Suites numériques

Ce chapitre couvre le programme de 2ème Bac sur le thème « Suites numériques ».

Objectifs du chapitre

Comprendre les notions clés du chapitre « Suites numériques »
Appliquer les méthodes vues en cours sur des exercices
Résoudre des problèmes concrets liés au chapitre

Suites numériques

Rappels (bornes, monotonie, suites arithmétiques/géométriques), limite d'une suite, limites de référence, convergence, critères de convergence (monotone-bornée, encadrement, comparaison, majoration), et limites de suites particulières $f(u_n)$ et $u_{n+1}=f(u_n)$.

I. Rappels

1. Suite majorée — minorée — bornée

Soit $n_0 \in \mathbb{N}$, $I=\{n \in \mathbb{N} : n \ge n_0\}$ et $(U_n)_{n\in I}$ une suite.

$(U_n)$ est majorée s'il existe $M \in \mathbb{R}$ tel que $(\forall n \in I): U_n \le M$ ;
$(U_n)$ est minorée s'il existe $m \in \mathbb{R}$ tel que $(\forall n \in I): U_n \ge m$ ;
$(U_n)$ est bornée s'il existe $m,M \in \mathbb{R}$ tels que $(\forall n \in I): m \le U_n \le M$.

2. Monotonie d'une suite

$(U_n)$ est croissante $\iff (\forall n \in I): U_{n+1} \ge U_n$. Si croissante, alors $(\forall n \in I): U_n \ge U_{n_0}$ ;
$(U_n)$ est décroissante $\iff (\forall n \in I): U_{n+1} \le U_n$. Si décroissante, alors $(\forall n \in I): U_n \le U_{n_0}$.

3. Suite arithmétique — suite géométrique

La suite	Relation de récurrence	Terme général	Somme $S_n=U_p+\cdots+U_n$
Arithmétique de raison $r$	$U_{n+1}=U_n+r$	$U_n=U_k+(n-k)r$	$S_n=\dfrac{n-p+1}{2}(U_p+U_n)$
Géométrique de raison $q$ ($q\ne0,1$)	$U_{n+1}=U_n\times q$	$U_n=U_k\times q^{n-k}$	$S_n=U_p\times\dfrac{1-q^{n-p+1}}{1-q}$
Géométrique de raison $q=1$	$U_{n+1}=U_n$	$U_n=U_{n_0}$	$S_n=U_p\times(n-p+1)$

II. Limite d'une suite numérique

1. Définition

$l$ est la limite de $(U_n)$, noté $\lim U_n=l$, si tout intervalle ouvert centré en $l$ contient tous les termes de $(U_n)$ à partir d'un certain indice.

2. Limites de référence

Pour $p \in \mathbb{N}$, $p \ge 3$ :

$\lim n=+\infty$ ; $\lim n^2=+\infty$ ; $\lim n^p=+\infty$ ; $\lim\sqrt n=+\infty$ ; $\lim\dfrac1n=0$ ; $\lim\dfrac1{n^2}=0$ ; $\lim\dfrac1{n^p}=0$ ; $\lim\dfrac1{\sqrt n}=0$.

3. Convergence d'une suite

$(u_n)$ est convergente si elle admet une limite finie ; elle est divergente sinon (limite $\pm\infty$ ou pas de limite).

4. Limite de la suite géométrique $(a^n)$

si $a>1$ : $\lim a^n=+\infty$ ;
si $-1
si $a\le-1$ : $(a^n)$ n'a pas de limite ;
si $a=1$ : $\lim a^n=1$.

5. Limite de la suite $(n^\alpha)$, $\alpha \in \mathbb{Q}^*$

si $\alpha>0$ : $\lim n^\alpha=+\infty$ ; si $\alpha<0$ : $\lim n^\alpha=0$.

6. Extension des opérations sur les limites

Les résultats sur les opérations de limites de fonctions restent valables pour les suites (somme, produit, inverse), y compris les formes indéterminées ($\infty-\infty$, $0\times\infty$...).

7. Limite et ordre

Si $U_n>V_n$ pour tout $n$, $\lim U_n=l$ et $\lim V_n=l'$, alors $l\ge l'$.

III. Critères de convergence

Propriété 1 : toute suite croissante et majorée est convergente ; toute suite décroissante et minorée est convergente.

Propriété 2 (encadrement) : si $V_n \le U_n \le W_n$ et $\lim V_n=\lim W_n=l$, alors $\lim U_n=l$.

Propriété 3 (comparaison vers $+\infty$) : si $\alpha u_n \le v_n$ (avec $\alpha>0$) et $\lim u_n=+\infty$, alors $\lim v_n=+\infty$.

Propriété 4 (majoration) : si $|u_n-l|\le\alpha v_n$ (avec $\alpha>0$) et $\lim v_n=0$, alors $\lim u_n=l$.

IV. Limite de suites particulières

1. La suite $v_n=f(u_n)$

Propriété : si $f$ est continue en $l$ et $(u_n)$ converge vers $l$, alors $(v_n)$ avec $v_n=f(u_n)$ converge vers $f(l)$.

2. La suite $u_{n+1}=f(u_n)$ — point fixe

Propriété : soit $f$ définie sur $I$ et $(u_n)$ telle que $u_0 \in I$, $u_{n+1}=f(u_n)$. Si $f$ est continue sur $I$, $f(I)\subset I$, et $(u_n)$ converge vers $l$, alors $f(l)=l$ ($l$ est un point fixe de $f$).

Méthode à retenir

Méthode — étudier une suite $u_{n+1}=f(u_n)$ :

montrer par récurrence qu'elle reste dans un intervalle $I$ stable par $f$ (bornes) ;
étudier sa monotonie (souvent via le signe de $u_{n+1}-u_n$ ou en comparant $f(x)$ à $x$) ;
conclure à la convergence via la Propriété 1 (monotone + bornée) ;
si $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $f$ continue, la limite $l$ vérifie $f(l)=l$ : résoudre cette équation pour l'identifier parmi les valeurs compatibles avec l'encadrement trouvé.

Méthode — suite auxiliaire : pour une suite définie par une relation homographique $u_{n+1}=\frac{au_n+b}{cu_n+d}$, chercher une suite auxiliaire $v_n=\frac{u_n-\alpha}{u_n-\beta}$ (avec $\alpha,\beta$ points fixes de $f$) qui est géométrique.

Exercices

Faciles

Exercice 1 — Majoration $|u_n-l|\le\alpha v_n$

Facile 10 min

Soit $(u_n)$ définie par $u_n=\dfrac{(-1)^n}{n}+1$. Montrer que $\lim u_n=1$.

$|u_n-1|=\left|\dfrac{(-1)^n}{n}\right|=\dfrac1n$ (car $|(-1)^n|=1$).

On a donc $|u_n-1|\le1\times\dfrac1n$ avec $\alpha=1$ et $v_n=\dfrac1n\to0$. D'après la Propriété 4 (majoration), $\lim u_n=1$.

Moyens

Exercice 1 — Suite auxiliaire géométrique (I)

Moyen 10 min

Soit $(u_n)_{n\ge1}$ définie par $u_1=2$ et $u_{n+1}=\dfrac13u_n+2$.
1) Calculer $u_2$ et $u_3$.
2) Montrer que $(u_n)$ est majorée par $3$.
3) Étudier la monotonie de $(u_n)$ ; en déduire qu'elle est minorée par $2$.
4) Soit $v_n=u_n-3$. Montrer que $(v_n)$ est géométrique et déterminer $v_n$ en fonction de $n$.

1) $u_2=\dfrac13(2)+2=\dfrac83$. $u_3=\dfrac13\times\dfrac83+2=\dfrac89+2=\dfrac{26}9$.

2) Par récurrence : $u_1=2\le3$. Si $u_n\le3$, alors $u_{n+1}=\dfrac13u_n+2\le\dfrac13(3)+2=3$. Donc $(\forall n\ge1): u_n\le3$.

3) $u_{n+1}-u_n=\dfrac13u_n+2-u_n=2-\dfrac23u_n=\dfrac23(3-u_n)\ge0$ (car $u_n\le3$). Donc $(u_n)$ est croissante, et comme croissante, $u_n\ge u_1=2$ pour tout $n$ : minorée par $2$.

4) $v_{n+1}=u_{n+1}-3=\dfrac13u_n+2-3=\dfrac13u_n-1=\dfrac13(u_n-3)=\dfrac13v_n$. $(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac13$.
$v_1=u_1-3=-1$. Donc $v_n=v_1\times\left(\dfrac13\right)^{n-1}=-\left(\dfrac13\right)^{n-1}$.

Exercice 2 — Limites de suites (formes rationnelles et racines)

Moyen 10 min

Calculer la limite de $(u_n)$ dans les cas suivants :
1) $u_n=\dfrac{n^2+n+1}{3n^3+n-6}$
2) $u_n=\dfrac{(n+2)\sqrt n}{n+4}$
3) $u_n=\dfrac{\sqrt n+1}{\sqrt n+3}$
4) $u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt n$

1) En divisant par $n^3$ : $u_n=\dfrac{1/n+1/n^2+1/n^3}{3+1/n^2-6/n^3}\to\dfrac03=0$.

2) $u_n=\dfrac{(n+2)\sqrt n}{n+4}\sim\dfrac{n\sqrt n}{n}=\sqrt n\to+\infty$.

3) En divisant par $\sqrt n$ : $u_n=\dfrac{1+1/\sqrt n}{1+3/\sqrt n}\to\dfrac11=1$.

4) $u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt n=\dfrac{(\sqrt{n+1}-\sqrt n)(\sqrt{n+1}+\sqrt n)}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}\to0$.

Exercice 3 — Limites de suites géométriques $(a^n)$

Moyen 10 min

Calculer la limite de $(u_n)$ dans les cas suivants :
1) $u_n=\left(\dfrac38\right)^n+\left(\dfrac54\right)^n$
2) $u_n=2^n-3^n$
3) $u_n=\dfrac{4^n-3^n}{4^n+3^n}$

1) $\left(\dfrac38\right)^n\to0$ (car $-1<\frac38<1$) et $\left(\dfrac54\right)^n\to+\infty$ (car $\frac54>1$). Donc $u_n\to+\infty$.

2) $u_n=3^n\left(\left(\dfrac23\right)^n-1\right)$. Comme $\left(\dfrac23\right)^n\to0$, le facteur $\to-1$, et $3^n\to+\infty$, donc $u_n\to-\infty$.

3) En divisant par $4^n$ : $u_n=\dfrac{1-(3/4)^n}{1+(3/4)^n}\to\dfrac{1-0}{1+0}=1$.

Exercice 4 — Limites de suites en puissance rationnelle

Moyen 10 min

Calculer la limite de $(U_n)$ dans les cas suivants :
1) $U_n=n^{5/2}-n^{4/3}$
2) $U_n=\sqrt n-\sqrt[4]n$

1) $U_n=n^{5/2}\left(1-n^{4/3-5/2}\right)=n^{5/2}\left(1-n^{-7/6}\right)$. Comme $n^{-7/6}\to0$, le facteur $\to1$, et $n^{5/2}\to+\infty$, donc $U_n\to+\infty$.

2) $U_n=n^{1/2}\left(1-n^{1/4-1/2}\right)=n^{1/2}\left(1-n^{-1/4}\right)\to+\infty\times1=+\infty$.

Exercice 5 — Limites diverses

Moyen 10 min

Déterminer la limite de $(U_n)_{n\ge1}$ dans les cas suivants :
1) $U_n=n-2\sqrt n$
2) $U_n=\dfrac{2n^2+3n+1}{n^2+1}$
3) $U_n=\dfrac{n+1}{\sqrt n}$

1) $U_n=\sqrt n(\sqrt n-2)\to+\infty\times+\infty=+\infty$.

2) En divisant par $n^2$ : $U_n=\dfrac{2+3/n+1/n^2}{1+1/n^2}\to\dfrac21=2$.

3) $U_n=\dfrac{n}{\sqrt n}+\dfrac1{\sqrt n}=\sqrt n+\dfrac1{\sqrt n}\to+\infty$.

Exercice 6 — Théorème des gendarmes (encadrement)

Moyen 10 min

Soit $(u_n)$ définie par $u_n=\dfrac{\cos(n)}{n^2+1}+2$.
1) Montrer que $(\forall n\in\mathbb{N})$ : $\dfrac{-1}{n^2+1}+2\le u_n\le\dfrac{1}{n^2+1}+2$.
2) En déduire $\lim u_n$.

1) Comme $-1\le\cos(n)\le1$ et $n^2+1>0$, en divisant par $n^2+1$ : $\dfrac{-1}{n^2+1}\le\dfrac{\cos(n)}{n^2+1}\le\dfrac{1}{n^2+1}$. En ajoutant $2$ à chaque membre, on obtient l'encadrement voulu.

2) Les deux bornes $\dfrac{\pm1}{n^2+1}+2$ tendent vers $0+2=2$ quand $n\to+\infty$. D'après le théorème des gendarmes (Propriété 2), $\lim u_n=2$.

Exercice 7 — Comparaison vers l'infini

Moyen 10 min

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par $u_n=\sin(n)+3n$ et $v_n=\cos(n^2+3)-5n+1$.
1) Montrer que $u_n\ge-1+3n$ et $v_n\le2-5n$.
2) En déduire la limite de $(u_n)$ et $(v_n)$.

1) Comme $\sin(n)\ge-1$ : $u_n=\sin(n)+3n\ge-1+3n$. Comme $\cos(n^2+3)\le1$ : $v_n=\cos(n^2+3)-5n+1\le1-5n+1=2-5n$.

2) $-1+3n\to+\infty$ ; comme $u_n\ge-1+3n$, par comparaison (Propriété 3), $\lim u_n=+\infty$.
$2-5n\to-\infty$ ; comme $v_n\le2-5n$, par comparaison, $\lim v_n=-\infty$.

Exercice 8 — Limite de la forme $f(u_n)$

Moyen 10 min

Calculer les limites des suites suivantes :
1) $u_n=\sin\left(\dfrac{1-n^2\pi}{n+6n^2}\right)$
2) $v_n=\sqrt{\dfrac{16n^2-3n+1}{2n^2+1}}$

1) $\dfrac{1-n^2\pi}{n+6n^2}=\dfrac{1/n^2-\pi}{1/n+6}\to\dfrac{-\pi}6$ quand $n\to+\infty$. Comme $\sin$ est continue, $\lim u_n=\sin\left(-\dfrac\pi6\right)=-\dfrac12$.

2) $\dfrac{16n^2-3n+1}{2n^2+1}=\dfrac{16-3/n+1/n^2}{2+1/n^2}\to\dfrac{16}2=8$. Comme $\sqrt{\ }$ est continue, $\lim v_n=\sqrt8=2\sqrt2$.

Difficiles

Exercice 1 — Suite homographique et suite auxiliaire

Difficile 10 min

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=\dfrac{2u_n+3}{u_n+4}$.
1) Calculer $u_1$, $u_2$.
2) Montrer par récurrence que $(\forall n\ge1): 03) Montrer que $(u_n)$ est croissante.
4) Soit $v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n+3}$.
a) Montrer que $(v_n)$ est géométrique en déterminant sa raison.
b) Déterminer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.

1) $u_1=\dfrac{2(0)+3}{0+4}=\dfrac34$. $u_2=\dfrac{2(3/4)+3}{3/4+4}=\dfrac{9/2}{19/4}=\dfrac{18}{19}$.

2) Base : $u_1=\dfrac34\in]0,1[$. Hérédité : si $00$), donc $u_{n+1}<1$ ; et $u_{n+1}>0$ car numérateur et dénominateur positifs. Donc $0

3) $u_{n+1}-u_n=\dfrac{2u_n+3-u_n(u_n+4)}{u_n+4}=\dfrac{-u_n^2-2u_n+3}{u_n+4}=\dfrac{-(u_n+3)(u_n-1)}{u_n+4}$.
Pour $00$, $u_n-1<0$, $u_n+4>0$, donc le numérateur $-(u_n+3)(u_n-1)>0$ : $(u_n)$ est croissante.

4) a) $u_{n+1}-1=\dfrac{u_n-1}{u_n+4}$ (calculé ci-dessus) et $u_{n+1}+3=\dfrac{2u_n+3+3(u_n+4)}{u_n+4}=\dfrac{5u_n+15}{u_n+4}=\dfrac{5(u_n+3)}{u_n+4}$.
$v_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}+3}=\dfrac{(u_n-1)/(u_n+4)}{5(u_n+3)/(u_n+4)}=\dfrac{u_n-1}{5(u_n+3)}=\dfrac15v_n$. $(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac15$.

b) $v_0=\dfrac{u_0-1}{u_0+3}=\dfrac{-1}3$. Donc $v_n=-\dfrac13\left(\dfrac15\right)^n$.
En résolvant $v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n+3}$ pour $u_n$ : $u_n=\dfrac{1+3v_n}{1-v_n}=\dfrac{3-3(1/5)^n}{3+(1/5)^n}$ (après simplification).

Exercice 2 — Suite homographique avec suite auxiliaire (Rattrapage 2011)

Difficile 10 min

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=\dfrac{6u_n}{1+15u_n}$.
1) Vérifier que $(\forall n\in\mathbb{N}): u_{n+1}-\dfrac13=\dfrac{u_n-\frac13}{15u_n+1}$.
2) Montrer par récurrence que $(\forall n): u_n>\dfrac13$.
3) Soit $v_n=1-\dfrac{1}{3u_n}$. Montrer que $(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac16$.
4) Montrer que $u_n=\dfrac{1}{3-2(1/6)^n}$ puis déduire $\lim u_n$.

1) $u_{n+1}-\dfrac13=\dfrac{6u_n}{1+15u_n}-\dfrac13=\dfrac{18u_n-(1+15u_n)}{3(1+15u_n)}=\dfrac{3u_n-1}{3(1+15u_n)}=\dfrac{u_n-1/3}{1+15u_n}$.

2) Base : $u_0=1>\dfrac13$. Hérédité : si $u_n>\dfrac13$, alors $u_n-\frac13>0$ et $15u_n+1>0$, donc d'après la question 1, $u_{n+1}-\frac13>0$, soit $u_{n+1}>\dfrac13$.

3) $v_n=1-\dfrac1{3u_n}=\dfrac{3u_n-1}{3u_n}$. En calculant $v_{n+1}$ à partir de $u_{n+1}=\dfrac{6u_n}{1+15u_n}$, on obtient $v_{n+1}=\dfrac{3u_n-1}{18u_n}$, donc $\dfrac{v_{n+1}}{v_n}=\dfrac{3u_n}{18u_n}=\dfrac16$ : $(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac16$.

4) $v_0=1-\dfrac1{3(1)}=\dfrac23$, donc $v_n=\dfrac23\left(\dfrac16\right)^n$. En résolvant $v_n=1-\dfrac1{3u_n}$ pour $u_n$ : $u_n=\dfrac{1}{3(1-v_n)}=\dfrac1{3-3v_n}=\dfrac{1}{3-2(1/6)^n}$.
Comme $\left(\dfrac16\right)^n\to0$, $\lim u_n=\dfrac{1}{3-0}=\dfrac13$.

Exercice 3 — Suite décroissante minorée : convergence

Difficile 10 min

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=-1$ et $u_{n+1}=\dfrac{1}{2-u_n}$.
1) Montrer, pour tout $n\in\mathbb{N}$, que $u_n<1$.
2) Étudier la monotonie de $(u_n)$ puis en déduire qu'elle est convergente.

1) Par récurrence : $u_0=-1<1$. Si $u_n<1$, alors $2-u_n>1>0$, et $u_{n+1}<1 \iff \dfrac1{2-u_n}<1 \iff 1<2-u_n \iff u_n<1$, ce qui est vrai par hypothèse. Donc $u_{n+1}<1$.

2) $u_{n+1}-u_n=\dfrac1{2-u_n}-u_n=\dfrac{1-u_n(2-u_n)}{2-u_n}=\dfrac{u_n^2-2u_n+1}{2-u_n}=\dfrac{(u_n-1)^2}{2-u_n}\ge0$ (car $(u_n-1)^2\ge0$ et $2-u_n>0$).
$(u_n)$ est donc croissante. Comme elle est croissante et majorée (par $1$, question 1), elle est convergente d'après la Propriété 1.

Exercice 4 — Étude complète : point fixe $u_{n+1}=f(u_n)$

Difficile 10 min

Soit $f$ définie sur $[0,+\infty[$ par $f(x)=x-2\sqrt x+2$.
1) Montrer, pour tout $x\in[1,+\infty[$, que $f(x)\le x$.
2) Soit $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et $u_{n+1}=f(u_n)$.
a) Montrer par récurrence que $(\forall n): 1\le u_n\le2$.
b) Montrer que $(u_n)$ est décroissante.
c) En déduire que $(u_n)$ est convergente puis déterminer sa limite.

1) $f(x)-x=-2\sqrt x+2=-2(\sqrt x-1)$. Pour $x\ge1$, $\sqrt x\ge1$, donc $\sqrt x-1\ge0$, donc $f(x)-x\le0$, soit $f(x)\le x$.

2a) Base : $u_0=2$, donc $1\le u_0\le2$. Hérédité : la fonction $f$ est croissante sur $[1,+\infty[$ ; si $1\le u_n\le2$, alors $f(1)\le f(u_n)\le f(2)$, soit $1\le u_{n+1}\le4-2\sqrt2\approx1{,}17\le2$. Donc $1\le u_{n+1}\le2$.

2b) Comme $u_n\in[1,2]\subset[1,+\infty[$, d'après la question 1 : $f(u_n)\le u_n$, c'est-à-dire $u_{n+1}\le u_n$ : $(u_n)$ est décroissante.

2c) $(u_n)$ est décroissante et minorée (par $1$), donc convergente d'après la Propriété 1. Soit $l$ sa limite ; comme $f$ est continue et $u_{n+1}=f(u_n)$, on a $f(l)=l$ :
$l-2\sqrt l+2=l \iff -2\sqrt l+2=0 \iff \sqrt l=1 \iff l=1$.
Comme $l\in[1,2]$, cette valeur est cohérente : $\lim u_n=1$.

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