Polynômes

I. Définition — égalité — opérations

1. Définition d'un polynôme

On appelle polynôme, noté $P$, une expression de la forme :

$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$

où $a_n,a_{n-1},\ldots,a_0$ sont des réels appelés coefficients de $P$. Si $a_n\ne0$, $n$ est le degré de $P$, noté $d°P=n$. Si tous les coefficients sont nuls, $P$ est le polynôme nul (sans degré).

Exemple : $P(x)=-5x^4+3x^2+4x-7$ est de degré 4 ($d°P=4$) ; ses coefficients sont $-5,0,3,4,-7$ (en écrivant $P(x)=-5x^4+0x^3+3x^2+4x-7$).

Remarque : pour $a\ne0$, $P(x)=ax+b$ (degré 1) est un binôme ; $P(x)=ax^2+bx+c$ (degré 2) est un trinôme.

2. Égalité de deux polynômes

Propriété : $P(x)$ et $Q(x)$ sont égaux si et seulement si ils ont le même degré et les coefficients des termes de même degré sont deux à deux égaux.

3. Opérations sur les polynômes

Propriétés : pour $P(x)$ de degré $n$ et $Q(x)$ de degré $m$ :

• $P(x)+Q(x)$ est un polynôme de degré $\max(n,m)$ ;
• $P(x)\times Q(x)$ est un polynôme de degré $n+m$.

Exemple : $P(x)=3x^2+2x$ ($d°P=2$), $Q(x)=5x-3x^4+1$ ($d°Q=4$).
$P(x)+Q(x)=-3x^4+3x^2+7x+1$, de degré $\max(2,4)=4$.
$P(x)\times Q(x)=-9x^6-6x^5+15x^3+13x^2+2x$, de degré $2+4=6$.

II. La division par $x-\alpha$

1. Division euclidienne d'un polynôme par $(x-\alpha)$

Propriété : soit $P(x)$ un polynôme de degré $n$ et $\alpha\in\mathbb{R}$. Il existe un polynôme $Q(x)$ de degré $n-1$ tel que : $P(x)=(x-\alpha)\times Q(x)+R(x)$, où :

• $P(x)$ est le dividende ;
• $(x-\alpha)$ est le diviseur ;
• $Q(x)$ est le quotient ;
• $R(x)$ est le reste (une constante, puisqu'on divise par un polynôme de degré 1).

Exemple : division euclidienne de $P(x)=x^2+3x-2$ par $x-1$ :

$x^2+3x-2=(x-1)(x-4)+2$ (quotient $x-4$, reste $2$).

2. Les racines d'un polynôme

Définition : $\alpha$ est une racine de $P(x)$ si $P(\alpha)=0$.

Exemple : $1$ est racine de $P(x)=x^2+2x-3$ car $P(1)=1+2-3=0$.

3. La divisibilité par $(x-\alpha)$

Définition : $P(x)$ est divisible par $(x-\alpha)$ si $\alpha$ est une racine de $P(x)$ (le reste de la division est alors nul).

Exemple : $P(x)=x^2-4x+4$ est divisible par $x-2$ car $P(2)=4-8+4=0$ (on a d'ailleurs $P(x)=(x-2)^2$).