Dérivabilité

Ce chapitre couvre le programme de 1ère Bac sur le thème « Dérivabilité ».

Objectifs du chapitre

Comprendre les notions clés du chapitre « Dérivabilité »
Appliquer les méthodes vues en cours sur des exercices
Résoudre des problèmes concrets liés au chapitre

Dérivabilité d'une fonction

Nombre dérivé, tangente, dérivabilité à gauche/à droite, fonction dérivée, dérivées des fonctions usuelles, opérations sur les dérivées, dérivées successives.

I. Dérivabilité en un point

1. Nombre dérivé

Définition : $f$ est dérivable en $a$ s'il existe $l\in\mathbb R$ tel que $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=l$. Le nombre $l$ est le nombre dérivé de $f$ en $a$, noté $f'(a)$.

Remarque : si $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=\infty$, alors $f$ n'est pas dérivable en $a$.

2. Interprétation géométrique — équation de la tangente

Le coefficient directeur de la droite $(AM)$, avec $M(x,f(x))$ et $A(a,f(a))$, est $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$. Quand $M$ se rapproche de $A$, $(AM)$ tend vers la tangente $(T)$ de coefficient directeur $f'(a)$.

Propriété : si $f$ est dérivable en $a$, $C_f$ admet en $A(a,f(a))$ une tangente $(T)$ d'équation $(T):y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

II. Dérivabilité à gauche et à droite

a) Définition

$f$ est dérivable à droite en $a$ s'il existe $l\in\mathbb R$ tel que $\lim\limits_{x\to a^+}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=l$, noté $f'_d(a)$. De même à gauche, avec $\lim\limits_{x\to a^-}$, noté $f'_g(a)$.

Propriété : $f$ est dérivable en $a\iff f$ est dérivable à droite et à gauche en $a$ et $f'_d(a)=f'_g(a)$ ; dans ce cas $f'(a)=f'_d(a)=f'_g(a)$.

b) Interprétation géométrique

Si $f$ est dérivable à droite (resp. à gauche) en $a$, $C_f$ admet une demi-tangente à droite (resp. à gauche) en $A(a,f(a))$ d'équation $y=f'_d(a)(x-a)+f(a)$ (resp. $f'_g$).

Si $\lim\limits_{x\to a^+}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=+\infty$ (resp. $-\infty$), $C_f$ admet une demi-tangente verticale à droite dirigée vers le haut (resp. le bas) ; de même à gauche.

III. Fonction dérivée

1. Dérivabilité sur un intervalle

$f$ est dérivable sur $I$ si elle est dérivable en tout point de $I$. La fonction polynomiale est dérivable sur $\mathbb R$ ; la fonction rationnelle est dérivable sur tout intervalle de son domaine ; $\tan$ est dérivable sur $\mathbb R-\{\frac\pi2+k\pi\}$.

2. Fonction dérivée

La fonction $x\mapsto f'(x)$ sur $I$ s'appelle la fonction dérivée de $f$, notée $f'$.

3. Dérivées des fonctions usuelles

$f(x)$	$f'(x)$
$k$ (constante)	$0$
$ax$	$a$
$x^n$ ($n\in\mathbb N^*$)	$nx^{n-1}$
$\dfrac1x$	$-\dfrac1{x^2}$
$\dfrac1{x^n}$	$-\dfrac n{x^{n+1}}$
$\sqrt x$	$\dfrac1{2\sqrt x}$
$\sin(x)$	$\cos(x)$
$\cos(x)$	$-\sin(x)$
$\tan(x)$	$1+\tan^2(x)=\dfrac1{\cos^2(x)}$

4. Opérations sur les fonctions dérivées

Pour $f,g$ dérivables sur $I$ :

$(f+g)'=f'+g'$ ; $(kf)'=kf'$ ; $(f\times g)'=f'g+g'f$

$\left(\dfrac1f\right)'=\dfrac{-f'}{f^2}$ (où $f\ne0$) ; $(\sqrt f)'=\dfrac{f'}{2\sqrt f}$ (où $f>0$) ; $(f^n)'=n\,f'\,f^{n-1}$

$\left(\dfrac fg\right)'=\dfrac{f'g-g'f}{g^2}$ (où $g\ne0$)

Composée affine : $\big(f(ax+b)\big)'=a\,f'(ax+b)$.

IV. Dérivées successives

Si $f'$ est dérivable sur $I$, sa dérivée est la dérivée seconde $f''$. De même, la dérivée d'ordre $n$ ($n\ge2$) est $f^{(n)}$, avec $f^{(n)}(x)=\big(f^{(n-1)}\big)'(x)$.

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Exercices

Faciles

Exercice 1 — Étudier la dérivabilité en un point (3 cas)

Facile 15 min

Étudier la dérivabilité de $f$ en $a$ dans les cas suivants : a) $f(x)=3x+1$, $a=1$. b) $f(x)=\dfrac{x^2-2x}{x+1}$, $a=0$. c) $f(x)=\sqrt{x-3}$, $a=4$.

a. $\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\dfrac{3x+1-4}{x-1}=\dfrac{3(x-1)}{x-1}=3$. $f$ est dérivable en $1$, $f'(1)=3$.

b. $f(0)=0$. $\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=\dfrac{x^2-2x}{x(x+1)}=\dfrac{x-2}{x+1}\to\dfrac{-2}{1}=-2$. $f$ est dérivable en $0$, $f'(0)=-2$.

c. $f(4)=1$. $\dfrac{f(x)-f(4)}{x-4}=\dfrac{\sqrt{x-3}-1}{x-4}=\dfrac1{\sqrt{x-3}+1}\to\dfrac1{1+1}=\dfrac12$. $f$ est dérivable en $4$, $f'(4)=\dfrac12$.

Exercice 2 — Dérivées successives

Facile 10 min

Déterminer la dérivée seconde et la dérivée troisième de $f(x)=3x^3-2x^2+5$.

$f'(x)=9x^2-4x$. $f''(x)=18x-4$. $f'''(x)=18$.

Moyens

Exercice 1 — Équation de la tangente en un point (3 cas)

Moyen 20 min

Déterminer l'équation de la tangente de $f$ en un point d'abscisse $a$ : a) $f(x)=4x^2-5x+3$, $a=1$. b) $f(x)=\dfrac{x+1}x$, $a=-1$. c) $f(x)=\sqrt{x+1}-4$, $a=3$.

a. $f(1)=2$. $\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\dfrac{4x^2-5x+1}{x-1}=\dfrac{(x-1)(4x-1)}{x-1}=4x-1\to3$. Tangente : $y=3(x-1)+2=3x-1$.

b. $f(-1)=0$. $\dfrac{f(x)-f(-1)}{x+1}=\dfrac{(x+1)/x}{x+1}=\dfrac1x\to-1$. Tangente : $y=-1(x+1)+0=-x-1$.

c. $f(3)=-2$. $\dfrac{f(x)-f(3)}{x-3}=\dfrac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}=\dfrac1{\sqrt{x+1}+2}\to\dfrac14$. Tangente : $y=\dfrac14(x-3)-2=\dfrac14x-\dfrac{11}4$.

Exercice 2 — Dérivabilité à droite/à gauche — fonction valeur absolue

Moyen 20 min

Soit $f(x)=|x^2-1|$. 1. Étudier la dérivabilité de $f$ à droite en $1$. 2. À gauche en $1$. 3. $f$ est-elle dérivable en $0$ ?

Près de $1^+$ : $x^2-1>0$ donc $f(x)=x^2-1$. $\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\dfrac{x^2-1}{x-1}=x+1\to2$ : $f'_d(1)=2$.

Près de $1^-$ : $x^2-1<0$ donc $f(x)=1-x^2$. $\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\dfrac{1-x^2}{x-1}=-(x+1)\to-2$ : $f'_g(1)=-2$.

Comme $f'_d(1)\ne f'_g(1)$, $f$ n'est pas dérivable en $1$ (la courbe présente un point anguleux).

Près de $0$ : $x^2-1<0$ donc $f(x)=1-x^2$ (fonction polynôme), dérivable en $0$ avec $f'(0)=-2\times0=0$.

Exercice 3 — Demi-tangente verticale

Moyen 15 min

Soit $f(x)=\sqrt{x^2-4}$. Étudier la dérivabilité de $f$ à droite de $2$, puis interpréter les résultats.

$f(2)=0$. Pour $x>2$ : $x^2-4=(x-2)(x+2)>0$, donc $\sqrt{x^2-4}=\sqrt{x-2}\sqrt{x+2}$.

$\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=\dfrac{\sqrt{x-2}\sqrt{x+2}}{x-2}=\dfrac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x-2}}\to+\infty$ quand $x\to2^+$ (numérateur $\to2$, dénominateur $\to0^+$).

$f$ n'est pas dérivable à droite de $2$ ; la courbe admet une demi-tangente verticale dirigée vers le haut au point $A(2,0)$.

Exercice 4 — Fonction dérivée obtenue par la limite

Moyen 10 min

Soit $f$ définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=2x^3$. Montrer que $(\forall x\in\mathbb R):f'(x)=6x^2$.

Pour $x_0\in\mathbb R$ : $\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\dfrac{2x^3-2x_0^3}{x-x_0}=\dfrac{2(x-x_0)(x^2+xx_0+x_0^2)}{x-x_0}=2(x^2+xx_0+x_0^2)$.

Quand $x\to x_0$ : $2(x_0^2+x_0^2+x_0^2)=6x_0^2$. Donc $f$ est dérivable sur $\mathbb R$ et $f'(x)=6x^2$.

Exercice 5 — Dérivée de fonctions composées (3 cas)

Moyen 15 min

Calculer $f'(x)$ dans les cas suivants : a) $f(x)=\sin(3x+2)$. b) $f(x)=\tan(2x-1)$. c) $f(x)=\cos(2x^2-4x+1)$.

a. $f'(x)=3\cos(3x+2)$ (règle $(f(ax+b))'=af'(ax+b)$, $a=3$).

b. $f'(x)=2\big(1+\tan^2(2x-1)\big)=\dfrac2{\cos^2(2x-1)}$.

c. Avec $u(x)=2x^2-4x+1$, $u'(x)=4x-4$ : $f'(x)=-u'(x)\sin(u(x))=(4-4x)\sin(2x^2-4x+1)$.

Difficiles

Exercice 1 — Dérivabilité en un point de raccordement (fonction définie par morceaux)

Difficile 20 min

Soit $f$ définie par $f(x)=x^3+1$ pour $x>-1$ et $f(x)=-x^2+x+2$ pour $x\le-1$. 1. Étudier la dérivabilité de $f$ en $-1$. 2. Interpréter graphiquement.

$f(-1)=-1-1+2=0$ (les deux expressions coïncident en $-1$, $f$ est continue).

À droite : $\dfrac{f(x)-f(-1)}{x+1}=\dfrac{x^3+1}{x+1}=\dfrac{(x+1)(x^2-x+1)}{x+1}=x^2-x+1\to1+1+1=3$ : $f'_d(-1)=3$.

À gauche : $\dfrac{f(x)-f(-1)}{x+1}=\dfrac{-x^2+x+2}{x+1}=\dfrac{-(x-2)(x+1)}{x+1}=-(x-2)\to-(-1-2)=3$ : $f'_g(-1)=3$.

Comme $f'_d(-1)=f'_g(-1)=3$, $f$ est dérivable en $-1$, $f'(-1)=3$. La courbe admet une tangente (unique) en $A(-1,0)$ d'équation $y=3(x+1)$.

Exercice 2 — Dérivée d'un produit, d'une racine et d'une puissance (3 cas)

Difficile 20 min

Déterminer la fonction dérivée de $f$ dans les cas suivants : a) $f(x)=(3x^2+2)\sqrt x$, $I=\mathbb R_+^*$. b) $f(x)=\sqrt{x^2-2x+2}$, $I=\mathbb R$. c) $f(x)=(x^3-1)^6$, $I=\mathbb R$.

a. $f'(x)=6x\sqrt x+(3x^2+2)\times\dfrac1{2\sqrt x}=\dfrac{12x^2+3x^2+2}{2\sqrt x}=\dfrac{15x^2+2}{2\sqrt x}$.

b. Avec $u=x^2-2x+2>0$ sur $\mathbb R$ : $f'(x)=\dfrac{u'}{2\sqrt u}=\dfrac{2x-2}{2\sqrt{x^2-2x+2}}=\dfrac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+2}}$.

c. $f'(x)=6\times3x^2\times(x^3-1)^5=18x^2(x^3-1)^5$.

Exercice 3 — Dérivée d'un quotient (2 cas)

Difficile 20 min

Déterminer la fonction dérivée de $f$ dans les cas suivants : a) $f(x)=\dfrac x{\sqrt{x+1}}$, $I=]{-1};+\infty[$. b) $f(x)=\dfrac{2x^4}{(x+2)^2}$, $I=\mathbb R-\{-2\}$.

a. $f'(x)=\dfrac{\sqrt{x+1}-x\times\frac1{2\sqrt{x+1}}}{x+1}=\dfrac{\frac{2(x+1)-x}{2\sqrt{x+1}}}{x+1}=\dfrac{x+2}{2(x+1)\sqrt{x+1}}$.

b. $f'(x)=\dfrac{8x^3(x+2)^2-2x^4\times2(x+2)}{(x+2)^4}=\dfrac{(x+2)\big[8x^3(x+2)-4x^4\big]}{(x+2)^4}=\dfrac{4x^4+16x^3}{(x+2)^3}=\dfrac{4x^3(x+4)}{(x+2)^3}$.

Quiz — Quiz — Dérivabilité d'une fonction (20 questions)

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