Limite d'une fonction

I. Limite finie et infinie d'une fonction en un point

1. Limite finie en un point

Définition : si $f(x)$ tend vers $l$ quand $x$ tend vers $a$, on écrit $\lim\limits_{x\to a}f(x)=l$.

Propriété : si $f$ admet une limite $l$ en $a$, alors cette limite est unique.

Formes indéterminées : $\dfrac00$, $\dfrac{\pm\infty}{\pm\infty}$, $+\infty-\infty$ et $0\times\pm\infty$.

Exemple (quantité conjuguée) : $\lim\limits_{x\to3}\dfrac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}=\lim\limits_{x\to3}\dfrac{(\sqrt{x+1}-2)(\sqrt{x+1}+2)}{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)}=\lim\limits_{x\to3}\dfrac{x-3}{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)}=\lim\limits_{x\to3}\dfrac1{\sqrt{x+1}+2}=\dfrac14$.

Exemple (factorisation) : $\lim\limits_{x\to-1}\dfrac{2x^3+2x^2+x+1}{x^2+3x+2}=\lim\limits_{x\to-1}\dfrac{(x+1)(2x^2+1)}{(x+1)(x+2)}=\lim\limits_{x\to-1}\dfrac{2x^2+1}{x+2}=3$.

2. Limite infinie en un point — limite à droite et à gauche

Définitions : la limite de $f$ à droite en $a$, notée $\lim\limits_{x\to a^+}f(x)$, est la limite quand $x$ prend des valeurs proches et supérieures à $a$ ; la limite à gauche, $\lim\limits_{x\to a^-}f(x)$, correspond à des valeurs proches et inférieures à $a$.

Limites usuelles admises : $\lim\limits_{\substack{x\to0\\x>0}}\dfrac1x=+\infty$ ; $\lim\limits_{\substack{x\to0\\x<0}}\dfrac1x=-\infty$ ; $\lim\limits_{\substack{x\to0\\x>0}}\sqrt x=0$ ; $\lim\limits_{\substack{x\to0\\x>0}}\dfrac1{\sqrt x}=+\infty$ ; $(\forall n\in\mathbb N^*)\lim\limits_{\substack{x\to0\\x>0}}\dfrac1{x^n}=+\infty$. Si $n$ est pair, $\lim\limits_{\substack{x\to0\\x<0}}\dfrac1{x^n}=+\infty$ ; si $n$ est impair, $\lim\limits_{\substack{x\to0\\x<0}}\dfrac1{x^n}=-\infty$.

Théorème : $\lim\limits_{x\to a^-}f(x)=l$ et $\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=l\iff\lim\limits_{x\to a}f(x)=l$ (valable pour $l$ réel, $+\infty$ ou $-\infty$). Si les limites à gauche et à droite diffèrent, $f$ n'a pas de limite en $a$.

II. Limite finie et infinie en $+\infty$ et $-\infty$

Propriété : pour $n\in\mathbb N^*$, $k\in\mathbb R^*$ : $\lim\limits_{x\to+\infty}x^n=+\infty$ ; $\lim\limits_{x\to-\infty}x^n=+\infty$ si $n$ pair, $-\infty$ si $n$ impair. $\lim\limits_{x\to+\infty}kx^n=+\infty$ si $k>0$, $-\infty$ si $k<0$. $\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac k{x^n}=0$.

Propriété (fonctions polynômes et rationnelles) : si $ax^n$ et $bx^m$ sont les termes de plus haut degré de $P$ et $Q$ : $\lim\limits_{x\to\pm\infty}P(x)=\lim\limits_{x\to\pm\infty}ax^n$ et $\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{ax^n}{bx^m}$.

Propriété (racine carrée) : si $f\ge0$ sur $[a,+\infty[$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=l\ge0$, alors $\lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt{f(x)}=\sqrt l$ ; si $\lim f(x)=+\infty$, alors $\lim\sqrt{f(x)}=+\infty$ (valable aussi en $-\infty$ ou en un point).

III. Opérations sur les limites

Pour $a$ réel, $+\infty$ ou $-\infty$, et $l,l'$ réels, les limites de $f+g$, $fg$ et $f/g$ s'obtiennent en additionnant/multipliant/divisant les limites de $f$ et $g$, sauf dans les cas de formes indéterminées ($+\infty-\infty$, $0\times\pm\infty$, $\dfrac{\pm\infty}{\pm\infty}$, $\dfrac00$) où il faut transformer l'écriture de la fonction (factorisation, quantité conjuguée, division).

IV. Limite de fonctions trigonométriques

Propriété : $\lim\limits_{x\to a}\cos(x)=\cos(a)$ ; $\lim\limits_{x\to a}\sin(x)=\sin(a)$ ; $\lim\limits_{x\to a}\tan(x)=\tan(a)$ si $x\ne\frac\pi2+k\pi$.

Remarques : les fonctions $\sin$, $\cos$, $\tan$ n'ont pas de limite en $\pm\infty$. $\lim\limits_{x\to\frac\pi2^+}\tan x=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to\frac\pi2^-}\tan x=+\infty$.

Propriété (limites usuelles) : pour $a\ne0$ : $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin(ax)}{ax}=1$ ; $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1-\cos(ax)}{(ax)^2}=\dfrac12$.

V. Limites et ordre

Pour $I=[a,+\infty[$ et $f,g,h$ définies sur $I$ :

Théorèmes de comparaison : si $g(x)\le f(x)$ sur $I$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=+\infty$, alors $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$. Si $g(x)\ge f(x)$ et $\lim g(x)=-\infty$, alors $\lim f(x)=-\infty$.

Théorème (majoration de l'écart) : si $|f(x)-l|\le g(x)$ sur $I$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=0$, alors $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=l$.

Théorème des gendarmes : si $g(x)\le f(x)\le h(x)$ sur $I$ et $\lim g(x)=\lim h(x)=l$, alors $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=l$.

Ces propriétés restent valables en $-\infty$, en un point $a$, ou à droite/gauche en $a$.