $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Exercice 2 — Tableau de variation et extremums locaux

Moyen 10 min

Soit $f(x)=3x-x^3$.
1) Dresser le tableau de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$.
2) Montrer que $f$ admet un extremum sur $\left[-\dfrac{3}{2},0\right]$ et un extremum sur $\left[\dfrac{1}{2},2\right]$ ; préciser leur nature et leur valeur.

1) $f'(x)=3-3x^2=3(1-x)(1+x)$, qui s'annule en $x=-1$ et $x=1$.
Pour $x \in ]-1,1[$ : $f'(x)>0$. Pour $x<-1$ ou $x>1$ : $f'(x)<0$.
$f$ est donc décroissante sur $]-\infty,-1]$, croissante sur $[-1,1]$, décroissante sur $[1,+\infty[$.

2) Sur $\left[-\frac32,0\right]$, $f'$ s'annule en $x=-1$ et change de signe ($-$ puis $+$) : $f(-1)=-3+1=-2$ est un minimum local.
Sur $\left[\frac12,2\right]$, $f'$ s'annule en $x=1$ et change de signe ($+$ puis $-$) : $f(1)=3-1=2$ est un maximum local.

Exercice 3 — Dérivées successives

Moyen 10 min

Calculer $f''(x)$ (dérivée seconde) pour :
1) $f(x)=-3x^2-3x+7$
2) $f(x)=\dfrac14x^4-\dfrac13x^3-x^2$

1) $f'(x)=-6x-3$, donc $f''(x)=-6$.

2) $f'(x)=x^3-x^2-2x$, donc $f''(x)=3x^2-2x-2$.

Exercice 4 — Dérivée d'une fonction composée

Moyen 10 min

Soit $f(x)=\cos(x^2+1)$ et $g(x)=\sqrt{2+\sin(x)}$.
1) Écrire $f$ sous la forme $v \circ u$ avec $u(x)=x^2+1$ et $v(x)=\cos(x)$, puis calculer $f'(x)$.
2) Montrer que $g'(x)=\dfrac{\cos(x)}{2\sqrt{2+\sin(x)}}$.

1) $f=v\circ u$ avec $u(x)=x^2+1$, $u'(x)=2x$, et $v(x)=\cos(x)$, $v'(x)=-\sin(x)$.
$f'(x)=u'(x)\times v'(u(x))=2x \times \big(-\sin(x^2+1)\big)=-2x\sin(x^2+1)$.

2) $g=\sqrt{w}$ avec $w(x)=2+\sin(x)$, $w'(x)=\cos(x)$, $w>0$ (car $\sin(x)\ge -1$).
D'après la formule $\left(\sqrt{w}\right)'=\dfrac{w'}{2\sqrt{w}}$ : $g'(x)=\dfrac{\cos(x)}{2\sqrt{2+\sin(x)}}$.

Exercice 5 — Dérivée de $\sqrt[n]{u(x)}$

Moyen 10 min

Calculer la dérivée de :
1) $f(x)=\sqrt[4]{3+\cos(x)}$
2) $g(x)=\sqrt[5]{x^2-x}$

On utilise $\left(\sqrt[n]{u(x)}\right)'=\dfrac{u'(x)}{n\left(\sqrt[n]{u(x)}\right)^{n-1}}$.

1) $u(x)=3+\cos(x)$, $u'(x)=-\sin(x)$ : $f'(x)=\dfrac{-\sin(x)}{4\sqrt[4]{(3+\cos x)^3}}$.

2) $u(x)=x^2-x$, $u'(x)=2x-1$ : $g'(x)=\dfrac{2x-1}{5\sqrt[5]{(x^2-x)^4}}$.

Exercice 6 — Concavité et point d'inflexion

Moyen 10 min

Soit $f(x)=x^3+x^2$.
1) Calculer $f''(x)$.
2) Étudier le signe de $f''(x)$ et en déduire les intervalles de concavité et de convexité de $(C_f)$.
3) Montrer que $(C_f)$ admet un point d'inflexion dont on précisera les coordonnées.

1) $f'(x)=3x^2+2x$, donc $f''(x)=6x+2$.

2) $f''(x)=0 \iff x=-\dfrac13$. Pour $x<-\dfrac13$, $f''(x)<0$ : $(C_f)$ est concave sur $\left]-\infty,-\frac13\right]$. Pour $x>-\dfrac13$, $f''(x)>0$ : $(C_f)$ est convexe sur $\left[-\frac13,+\infty\right[$.

3) $f''$ s'annule en $-\dfrac13$ en changeant de signe : $(C_f)$ admet un point d'inflexion en $x=-\dfrac13$.
$f\left(-\frac13\right)=-\dfrac{1}{27}+\dfrac19=\dfrac{2}{27}$. Le point d'inflexion est $\Omega\left(-\dfrac13,\dfrac{2}{27}\right)$.

Exercice 7 — Centre de symétrie

Moyen 10 min

Soit $f(x)=\dfrac{2x-1}{x+1}$. Montrer que $\Omega(-1,2)$ est un centre de symétrie de $(C_f)$.

On doit vérifier que $f(-2-x)=4-f(x)$ pour tout $x\in D_f$ (avec $2\times(-1)=-2$ et $2\times2=4$).

$f(-2-x)=\dfrac{2(-2-x)-1}{(-2-x)+1}=\dfrac{-4-2x-1}{-1-x}=\dfrac{-5-2x}{-1-x}=\dfrac{5+2x}{1+x}$.

$4-f(x)=4-\dfrac{2x-1}{x+1}=\dfrac{4(x+1)-(2x-1)}{x+1}=\dfrac{4x+4-2x+1}{x+1}=\dfrac{2x+5}{x+1}$.

On a bien $f(-2-x)=\dfrac{5+2x}{1+x}=\dfrac{2x+5}{x+1}=4-f(x)$ : $\Omega(-1,2)$ est un centre de symétrie de $(C_f)$.

Difficiles

Exercice 1 — Dérivée de la fonction réciproque

Difficile 10 min

Soit $g(x)=x^3-3x$ définie sur $I=]1,+\infty[$.
1) Montrer que $g$ réalise une bijection de $I$ vers un intervalle $J$ à préciser.
2) Montrer que $g^{-1}$ est dérivable sur $J$.
3) Calculer $g(\sqrt2)$ et en déduire $(g^{-1})'(-\sqrt2)$, puis une équation de la tangente à $(C_{g^{-1}})$ au point d'abscisse $-\sqrt2$.

1) $g'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)$. Pour $x>1$, $x^2>1$ donc $g'(x)>0$ : $g$ est strictement croissante sur $I$, donc continue et strictement monotone : elle réalise une bijection de $I$ vers $J=g(I)$.
$g(1)=1-3=-2$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty$, donc $J=]-2,+\infty[$.

2) $g$ est dérivable sur $I$ et $g'(x)=3(x^2-1)\ne 0$ pour $x>1$ : donc $g^{-1}$ est dérivable sur $J$.

3) $g(\sqrt2)=2\sqrt2-3\sqrt2=-\sqrt2$. $g'(\sqrt2)=3(2)-3=3\ne 0$.
$(g^{-1})'(-\sqrt2)=\dfrac{1}{g'(\sqrt2)}=\dfrac13$.
Comme $g^{-1}(-\sqrt2)=\sqrt2$, la tangente à $(C_{g^{-1}})$ en $-\sqrt2$ a pour équation : $y=\dfrac13\left(x+\sqrt2\right)+\sqrt2$.

Exercice 2 — Branches infinies d'une fonction homographique

Difficile 10 min

Soit $f(x)=\dfrac{x^2+x-1}{x+2}$.
1) Déterminer $D_f$.
2) Calculer les limites de $f$ en $-2^-$ et $-2^+$ ; interpréter graphiquement.
3) Vérifier que $f(x)=x-1+\dfrac{1}{x+2}$, en déduire l'asymptote oblique en $+\infty$ et $-\infty$, puis la position de $(C_f)$ par rapport à cette asymptote.

1) $D_f=\mathbb{R}\setminus\{-2\}$.

2) $\displaystyle\lim_{x\to -2^-}f(x)=-\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to -2^+}f(x)=+\infty$ (numérateur tend vers $1$, dénominateur vers $0$ en changeant de signe) : $(C_f)$ admet l'asymptote verticale $x=-2$.

3) $(x-1)(x+2)+1=x^2+2x-x-2+1=x^2+x-1$, ce qui confirme l'écriture. Quand $x\to\pm\infty$, $\dfrac{1}{x+2}\to 0$, donc $(C_f)$ admet l'asymptote oblique $y=x-1$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
$f(x)-(x-1)=\dfrac{1}{x+2}$ : positif pour $x>-2$ ($C_f$ au-dessus de l'asymptote), négatif pour $x<-2$ ($C_f$ en dessous).

Quiz — Quiz — Dérivabilité et étude de fonctions (20 questions)

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