Trigonométrie

Ce chapitre couvre le programme de 1ère Bac sur le thème « Trigonométrie ».

Objectifs du chapitre

Comprendre les notions clés du chapitre « Trigonométrie »
Appliquer les méthodes vues en cours sur des exercices
Résoudre des problèmes concrets liés au chapitre

Calcul trigonométrique

Formules de transformation (addition, duplication, produit-somme), transformation de $a\cos x+b\sin x$, équations et inéquations trigonométriques.

I. Formules d'addition

Propriété : pour $a,b$ réels :

$\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$ ; $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$

$\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$ ; $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$

Propriété (tangente) : pour $a\ne\frac\pi2+k\pi$, $b\ne\frac\pi2+k\pi$ ($k\in\mathbb Z$) :

si $a-b\ne\frac\pi2+k\pi$ : $\tan(a-b)=\dfrac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}$ ; si $a+b\ne\frac\pi2+k\pi$ : $\tan(a+b)=\dfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}$.

II. Formules de duplication

Propriété : pour $a$ réel :

$\cos 2a=\cos^2a-\sin^2a=2\cos^2a-1=1-2\sin^2a$

$\sin 2a=2\sin a\cos a$

$\cos^2a=\dfrac{1+\cos 2a}2$ ; $\sin^2a=\dfrac{1-\cos 2a}2$

III. Transformation de produits en sommes et de sommes en produits

1. Produits en sommes

$\sin a\cos b=\dfrac12[\sin(a+b)+\sin(a-b)]$ ; $\cos a\sin b=\dfrac12[\sin(a+b)-\sin(a-b)]$

$\cos a\cos b=\dfrac12[\cos(a+b)+\cos(a-b)]$ ; $\sin a\sin b=\dfrac12[\cos(a-b)-\cos(a+b)]$

2. Sommes en produits

En posant $x=a+b$ et $y=a-b$ (donc $a=\frac{x+y}2$, $b=\frac{x-y}2$) :

$\sin x+\sin y=2\sin\left(\dfrac{x+y}2\right)\cos\left(\dfrac{x-y}2\right)$ ; $\sin x-\sin y=2\cos\left(\dfrac{x+y}2\right)\sin\left(\dfrac{x-y}2\right)$

$\cos x+\cos y=2\cos\left(\dfrac{x+y}2\right)\cos\left(\dfrac{x-y}2\right)$ ; $\cos x-\cos y=-2\sin\left(\dfrac{x+y}2\right)\sin\left(\dfrac{x-y}2\right)$

IV. Transformation de l'expression $a\cos x+b\sin x$

Propriété : pour $a,b$ réels tels que $(a;b)\ne(0;0)$ :

$a\cos x+b\sin x=\sqrt{a^2+b^2}\,\cos(x-\alpha)$ avec $\cos\alpha=\dfrac a{\sqrt{a^2+b^2}}$ et $\sin\alpha=\dfrac b{\sqrt{a^2+b^2}}$.

V. Équations et inéquations trigonométriques

Propriété :

$\cos x=\cos\alpha\iff x=\alpha+2k\pi\text{ ou }x=-\alpha+2k\pi\ (k\in\mathbb Z)$

$\sin x=\sin\alpha\iff x=\alpha+2k\pi\text{ ou }x=\pi-\alpha+2k\pi\ (k\in\mathbb Z)$

$\tan x=\tan\alpha\iff x=\alpha+k\pi\ (k\in\mathbb Z)$

Inéquations : on résout l'équation associée, on place les solutions sur le cercle trigonométrique, puis on lit l'arc correspondant à l'inégalité.

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Exercices

Faciles

Exercice 1 — Formules d'addition — calcul de $\cos\frac{5\pi}{12}$ et $\sin\frac{5\pi}{12}$

Facile 10 min

Sachant que $\frac{5\pi}{12}=\frac\pi4+\frac\pi6$ et $\frac\pi{12}=\frac\pi3-\frac\pi4$, calculer $\cos\frac{5\pi}{12}$, $\sin\frac{5\pi}{12}$, $\cos\frac\pi{12}$ et $\sin\frac\pi{12}$.

$\cos\frac{5\pi}{12}=\cos\left(\frac\pi4+\frac\pi6\right)=\cos\frac\pi4\cos\frac\pi6-\sin\frac\pi4\sin\frac\pi6=\frac{\sqrt2}2\cdot\frac{\sqrt3}2-\frac{\sqrt2}2\cdot\frac12=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}4$.

$\sin\frac{5\pi}{12}=\sin\frac\pi4\cos\frac\pi6+\cos\frac\pi4\sin\frac\pi6=\frac{\sqrt2}2\cdot\frac{\sqrt3}2+\frac{\sqrt2}2\cdot\frac12=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}4$.

$\cos\frac\pi{12}=\cos\frac\pi3\cos\frac\pi4+\sin\frac\pi3\sin\frac\pi4=\frac12\cdot\frac{\sqrt2}2+\frac{\sqrt3}2\cdot\frac{\sqrt2}2=\dfrac{\sqrt2+\sqrt6}4$.

$\sin\frac\pi{12}=\sin\frac\pi3\cos\frac\pi4-\cos\frac\pi3\sin\frac\pi4=\frac{\sqrt3}2\cdot\frac{\sqrt2}2-\frac12\cdot\frac{\sqrt2}2=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}4$.

Moyens

Exercice 1 — Formules d'addition — identités trigonométriques

Moyen 10 min

Soit $x$ un réel. Montrer que : $\sin\left(x+\frac\pi3\right)-\sin\left(\frac\pi3-x\right)=\sin x$ et $\cos\left(x+\frac\pi3\right)+\cos\left(\frac\pi3-x\right)=\cos x$.

$\sin\left(x+\frac\pi3\right)=\sin x\cos\frac\pi3+\cos x\sin\frac\pi3=\frac12\sin x+\frac{\sqrt3}2\cos x$.

$\sin\left(\frac\pi3-x\right)=\sin\frac\pi3\cos x-\cos\frac\pi3\sin x=\frac{\sqrt3}2\cos x-\frac12\sin x$.

Différence : $\left(\frac12\sin x+\frac{\sqrt3}2\cos x\right)-\left(\frac{\sqrt3}2\cos x-\frac12\sin x\right)=\sin x$. ✓

$\cos\left(x+\frac\pi3\right)=\cos x\cos\frac\pi3-\sin x\sin\frac\pi3=\frac12\cos x-\frac{\sqrt3}2\sin x$.

$\cos\left(\frac\pi3-x\right)=\cos\frac\pi3\cos x+\sin\frac\pi3\sin x=\frac12\cos x+\frac{\sqrt3}2\sin x$.

Somme : $\cos x$. ✓

Exercice 2 — Simplification avec la tangente

Moyen 10 min

Soit $x$ réel tel que $x\ne\frac\pi2+k\pi$ et $x\ne\frac\pi4+k\pi$ ($k\in\mathbb Z$). Simplifier l'expression $\tan\left(\frac\pi4-x\right)\times\tan\left(\frac\pi4+x\right)$.

Comme $\tan\frac\pi4=1$ : $\tan\left(\frac\pi4-x\right)=\dfrac{1-\tan x}{1+\tan x}$ et $\tan\left(\frac\pi4+x\right)=\dfrac{1+\tan x}{1-\tan x}$.

Le produit vaut $\dfrac{1-\tan x}{1+\tan x}\times\dfrac{1+\tan x}{1-\tan x}=1$.

Exercice 3 — Formules de duplication — calcul de $\cos\frac\pi8$, $\sin\frac\pi8$, $\tan\frac\pi8$

Moyen 10 min

Sachant que $\frac\pi4=2\times\frac\pi8$, calculer $\cos\frac\pi8$, $\sin\frac\pi8$ et $\tan\frac\pi8$.

$\cos^2\frac\pi8=\dfrac{1+\cos\frac\pi4}2=\dfrac{2+\sqrt2}4$, donc $\cos\frac\pi8=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt2}}2$ (positif, $\frac\pi8$ dans le premier quadrant).

$\sin^2\frac\pi8=\dfrac{1-\cos\frac\pi4}2=\dfrac{2-\sqrt2}4$, donc $\sin\frac\pi8=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt2}}2$.

$\tan\frac\pi8=\dfrac{1-\cos\frac\pi4}{\sin\frac\pi4}=\dfrac{1-\frac{\sqrt2}2}{\frac{\sqrt2}2}=\dfrac{2-\sqrt2}{\sqrt2}=\sqrt2-1$.

Exercice 4 — Identité trigonométrique avec $\sin^2(x/2)$

Moyen 10 min

Soit $x$ un réel. Montrer que $1+\cos x+2\sin^2\left(\frac x2\right)=2$.

D'après la formule de duplication (avec $a=\frac x2$) : $\sin^2\left(\frac x2\right)=\dfrac{1-\cos x}2$, donc $2\sin^2\left(\frac x2\right)=1-\cos x$.

Donc $1+\cos x+2\sin^2\left(\frac x2\right)=1+\cos x+1-\cos x=2$. ✓

Exercice 5 — Démonstration : $\dfrac{1-\cos x}{\sin x}=\tan\left(\dfrac x2\right)$

Moyen 10 min

Soit $x$ un réel tel que $x\ne k\pi$ ($k\in\mathbb Z$). Montrer que $\dfrac{1-\cos x}{\sin x}=\tan\left(\dfrac x2\right)$.

$1-\cos x=2\sin^2\left(\frac x2\right)$ et $\sin x=2\sin\left(\frac x2\right)\cos\left(\frac x2\right)$.

D'où $\dfrac{1-\cos x}{\sin x}=\dfrac{2\sin^2(x/2)}{2\sin(x/2)\cos(x/2)}=\dfrac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}=\tan\left(\frac x2\right)$. ✓

Exercice 6 — Transformation produit en somme

Moyen 10 min

Calculer $\cos\left(\frac\pi{12}\right)\cos\left(\frac{5\pi}{12}\right)$ et $\cos\left(\frac\pi{12}\right)\sin\left(\frac{5\pi}{12}\right)$.

Avec $a=\frac\pi{12}$, $b=\frac{5\pi}{12}$ : $a+b=\frac\pi2$, $a-b=-\frac\pi3$.

$\cos a\cos b=\frac12[\cos(a+b)+\cos(a-b)]=\frac12\left[\cos\frac\pi2+\cos\left(-\frac\pi3\right)\right]=\frac12\left[0+\frac12\right]=\dfrac14$.

$\cos a\sin b=\frac12[\sin(a+b)-\sin(a-b)]=\frac12\left[\sin\frac\pi2-\sin\left(-\frac\pi3\right)\right]=\frac12\left[1+\frac{\sqrt3}2\right]=\dfrac{2+\sqrt3}4$.

Difficiles

Exercice 1 — Produit de sinus

Difficile 10 min

Soit $x$ un réel. Montrer que $\sin\left(x+\frac\pi6\right)\sin\left(x-\frac\pi6\right)=-\dfrac12\cos(2x)+\dfrac14$.

Avec $a=x+\frac\pi6$, $b=x-\frac\pi6$ : $a-b=\frac\pi3$, $a+b=2x$.

$\sin a\sin b=\frac12[\cos(a-b)-\cos(a+b)]=\frac12\left[\cos\frac\pi3-\cos 2x\right]=\frac12\left[\frac12-\cos 2x\right]=\dfrac14-\dfrac12\cos 2x$. ✓

Exercice 2 — Transformation de sommes en produits

Difficile 10 min

Montrer que $\sin\left(\frac\pi{12}\right)+\sin\left(\frac{5\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt6}2$, puis que pour tout réel $x$, $\cos 6x-\cos 2x=-4\sin^2(2x)\cos(2x)$.

Avec $x=\frac\pi{12}$, $y=\frac{5\pi}{12}$ : $\frac{x+y}2=\frac\pi4$, $\frac{x-y}2=-\frac\pi6$.

$\sin x+\sin y=2\sin\frac\pi4\cos\left(-\frac\pi6\right)=2\cdot\frac{\sqrt2}2\cdot\frac{\sqrt3}2=\dfrac{\sqrt6}2$. ✓

Avec $X=6x$, $Y=2x$ : $\cos X-\cos Y=-2\sin\left(\frac{X+Y}2\right)\sin\left(\frac{X-Y}2\right)=-2\sin(4x)\sin(2x)$.

Or $\sin(4x)=2\sin(2x)\cos(2x)$, donc $\cos 6x-\cos 2x=-2\times2\sin(2x)\cos(2x)\times\sin(2x)=-4\sin^2(2x)\cos(2x)$. ✓

Exercice 3 — Écriture sous la forme $r\cos(x-\alpha)$

Difficile 15 min

Écrire sous la forme $r\cos(x-\alpha)$ les expressions : $A(x)=\cos x+\sin x$ ; $B(x)=\sqrt3\cos x-\sin x$ ; $C(x)=\sqrt3\cos\left(2x-\frac\pi3\right)-\sin\left(2x-\frac\pi3\right)$.

$A(x)$ : $a=1$, $b=1$, $r=\sqrt2$, $\cos\alpha=\frac1{\sqrt2}$, $\sin\alpha=\frac1{\sqrt2}$ donc $\alpha=\frac\pi4$. $A(x)=\sqrt2\cos\left(x-\frac\pi4\right)$.

$B(x)$ : $a=\sqrt3$, $b=-1$, $r=2$, $\cos\alpha=\frac{\sqrt3}2$, $\sin\alpha=-\frac12$ donc $\alpha=-\frac\pi6$. $B(x)=2\cos\left(x+\frac\pi6\right)$.

$C(x)$ : même forme que $B$ avec $u=2x-\frac\pi3$ à la place de $x$ : $C(x)=2\cos\left(u+\frac\pi6\right)=2\cos\left(2x-\frac\pi3+\frac\pi6\right)=2\cos\left(2x-\frac\pi6\right)$.

Exercice 4 — Résolution d'équations trigonométriques

Difficile 20 min

Résoudre dans $I$ les équations suivantes : a. $2\cos x-\sqrt3=0$, $I=[-\pi,2\pi]$. b. $\sqrt2\sin x+1=0$, $I=[0,2\pi]$. c. $\tan x=\sqrt3$, $I=[-\pi,\pi]$. d. $\sqrt3\cos x-\sin x=\sqrt2$, $I=[-\pi,\pi]$.

a. $\cos x=\frac{\sqrt3}2=\cos\frac\pi6\iff x=\frac\pi6+2k\pi$ ou $x=-\frac\pi6+2k\pi$. Dans $[-\pi,2\pi]$ : $S=\left\{-\frac\pi6,\frac\pi6,\frac{11\pi}6\right\}$.

b. $\sin x=-\frac{\sqrt2}2=\sin\left(-\frac\pi4\right)\iff x=-\frac\pi4+2k\pi$ ou $x=\frac{5\pi}4+2k\pi$. Dans $[0,2\pi]$ : $S=\left\{\frac{5\pi}4,\frac{7\pi}4\right\}$.

c. $\tan x=\sqrt3=\tan\frac\pi3\iff x=\frac\pi3+k\pi$. Dans $[-\pi,\pi]$ : $S=\left\{-\frac{2\pi}3,\frac\pi3\right\}$.

d. $\sqrt3\cos x-\sin x=2\cos\left(x+\frac\pi6\right)=\sqrt2\iff\cos\left(x+\frac\pi6\right)=\frac{\sqrt2}2=\cos\frac\pi4$, donc $x+\frac\pi6=\pm\frac\pi4+2k\pi$. Dans $[-\pi,\pi]$ : $S=\left\{-\frac{5\pi}{12},\frac\pi{12}\right\}$.

Exercice 5 — Résolution d'une inéquation trigonométrique

Difficile 15 min

Résoudre dans $\left[-\pi,\frac\pi2\right]$ l'inéquation $\sqrt3\cos x-\sin x>\sqrt2$.

On a $\sqrt3\cos x-\sin x=2\cos\left(x+\frac\pi6\right)$, donc l'inéquation devient $\cos\left(x+\frac\pi6\right)>\dfrac{\sqrt2}2$.

Posons $u=x+\frac\pi6$. Pour $x\in\left[-\pi,\frac\pi2\right]$, $u\in\left[-\frac{5\pi}6,\frac{2\pi}3\right]$.

Sur le cercle trigonométrique, $\cos u>\frac{\sqrt2}2\iff u\in\left]-\frac\pi4,\frac\pi4\right[$, intervalle entièrement contenu dans $\left[-\frac{5\pi}6,\frac{2\pi}3\right]$.

D'où $x=u-\frac\pi6\in\left]-\frac{5\pi}{12},\frac\pi{12}\right[$. $S=\left]-\dfrac{5\pi}{12},\dfrac\pi{12}\right[$.

Quiz — Quiz — Calcul trigonométrique (20 questions)

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