Propositions, quantificateurs, opérations logiques (négation, disjonction, conjonction, implication, équivalence) et principaux raisonnements mathématiques.
Propositions et fonctions propositionnelles, quantificateurs, négation, disjonction, conjonction, implication, équivalence, lois logiques et raisonnements mathématiques (contre-exemple, contraposée, équivalences successives, disjonction des cas, absurde, récurrence).
Définition : une proposition (ou assertion) est une phrase qui a un sens et qui est soit vraie, soit fausse, mais jamais les deux à la fois. On la note $P$, $Q$, $R$...
Une fonction propositionnelle est un énoncé contenant une (ou plusieurs) variable(s), qui devient une proposition dès qu'on remplace la variable par un élément de l'ensemble considéré.
Exemple : $P(x):x\in\mathbb R,\ x^2-x<0$ est une fonction propositionnelle ; $P(0)$ est fausse, $P\left(\frac12\right)$ est vraie.
Pour $P(x)$ définie sur $E$ :
• $(\forall x\in E):P(x)$ : $P(x)$ est vraie pour tout élément de $E$ ($\forall$ = quantificateur universel, « pour tout »).
• $(\exists x\in E):P(x)$ : il existe au moins un élément de $E$ pour lequel $P(x)$ est vraie ($\exists$ = quantificateur existentiel, « il existe au moins »).
• $(\exists!x\in E):P(x)$ : il existe un unique élément de $E$ pour lequel $P(x)$ est vraie.
Remarque : on peut inverser deux $\forall$ entre eux, ou deux $\exists$ entre eux. On ne peut pas, en général, inverser un $\forall$ et un $\exists$.
La négation de $P$, notée $\bar P$, est vraie si $P$ est fausse et fausse si $P$ est vraie.
| Symbole | $>$ | $<$ | $\ge$ | $\le$ | $=$ | $\in$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Négation | $\le$ | $\ge$ | $<$ | $>$ | $\ne$ | $\notin$ |
Propriétés : la négation de $(\forall x\in E):P(x)$ est $(\exists x\in E):\bar P(x)$ ; la négation de $(\exists x\in E):P(x)$ est $(\forall x\in E):\bar P(x)$ (on inverse le quantificateur et on nie $P$).
$P$ ou $Q$ (notée $P\lor Q$) est vraie si au moins l'une des deux propositions est vraie.
$P$ et $Q$ (notée $P\land Q$) est vraie uniquement si les deux sont vraies simultanément.
Lois de De Morgan : la négation de ($P$ et $Q$) est ($\bar P$ ou $\bar Q$) ; la négation de ($P$ ou $Q$) est ($\bar P$ et $\bar Q$).
$P\Rightarrow Q$ (« $P$ implique $Q$ ») est fausse uniquement quand $P$ est vraie et $Q$ est fausse.
Remarques : $Q\Rightarrow P$ est l'implication réciproque. Pour montrer $P\Rightarrow Q$, on suppose $P$ vraie et on montre que $Q$ est vraie. $P\Rightarrow Q$ et ($\bar P$ ou $Q$) ont la même valeur de vérité.
$P\Leftrightarrow Q$ signifie ($P\Rightarrow Q$ et $Q\Rightarrow P$) ; elle est vraie si et seulement si $P$ et $Q$ ont la même valeur de vérité.
Une loi logique est une proposition toujours vraie, quelles que soient les valeurs de vérité des propositions qui la composent (on le vérifie par table de vérité). Exemples : $P\Leftrightarrow\overline{\bar P}$ ; $\overline{P\Rightarrow Q}\Leftrightarrow(P\text{ et }\bar Q)$ ; $(P\Rightarrow Q)\Leftrightarrow(\bar Q\Rightarrow\bar P)$.
1. Contre-exemple : pour prouver que $(\forall x\in E):P(x)$ est fausse, il suffit de trouver un $x\in E$ tel que $\bar P(x)$ soit vraie.
2. Contraposée : pour démontrer $P\Rightarrow Q$, on peut démontrer $\bar Q\Rightarrow\bar P$ (souvent plus simple).
3. Équivalences successives : $[(P\Leftrightarrow R)\text{ et }(R\Leftrightarrow Q)]\Rightarrow(P\Leftrightarrow Q)$.
4. Disjonction des cas : pour montrer $(P\text{ ou }Q)\Rightarrow R$, on montre parfois $[P\Rightarrow R$ et $Q\Rightarrow R]$.
5. Absurde : basé sur $[\bar P\Rightarrow(Q\text{ et }\bar Q)]\Rightarrow P$ — on suppose $\bar P$ et on aboutit à une contradiction.
6. Récurrence : pour montrer $P(n)$ vraie pour tout $n\ge n_0$ : Initialisation ($P(n_0)$ vraie), Hérédité (si $P(n)$ vraie alors $P(n+1)$ vraie), Conclusion (par récurrence, $P(n)$ vraie pour tout $n\ge n_0$).
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