Calcul vectoriel dans le plan

Égalité et somme de vecteurs, relation de Chasles, multiplication d'un vecteur par un réel, colinéarité de deux vecteurs et alignement de trois points, milieu d'un segment.

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Calcul vectoriel dans le plan

Égalité et somme de deux vecteurs, relation de Chasles, multiplication d'un vecteur par un réel et ses propriétés, colinéarité de deux vecteurs, alignement de trois points, et milieu d'un segment.

I. Égalité de deux vecteurs — somme de deux vecteurs

Propriété : deux vecteurs sont égaux si et seulement s'ils ont même direction, même sens et même norme.

Pour $A,B,C,D$ quatre points du plan :

$\vec{AB}=\vec{DC}$ signifie que $ABCD$ est un parallélogramme ;
$\vec{AB}+\vec{AD}=\vec{AC}$ signifie que $ABCD$ est un parallélogramme ;
$\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}$ : relation de Chasles ;
si $A=B$ (points confondus), $\vec{AB}=\vec{AA}=\vec{BB}=\vec0$.

Remarque : si $ABCD$ est un parallélogramme, alors $BCDA$, $CDAB$ et $DABC$ le sont aussi.

II. Multiplication d'un vecteur par un réel

1. Définition

Pour $\vec u\ne\vec0$ et $k\in\mathbb{R}^*$, $k\vec u$ est le vecteur tel que :

si $k>0$ : $\vec u$ et $k\vec u$ ont même sens, $\|k\vec u\|=k\|\vec u\|$ ;
si $k<0$ : $\vec u$ et $k\vec u$ ont des sens contraires, $\|k\vec u\|=-k\|\vec u\|$.

2. Propriétés

Pour $\vec u,\vec v$ vecteurs et $a,b\in\mathbb{R}$ :

$a(\vec u+\vec v)=a\vec u+a\vec v$ ; $(a+b)\vec u=a\vec u+b\vec u$ ; $a(b\vec u)=(ab)\vec u$ ; $1\cdot\vec u=\vec u$ ; $k\vec u=\vec0 \Rightarrow k=0$ ou $\vec u=\vec0$.

Exemple : $5\vec{AB}-\dfrac32\vec{AB}=\dfrac72\vec{AB}$ ; $2(-3\vec{AB})=-6\vec{AB}$ ; $2\vec{AB}+2\vec{BC}=2(\vec{AB}+\vec{BC})=2\vec{AC}$.

III. Colinéarité de deux vecteurs — alignement de trois points

Définition : $\vec u,\vec v$ (non nuls) sont colinéaires s'il existe $k\in\mathbb{R}^*$ tel que $\vec u=k\vec v$ (ou $\vec v=k\vec u$).

Propriété : $A,B,C$ sont alignés si et seulement si $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires.

Exemple : $\vec{AC}=\dfrac43\vec{AD}$ entraîne que $A$, $C$, $D$ sont alignés.

Remarque : pour $A,B,C,D$ points du plan, $(AB)\parallel(CD) \iff \vec{AB}=k\cdot\vec{CD}$ pour un certain $k\in\mathbb{R}^*$.

IV. Milieu d'un segment

1. Définition

$I$ est le milieu de $[AB]$ si et seulement si $\vec{IA}+\vec{IB}=\vec0$.

2. Propriétés

$I$ milieu de $[AB]$ $\iff \vec{AI}=\vec{IB}$, ou encore $\vec{AB}=2\vec{AI}$ ;
si $I$ est milieu de $[AB]$, alors pour tout point $M$ du plan : $2\vec{MI}=\vec{MA}+\vec{MB}$.

Méthode à retenir

Méthode — simplifier une somme/différence de vecteurs : regrouper les termes pour faire apparaître des chaînes utilisables par la relation de Chasles ($\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}$), et simplifier les paires de vecteurs opposés ($\vec{AB}+\vec{BA}=\vec0$).

Méthode — montrer que trois points sont alignés : exprimer $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ (ou deux vecteurs reliant les trois points) en fonction des mêmes vecteurs de base, puis montrer que l'un est un multiple réel de l'autre.

Méthode — exploiter le milieu d'un segment : utiliser $\vec{AI}=\vec{IB}$ ou $2\vec{MI}=\vec{MA}+\vec{MB}$ pour transformer une expression vectorielle et faire apparaître le milieu recherché.

Exercices

Faciles

Exercice 1 — Simplification d'une expression vectorielle

Facile 10 min

Simplifier le vecteur $\vec U=\vec{BC}-\vec{AC}-\vec{BA}-\vec{AB}$.

$\vec U=\vec{BC}+\vec{CA}+\vec{AB}+\vec{BA}$ (en remplaçant $-\vec{AC}=\vec{CA}$, $-\vec{BA}=\vec{AB}$, $-\vec{AB}=\vec{BA}$).

Comme $\vec{AB}+\vec{BA}=\vec0$, il reste $\vec U=\vec{BC}+\vec{CA}=\vec{BA}$ (relation de Chasles).

Moyens

Exercice 1 — Construction et nature d'un quadrilatère

Moyen 10 min

Soient $A,B,C,D$ quatre points du plan. On construit $E$ et $F$ tels que $\vec{AE}=\vec{AB}+\vec{AD}$ et $\vec{AF}=\vec{AC}+\vec{AD}$.
1) Montrer que $\vec{EF}=\vec{BC}$.
2) En déduire la nature du quadrilatère $EFCB$.

1) $\vec{EF}=\vec{AF}-\vec{AE}=(\vec{AC}+\vec{AD})-(\vec{AB}+\vec{AD})=\vec{AC}-\vec{AB}=\vec{BC}$.

2) Comme $\vec{EF}=\vec{BC}$, le quadrilatère $EFCB$ est un parallélogramme (deux côtés opposés définis par des vecteurs égaux).

Exercice 2 — Relation vectorielle nulle

Moyen 10 min

Soient $A,B,C,D,E$ des points du plan. Montrer que $\vec{AC}-\vec{DB}+\vec{CE}+\vec{DA}+\vec{EB}=\vec0$.

On regroupe : $\vec{AC}+\vec{CE}=\vec{AE}$ (Chasles), puis $\vec{AE}+\vec{EB}=\vec{AB}$ (Chasles). Donc $\vec{AC}+\vec{CE}+\vec{EB}=\vec{AB}$.

Il reste $-\vec{DB}+\vec{DA}=\vec{DA}-\vec{DB}=\vec{BA}$ (Chasles, en écrivant $\vec{DA}-\vec{DB}=\vec{BD}+\vec{DA}=\vec{BA}$).

Total : $\vec{AB}+\vec{BA}=\vec0$. ?

Exercice 3 — Multiplication par un réel et construction de point

Moyen 10 min

Soit $ABC$ un triangle et $D$ un point tel que $\vec{BD}=3\vec{DC}$.
1) Montrer que $\vec{BD}=\dfrac34\vec{BC}$.
2) Comment placer le point $D$ ?

1) Par la relation de Chasles, $\vec{BC}=\vec{BD}+\vec{DC}$. Comme $\vec{BD}=3\vec{DC}$, on a $\vec{DC}=\dfrac13\vec{BD}$.
Donc $\vec{BC}=\vec{BD}+\dfrac13\vec{BD}=\dfrac43\vec{BD}$, d'où $\vec{BD}=\dfrac34\vec{BC}$.

2) $D$ est le point du segment $[BC]$ situé aux $\dfrac34$ de la distance de $B$ vers $C$ (c'est-à-dire $BD=\dfrac34BC$).

Exercice 4 — Simplification et colinéarité de deux combinaisons

Moyen 10 min

Soient $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs du plan. On pose $\vec X=2(\vec u+5\vec v)+3(\vec u-\vec v)$ et $\vec Y=13\vec u+3(4\vec v-\vec u)+2\vec v$.
1) Simplifier $\vec X$ et $\vec Y$.
2) En déduire une relation vectorielle entre $\vec X$ et $\vec Y$.

1) $\vec X=2\vec u+10\vec v+3\vec u-3\vec v=5\vec u+7\vec v$.
$\vec Y=13\vec u+12\vec v-3\vec u+2\vec v=10\vec u+14\vec v$.

2) On remarque $\vec Y=2(5\vec u+7\vec v)=2\vec X$ : les vecteurs $\vec X$ et $\vec Y$ sont colinéaires.

Exercice 5 — Alignement via une relation vectorielle imposée

Moyen 10 min

Soit $ABC$ un triangle et $D,E$ deux points tels que $\vec{AD}=\dfrac32\vec{AB}$ et $\vec{DE}=\dfrac32\vec{BC}$.
Montrer que $\vec{AE}=\dfrac32\vec{AC}$. Que peut-on en déduire ?

$\vec{AE}=\vec{AD}+\vec{DE}=\dfrac32\vec{AB}+\dfrac32\vec{BC}=\dfrac32(\vec{AB}+\vec{BC})=\dfrac32\vec{AC}$ (relation de Chasles).

Comme $\vec{AE}=\dfrac32\vec{AC}$, les vecteurs $\vec{AE}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires : les points $A$, $E$ et $C$ sont alignés.

Exercice 6 — Milieux et expressions vectorielles

Moyen 10 min

$ABC$ un triangle. $I$ et $J$ sont les milieux respectifs de $[AB]$ et $[AC]$. Montrer que $\vec{BJ}=-\vec{AB}+\dfrac12\vec{AC}$ et $\vec{CI}=-\vec{AC}+\dfrac12\vec{AB}$.

Comme $J$ est le milieu de $[AC]$ : $\vec{AJ}=\dfrac12\vec{AC}$.
$\vec{BJ}=\vec{BA}+\vec{AJ}=-\vec{AB}+\dfrac12\vec{AC}$.

Comme $I$ est le milieu de $[AB]$ : $\vec{AI}=\dfrac12\vec{AB}$.
$\vec{CI}=\vec{CA}+\vec{AI}=-\vec{AC}+\dfrac12\vec{AB}$.

Difficiles

Exercice 1 — Colinéarité et alignement de points

Difficile 10 min

Soit $ABC$ un triangle et $D,E$ deux points tels que $\vec{AD}=2\vec{AB}+\vec{AC}$ et $\vec{BE}=\dfrac13\vec{BC}$.
1) Exprimer $\vec{AE}$ en fonction de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.
2) En déduire une relation vectorielle entre $\vec{AD}$ et $\vec{AE}$.
3) Que peut-on dire des points $A$, $D$ et $E$ ?

1) $\vec{AE}=\vec{AB}+\vec{BE}=\vec{AB}+\dfrac13\vec{BC}=\vec{AB}+\dfrac13(\vec{AC}-\vec{AB})=\dfrac23\vec{AB}+\dfrac13\vec{AC}$.

2) $\vec{AD}=2\vec{AB}+\vec{AC}=3\left(\dfrac23\vec{AB}+\dfrac13\vec{AC}\right)=3\vec{AE}$.

3) Comme $\vec{AD}=3\vec{AE}$, les vecteurs $\vec{AD}$ et $\vec{AE}$ sont colinéaires : les points $A$, $D$ et $E$ sont alignés.

Quiz — Quiz — Calcul vectoriel dans le plan (15 questions)

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