Suites numériques

Ce chapitre couvre le programme de 1ère Bac sur le thème « Suites numériques ».

Objectifs du chapitre

Comprendre les notions clés du chapitre « Suites numériques »
Appliquer les méthodes vues en cours sur des exercices
Résoudre des problèmes concrets liés au chapitre

Les suites numériques

Généralités sur les suites (définition, suites majorées/minorées/bornées, monotonie), suites arithmétiques et suites géométriques : termes généraux et sommes.

I. Généralités sur les suites numériques

1. Définition et notation

Définition : pour $p\in\mathbb N$, $I=\{n\in\mathbb N/n\ge p\}$, toute fonction numérique $u$ définie sur $I$ est appelée suite numérique. L'image par $u$ d'un entier $n$ de $I$ est notée $u_n$ (terme général). On note la suite $(u_n)_{n\in I}$ ou $(u_n)_{n\ge p}$ ; si $I=\mathbb N$, on note $(u_n)$ ; si $I=\mathbb N^*$, on note $(u_n)_{n\ge1}$. Le réel $u_p$ est le premier terme.

Deux types de suites : une suite définie explicitement a pour terme général une fonction connue de $n$ ; une suite récurrente est définie par son premier terme et une relation donnant un terme à partir du(des) précédent(s).

2. Suites majorées, minorées, bornées

Définitions : $(u_n)_{n\in I}$ est majorée s'il existe $M\in\mathbb R$ tel que $(\forall n\in I):u_n\le M$ ; minorée s'il existe $m\in\mathbb R$ tel que $u_n\ge m$ ; bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Propriété : $(u_n)_{n\in I}$ est bornée $\iff(\exists M\in\mathbb R_+^*);(\forall n\in I):|u_n|\le M$.

3. Monotonie d'une suite numérique

Définitions : $(u_n)_{n\in I}$ est croissante si $(\forall p,q\in I):pdécroissante si $pconstante si $p

Propriété (critère pratique) : $(u_n)_{n\in I}$ est croissante $\iff(\forall n\in I):u_{n+1}\ge u_n$ ; décroissante $\iff u_{n+1}\le u_n$ ; constante $\iff u_{n+1}=u_n$.

Conséquence : pour $(u_n)_{n\ge p}$ : si croissante, $(\forall n\ge p):u_n\ge u_p$ ; si décroissante, $u_n\le u_p$.

II. Suite arithmétique

1. Définition

$(u_n)_{n\in I}$ est arithmétique s'il existe $r\in\mathbb R$ (la raison) tel que $(\forall n\in I):u_{n+1}=u_n+r$.

Technique : pour savoir si une suite est arithmétique, on calcule $u_{n+1}-u_n$ ; si le résultat est une constante $r$ indépendante de $n$, la suite est arithmétique de raison $r$.

2. Terme général

Propriété : pour $(u_n)_{n\in I}$ arithmétique de raison $r$ et premier terme $u_p$ : $u_n=u_p+(n-p)\times r$ pour $n\ge p$. En particulier, si $p=0$ : $u_n=u_0+nr$ ; si $p=1$ : $u_n=u_1+(n-1)r$.

3. Somme de termes consécutifs

Propriété : $(\forall n,p\in\mathbb N):p\le n:S_n=u_p+u_{p+1}+\ldots+u_n=(n-p+1)\left(\dfrac{u_n+u_p}2\right)$, où $u_p$ est le premier terme de la somme et $(n-p+1)$ le nombre de termes.

III. Suite géométrique

1. Définition

$(u_n)_{n\in I}$ est géométrique s'il existe $q\in\mathbb R$ (la raison) tel que $(\forall n\in I):u_{n+1}=q\,u_n$.

2. Terme général

Propriété : pour $(u_n)_{n\in I}$ géométrique de raison $q$ et premier terme $u_p$ : $u_n=u_p\times q^{\,n-p}$ pour $n\ge p$. En particulier, si $p=0$ : $u_n=u_0\times q^n$ ; si $p=1$ : $u_n=u_1\times q^{\,n-1}$.

3. Somme de termes consécutifs

Propriété : $(\forall n,p\in\mathbb N):p\le n:S_n=u_p+u_{p+1}+\ldots+u_n$. Si $q\ne1$ : $S_n=u_p\times\dfrac{1-q^{\,n-p+1}}{1-q}$. Si $q=1$ : $S_n=(n-p+1)\times u_p$.

Remarque : pour tout $q\in\mathbb R^*\setminus\{1\}$ : $1+q+q^2+\ldots+q^n=\dfrac{1-q^{\,n+1}}{1-q}$.

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Exercices

Faciles

Exercice 1 — Calcul de termes d'une suite définie explicitement

Facile 10 min

On considère la suite $(u_n)$ définie par $(\forall n\in\mathbb N^*):u_n=2+\dfrac3n$. 1. Calculer les trois premiers termes. 2. Calculer $u_n+1$, $u_{n+1}$, $u_{2n}$ et $u_{2n+1}$. 3. Trouver l'indice $n$ tel que $u_n=\dfrac{43}{21}$.

1. $u_1=2+3=5$ ; $u_2=2+\frac32=\frac72$ ; $u_3=2+1=3$.

2. $u_n+1=3+\dfrac3n$ (le nombre $u_n$ augmenté de 1) ; $u_{n+1}=2+\dfrac3{n+1}$ (le terme suivant) ; $u_{2n}=2+\dfrac3{2n}$ ; $u_{2n+1}=2+\dfrac3{2n+1}$.

3. $u_n=\frac{43}{21}\iff\dfrac3n=\frac{43}{21}-2=\frac{43-42}{21}=\frac1{21}\iff n=63$.

Exercice 2 — Terme général d'une suite arithmétique

Facile 10 min

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique telle que $u_1=5$ et $r=2$. 1. Calculer $u_5$, $u_{10}$ et $u_{100}$. 2. Déterminer le terme général de $(u_n)$. 3. 203 est-il un terme de la suite ?

1. $u_5=u_1+(5-1)\times2=5+8=13$ ; $u_{10}=5+9\times2=23$ ; $u_{100}=5+99\times2=203$.

2. $u_n=u_1+(n-1)r=5+2(n-1)=2n+3$ (pour $n\ge1$).

3. D'après le calcul de $u_{100}$, $203=u_{100}$ : oui, 203 est le 100ᵉ terme de la suite.

Exercice 3 — Terme général d'une suite géométrique

Facile 10 min

Soit $(v_n)$ une suite géométrique de raison $q=2$ et de premier terme $v_1=5$. 1. Calculer $v_4$. 2. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.

1. $v_4=v_1\times q^{4-1}=5\times2^3=40$.

2. $v_n=v_1\times q^{\,n-1}=5\times2^{\,n-1}$ (pour $n\ge1$).

Moyens

Exercice 1 — Suite récurrente — calcul de termes et démonstration par récurrence

Moyen 15 min

On considère $(u_n)$ définie par $u_0=2$, $u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+u_n}$, et $(v_n)$ définie par $v_0=2$, $v_1=-1$, $v_{n+2}=2v_{n+1}+v_n$. 1. Calculer $u_1$, $u_2$, $v_3$ et $v_4$. 2. Montrer par récurrence que $(\forall n\in\mathbb N):u_n=\dfrac2{2n+1}$.

1. $u_1=\dfrac{u_0}{1+u_0}=\dfrac23$ ; $u_2=\dfrac{u_1}{1+u_1}=\dfrac{2/3}{5/3}=\dfrac25$.

$v_2=2v_1+v_0=-2+2=0$ ; $v_3=2v_2+v_1=0-1=-1$ ; $v_4=2v_3+v_2=-2+0=-2$.

2. Initialisation : $\dfrac2{2\times0+1}=2=u_0$. ✓

Hérédité : supposons $u_n=\dfrac2{2n+1}$. Alors $u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+u_n}=\dfrac{2/(2n+1)}{1+2/(2n+1)}=\dfrac{2/(2n+1)}{(2n+3)/(2n+1)}=\dfrac2{2n+3}=\dfrac2{2(n+1)+1}$. ✓

Par récurrence, $(\forall n\in\mathbb N):u_n=\dfrac2{2n+1}$.

Exercice 2 — Démonstration par récurrence — suite minorée

Moyen 10 min

On considère $(U_n)$ définie par $U_0=4$ et $U_{n+1}=\dfrac{4U_n-3}{U_n}$ pour tout $n\in\mathbb N$. Montrer que $(\forall n\in\mathbb N):U_n\ge3$.

Initialisation : $U_0=4\ge3$. ✓

Hérédité : supposons $U_n\ge3$ (donc $U_n>0$). $U_{n+1}-3=\dfrac{4U_n-3}{U_n}-3=\dfrac{4U_n-3-3U_n}{U_n}=\dfrac{U_n-3}{U_n}$.

Comme $U_n\ge3$, on a $U_n-3\ge0$ et $U_n>0$, donc $U_{n+1}-3\ge0$, soit $U_{n+1}\ge3$. ✓

Par récurrence, $(\forall n\in\mathbb N):U_n\ge3$.

Exercice 3 — Étude de la monotonie d'une suite (4 cas)

Moyen 15 min

Étudier la monotonie de la suite $(u_n)_{n\in\mathbb N}$ dans les cas suivants : 1. $u_n=\dfrac3{n+1}$. 2. $u_n=n^2+2n$. 3. $u_n=\sqrt{n+1}$. 4. $u_n=(-1)^n$.

1. $u_{n+1}-u_n=\dfrac3{n+2}-\dfrac3{n+1}=\dfrac{3(n+1)-3(n+2)}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{-3}{(n+1)(n+2)}<0$. La suite est strictement décroissante.

2. $u_{n+1}-u_n=(n+1)^2+2(n+1)-n^2-2n=2n+3>0$. La suite est strictement croissante.

3. $u_{n+1}-u_n=\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}>0$ car $n+2>n+1$ et la fonction racine carrée est croissante. La suite est strictement croissante.

4. $u_{n+1}-u_n=(-1)^{n+1}-(-1)^n=-2(-1)^n$, qui change de signe selon la parité de $n$. La suite n'est ni croissante ni décroissante.

Exercice 4 — Somme des termes d'une suite arithmétique

Moyen 15 min

Soit $(v_n)$ une suite arithmétique telle que $v_3=2$ et $v_7=14$. 1. Déterminer la raison $r$ et le premier terme $v_0$. 2. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$. 3. Calculer $S=v_4+v_5+v_6+\ldots+v_{25}$.

1. $v_7=v_3+(7-3)r\Rightarrow14=2+4r\Rightarrow r=3$. $v_0=v_3-3r=2-9=-7$.

2. $v_n=v_0+nr=-7+3n$.

3. $v_4=-7+12=5$ ; $v_{25}=-7+75=68$. $S=(25-4+1)\times\dfrac{v_{25}+v_4}2=22\times\dfrac{73}2=11\times73=803$.

Exercice 5 — Suite auxiliaire géométrique

Moyen 15 min

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=-2$, $u_{n+1}=\dfrac23u_n-1$. On pose $v_n=u_n+3$. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique, préciser sa raison et son premier terme.

$v_{n+1}=u_{n+1}+3=\dfrac23u_n-1+3=\dfrac23u_n+2=\dfrac23(u_n+3)=\dfrac23v_n$.

Donc $(v_n)$ est géométrique de raison $q=\dfrac23$. Premier terme : $v_0=u_0+3=-2+3=1$.

Difficiles

Exercice 1 — Suite récurrente — minoration, relation de récurrence et monotonie

Difficile 20 min

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=6$, $u_{n+1}=4-\dfrac3{u_n}$. 1. Calculer $u_1$ et $u_2$. 2. Montrer que $(\forall n\in\mathbb N):u_n>3$. 3.a. Montrer que $u_{n+1}-u_n=\dfrac{(1-u_n)(u_n-3)}{u_n}$. b. Étudier la monotonie de $(u_n)$. c. En déduire que $(\forall n\in\mathbb N):u_n\le6$.

1. $u_1=4-\dfrac36=\dfrac72$ ; $u_2=4-\dfrac3{7/2}=4-\dfrac67=\dfrac{22}7$.

2. Initialisation : $u_0=6>3$. ✓ Hérédité : si $u_n>3$, $u_{n+1}-3=1-\dfrac3{u_n}=\dfrac{u_n-3}{u_n}>0$ car $u_n-3>0$ et $u_n>0$, donc $u_{n+1}>3$. Par récurrence, $u_n>3$ pour tout $n$.

3.a. $u_{n+1}-u_n=4-\dfrac3{u_n}-u_n=\dfrac{4u_n-3-u_n^2}{u_n}=\dfrac{-(u_n-1)(u_n-3)}{u_n}=\dfrac{(1-u_n)(u_n-3)}{u_n}$.

3.b. Puisque $u_n>3$ : $u_n-3>0$, $1-u_n<0$ et $u_n>0$, donc $u_{n+1}-u_n=\dfrac{(1-u_n)(u_n-3)}{u_n}<0$. La suite $(u_n)$ est strictement décroissante.

3.c. Comme $(u_n)$ est décroissante, $u_n\le u_0=6$ pour tout $n\in\mathbb N$.

Exercice 2 — Suite auxiliaire arithmétique

Difficile 15 min

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=5$, $u_{n+1}=\dfrac{2u_n-1}{u_n}$. On pose $v_n=\dfrac1{u_n-1}$. Montrer que $(v_n)$ est une suite arithmétique, préciser sa raison et son premier terme.

$v_{n+1}=\dfrac1{u_{n+1}-1}=\dfrac1{\frac{2u_n-1}{u_n}-1}=\dfrac1{\frac{u_n-1}{u_n}}=\dfrac{u_n}{u_n-1}$.

$v_{n+1}-v_n=\dfrac{u_n}{u_n-1}-\dfrac1{u_n-1}=\dfrac{u_n-1}{u_n-1}=1$.

La différence est constante ($=1$), donc $(v_n)$ est arithmétique de raison $r=1$. Premier terme : $v_0=\dfrac1{u_0-1}=\dfrac1{5-1}=\dfrac14$.

Exercice 3 — Somme des termes d'une suite géométrique

Difficile 15 min

Soit $(U_n)$ une suite géométrique telle que $q=3$ et $U_4=12$. Calculer la somme $S=U_4+U_5+U_6+\ldots+U_{2006}$.

Le nombre de termes est $2006-4+1=2003$. Puisque $q=3\ne1$ :

$S=U_4\times\dfrac{1-q^{2003}}{1-q}=12\times\dfrac{1-3^{2003}}{1-3}=12\times\dfrac{1-3^{2003}}{-2}=-6(1-3^{2003})=6(3^{2003}-1)$.

Quiz — Quiz — Les suites numériques (20 questions)

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