Ordre dans ?

Ordre et opérations (addition, multiplication, inverse, carré, racine carrée), encadrement, intervalles de ? (union, intersection, amplitude, centre, rayon), valeur absolue et ses propriétés, approximations et approximations décimales.

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Ordre dans IR

Ordre et opérations, encadrement, intervalles de ?, valeur absolue et ses propriétés, approximations et approximations décimales.

I. Ordre et opérations

1. Ordre

Définition : pour $a,b\in\mathbb{R}$ : $a\le b \iff a-b\in\mathbb{R}^-$ ; $ab \iff a-b\in\mathbb{R}_+^*$.

2. Ordre et addition

Si $a\le b$, alors $a+c\le b+c$. Si $a\le b$ et $c\le d$, alors $a+c\le b+d$.

3. Ordre et multiplication

Si $k\ge0$ : $a\le b \iff ka\le kb$. Si $k\le0$ : $a\le b \iff ka\ge kb$ (l'inégalité change de sens). Si $0\le a\le b$ et $0\le c\le d$ : $ac\le bd$.

4. Ordre et inverse

Si $0
5. Ordre et racine carrée — ordre et carré

Si $0\le a\le b$ : $\sqrt a\le\sqrt b$ et $a^2\le b^2$. Si $a\le b\le0$ : $a^2\ge b^2$.

6. Encadrement

Définition : pour $aencadrement de $x$ d'amplitude $b-a$.

Propriété : si $a\le x\le b$ et $c\le y\le d$ :

$a+c\le x+y\le b+d$ et $a-d\le x-y\le b-c$ ;

si $a,b,c,d\ge0$ : $ac\le xy\le bd$ ;

si $a,b,c,d\le0$ : $bd\le xy\le ac$ ;

si $a,b\ge0$ : $a^2\le x^2\le b^2$ ; si $a,b\le0$ : $b^2\le x^2\le a^2$ ;

si $a,b,c,d$ de même signe : $\dfrac1b\le\dfrac1x\le\dfrac1a$ et $\dfrac1d\le\dfrac1y\le\dfrac1c$.

II. Les intervalles de $\mathbb{R}$

1. Intervalles bornés

$[a;b]$ (fermé, $a\le x\le b$) ; $]a;b[$ (ouvert, $a
2. Intervalles non bornés

$[a;+\infty[$ ($x\ge a$) ; $]a;+\infty[$ ($x>a$) ; $]-\infty;b]$ ($x\le b$) ; $]-\infty;b[$ ($x
Remarque : $\mathbb{R}=]-\infty;+\infty[$ ; $\mathbb{R}^+=[0;+\infty[$ ; $\mathbb{R}^-=]-\infty;0]$ ; $\mathbb{R}_+^*=]0;+\infty[$ ; $\mathbb{R}_-^*=]-\infty;0[$ ; le crochet au voisinage de $\infty$ est toujours ouvert.

3. Intersection et réunion de deux intervalles

$I\cap J$ est l'ensemble des éléments communs à $I$ et $J$ ; $I\cup J$ est l'ensemble des éléments appartenant à $I$ ou à $J$.

4. Amplitude, centre, rayon

Pour $I=[a;b]$ ($a
III. Valeur absolue

Définition : pour $x\in\mathbb{R}$, $|x|=x$ si $x\ge0$, $|x|=-x$ si $x\le0$.

Propriétés : pour $x,y\in\mathbb{R}$ : $|x|=|-x|$ ; $|x-y|=|y-x|$ ; $\sqrt{x^2}=|x|$ ; $|xy|=|x||y|$ ; $|x+y|\le|x|+|y|$ (inégalité triangulaire) ; $\left|\dfrac xy\right|=\dfrac{|x|}{|y|}$ ($y\ne0$) ; $|x|=a \iff x=a$ ou $x=-a$ (pour $a\ge0$) ; $|x|=|y| \iff x=y$ ou $x=-y$.

Propriété (inégalités avec valeur absolue) : pour $r\in\mathbb{R}_+^*$ :

$|x|\le r \iff -r\le x\le r$ (soit $x\in[-r;r]$) ;

$|x|\ge r \iff x\le-r$ ou $x\ge r$ (soit $x\in\,]-\infty;-r]\cup[r;+\infty[$).

IV. Approximations — approximations décimales

1. Approximation par excès — par défaut

Pour $a\le x\le b$ : $a$ est une valeur approchée par défaut de $x$ à $b-a$ près ; $b$ est une valeur approchée par excès de $x$ à $b-a$ près.

2. Valeur approchée

Définition : si $|x-a|\le r$ (ou $valeur approchée de $x$ à $r$ près.

Remarque : si $a\le x\le b$, alors $\dfrac{a+b}2$ est une valeur approchée de $x$ à $\dfrac{b-a}2$ près.

3. Approximation décimale

Définition : pour $x\in\mathbb{R}$, il existe $N\in\mathbb{Z}$ et $p\in\mathbb{N}$ tels que $N\times10^{-p}\le x\le(N+1)\times10^{-p}$. $N\times10^{-p}$ est l'approximation décimale par défaut de $x$ à $10^{-p}$ près ; $(N+1)\times10^{-p}$ est l'approximation décimale par excès.

Méthode à retenir

Méthode — comparer deux nombres : étudier le signe de leur différence, ou (s'ils sont positifs) comparer leurs carrés.

Méthode — résoudre $|f(x)|=a$ : se ramener à $f(x)=a$ ou $f(x)=-a$ (si $a\ge0$ ; si $a<0$, aucune solution).

Méthode — résoudre $|f(x)|\le r$ ou $|f(x)|\ge r$ : utiliser directement les équivalences $|f(x)|\le r\iff -r\le f(x)\le r$ et $|f(x)|\ge r\iff f(x)\le-r$ ou $f(x)\ge r$.

Méthode — encadrer une expression : encadrer chaque terme séparément, en prenant garde au sens de l'inégalité lors d'une multiplication par un facteur négatif ou lors du passage à l'inverse/au carré (nécessite de connaître le signe des bornes).

Exercices

Faciles

Exercice 1 — Comparaison de deux nombres

Facile 10 min

Comparer $a$ et $b$ dans les cas suivants :
1) $a=\dfrac6{65}$ et $b=\dfrac4{70}$
2) $a=3\sqrt5$ et $b=\sqrt{37}$

1) Par produit en croix : $a>b \iff 6\times70>4\times65 \iff 420>260$, ce qui est vrai. Donc $a>b$.

2) $a^2=9\times5=45$ et $b^2=37$. Comme $a,b\ge0$ et $a^2>b^2$, on a $a>b$.

Exercice 2 — Amplitude, centre et rayon d'un intervalle

Facile 10 min

On considère l'intervalle $I=[-1;3]$. Calculer l'amplitude, le centre et le rayon de $I$.

Amplitude : $A=3-(-1)=4$.

Rayon : $R=\dfrac{3-(-1)}2=2$.

Centre : $C=\dfrac{3+(-1)}2=1$.

Exercice 3 — Valeurs approchées décimales

Facile 10 min

Déterminer une valeur approchée décimale par défaut et par excès de $\dfrac37$ à $0{,}1$ près.

$\dfrac37\approx0{,}4286$. Le multiple de $0{,}1$ immédiatement inférieur est $0{,}4$, et le suivant est $0{,}5$.

On vérifie : $0{,}4\le\dfrac37\le0{,}5$ (car $0{,}4286$ est bien compris entre $0{,}4$ et $0{,}5$).

Donc $0{,}4$ est une valeur approchée par défaut, et $0{,}5$ est une valeur approchée par excès, de $\dfrac37$ à $0{,}1$ près.

Moyens

Exercice 1 — Comparaison d'expressions littérales

Moyen 10 min

Comparer $A$ et $B$ dans les cas suivants :
1) $A=\dfrac{2n-1}{2n}$ et $B=\dfrac{2n}{2n+1}$, $n\in\mathbb{N}^*$
2) $A=\sqrt{a+b}$ et $B=\sqrt a+\sqrt b$, $a,b\in\mathbb{R}^+$

1) $A=1-\dfrac1{2n}$ et $B=1-\dfrac1{2n+1}$. Comme $2n<2n+1$, on a $\dfrac1{2n}>\dfrac1{2n+1}$, donc $-\dfrac1{2n}<-\dfrac1{2n+1}$, d'où $A
2) $A^2=a+b$ et $B^2=a+2\sqrt{ab}+b$. Comme $2\sqrt{ab}\ge0$, $B^2\ge A^2$. Comme $A,B\ge0$, on conclut $A\le B$.

Exercice 2 — Encadrement d'expressions

Moyen 10 min

Soient $x,y\in\mathbb{R}$ tels que $-4\le x\le-1$ et $2\le y\le5$. Encadrer $x+y$, $x-y$, $xy$ et $\dfrac xy$.

$x+y$ : $-4+2\le x+y\le-1+5$, soit $-2\le x+y\le4$.

$x-y$ : $-4-5\le x-y\le-1-2$, soit $-9\le x-y\le-3$.

$xy$ : $x$ est négatif, $y$ positif, donc $xy$ est négatif. Le minimum est $x_{\min}\times y_{\max}=-4\times5=-20$ et le maximum est $x_{\max}\times y_{\min}=-1\times2=-2$ : $-20\le xy\le-2$.

$\dfrac xy$ : de même, $\dfrac{x}{y}$ est négatif. Minimum $\dfrac{-4}{2}=-2$, maximum $\dfrac{-1}{5}=-\dfrac15$ : $-2\le\dfrac xy\le-\dfrac15$.

Exercice 3 — Intersection et réunion d'intervalles

Moyen 10 min

Déterminer $I\cap J$ et $I\cup J$ dans les cas suivants :
1) $I=[-10;2]$ et $J=[-3;7]$
2) $I=\,]-\infty;3]$ et $J=[-6;+\infty[$
3) $I=\left[-\dfrac23;\dfrac35\right]$ et $J=\left[\dfrac57;1\right]$

1) $I\cap J=[-3;2]$. $I\cup J=[-10;7]$.

2) Comme $-6<3$, les deux intervalles se chevauchent : $I\cap J=[-6;3]$. Ils couvrent ensemble tout $\mathbb{R}$ : $I\cup J=\,]-\infty;+\infty[=\mathbb{R}$.

3) Comme $\dfrac35=0{,}6<\dfrac57\approx0{,}714$, les intervalles sont disjoints : $I\cap J=\varnothing$. $I\cup J=\left[-\dfrac23;\dfrac35\right]\cup\left[\dfrac57;1\right]$ (ne peut pas s'écrire comme un seul intervalle).

Exercice 4 — Résolution d'équations avec valeur absolue

Moyen 10 min

Résoudre dans $\mathbb{R}$ :
1) $|x-3|=2$
2) $|2x-1|=|3x+4|$
3) $|x+5|+|-2x+1|=0$

1) $x-3=2$ ou $x-3=-2$, soit $x=5$ ou $x=1$. $S=\{1,5\}$.

2) $2x-1=3x+4$ ou $2x-1=-(3x+4)$.
Cas 1 : $-x=5 \iff x=-5$.
Cas 2 : $5x=-3 \iff x=-\dfrac35$.
$S=\left\{-5,-\dfrac35\right\}$.

3) Une somme de deux valeurs absolues (toujours $\ge0$) est nulle si et seulement si chacune est nulle : $x+5=0$ et $-2x+1=0$, soit $x=-5$ et $x=\dfrac12$. Ces deux conditions sont incompatibles : $S=\varnothing$.

Exercice 5 — Résolution d'inéquations avec valeur absolue

Moyen 10 min

Résoudre dans $\mathbb{R}$ :
1) $|x+1|\le2$
2) $|3x-2|\ge4$

1) $|x+1|\le2 \iff -2\le x+1\le2 \iff -3\le x\le1$. $S=[-3;1]$.

2) $|3x-2|\ge4 \iff 3x-2\le-4$ ou $3x-2\ge4 \iff 3x\le-2$ ou $3x\ge6 \iff x\le-\dfrac23$ ou $x\ge2$. $S=\,]-\infty;-\frac23]\cup[2;+\infty[$.

Difficiles

Exercice 1 — Comparaison avec racines carrées imbriquées

Difficile 10 min

On pose $a=2\sqrt5-3\sqrt2$ et $b=\sqrt{39-12\sqrt{10}}$.
1) Montrer que $a\ge0$.
2) Calculer $a^2$ et $b^2$.
3) Comparer $a$ et $b$, puis $\dfrac1a$ et $\dfrac1b$.

1) $a\ge0 \iff 2\sqrt5\ge3\sqrt2 \iff (2\sqrt5)^2\ge(3\sqrt2)^2 \iff 20\ge18$, ce qui est vrai.

2) $a^2=(2\sqrt5)^2-2\times2\sqrt5\times3\sqrt2+(3\sqrt2)^2=20-12\sqrt{10}+18=38-12\sqrt{10}$.
$b^2=39-12\sqrt{10}$ (par définition de $b$, le contenu du radical étant positif).

3) $a^2-b^2=(38-12\sqrt{10})-(39-12\sqrt{10})=-1<0$, donc $a^2Comme $0

Exercice 2 — Approximation décimale d'une expression composée

Difficile 10 min

On pose $x=\dfrac{\sqrt7-\sqrt3}2$. Sachant que $1{,}73<\sqrt3<1{,}74$ et $2{,}64<\sqrt7<2{,}65$, donner l'approximation décimale par défaut et par excès de $x$ à $10^{-2}$ près.

Pour encadrer $x$, on encadre $\sqrt7-\sqrt3$ : la borne inférieure de $\sqrt7$ moins la borne supérieure de $\sqrt3$ donne le minimum, et inversement pour le maximum.

Minimum : $2{,}64-1{,}74=0{,}90$. Maximum : $2{,}65-1{,}73=0{,}92$.

Donc $0{,}90<\sqrt7-\sqrt3<0{,}92$, d'où $\dfrac{0{,}90}2
L'approximation décimale par défaut de $x$ à $10^{-2}$ près est $0{,}45$ ; celle par excès est $0{,}46$.

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