La projection dans le plan

Projection sur une droite parallèlement à une droite, projection orthogonale, théorème de Thalès (direct, réciproque, écriture vectorielle, par projection), et conservation du coefficient de colinéarité par projection.

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La projection dans le plan

Projection sur une droite parallèlement à une droite, projection orthogonale, théorème de Thalès (direct et réciproque, écriture vectorielle, par projection), et conservation du coefficient de colinéarité.

I. Projection sur une droite

1. Projection sur une droite parallèlement à une droite

Définition : pour $(\Delta)$ et $(D)$ sécantes, et $M,M'$ tels que $M'\in(D)$ et $(MM')\parallel(\Delta)$, $M'$ est le projeté de $M$ sur $(D)$ parallèlement à $(\Delta)$ : $p_{(D)/(\Delta)}(M)=M'$.

2. Cas particulier : projection orthogonale

Définition : si $(\Delta)\perp(D)$, le projeté $M'$ de $M$ sur $(D)$ parallèlement à $(\Delta)$ s'appelle le projeté orthogonal de $M$ sur $(D)$.

Remarque : si $M\in(D)$, le projeté de $M$ est $M$ lui-même (point invariant par la projection). Si $M'$ est le projeté de $M$ sur $(D)$ parallèlement à $(\Delta)$, alors $(MM')\parallel(\Delta)$.

II. Théorème de Thalès

1. Théorème de Thalès direct

Propriété : soient $(D_1),(D_2)$ sécantes en $A$ ; $B,M\in(D_1)$ distincts de $A$ ; $C,N\in(D_2)$ distincts de $A$. Si $(MN)\parallel(BC)$, alors $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$.

Écriture vectorielle : si $A,B,M$ alignés et $A,C,N$ alignés, il existe $k\in\mathbb{R}^*$ tel que $\vec{AM}=k\vec{AB}$, $\vec{AN}=k\vec{AC}$ et $\vec{MN}=k\vec{BC}$.

Thalès direct par la projection : soient $(D_1),(D_2)$ sécantes et $A,B,C$ alignés, $(AB)$ non parallèle à $(D_1)$ ou $(D_2)$. Si $A',B',C'$ sont les projetés de $A,B,C$ sur $(D_2)$ parallèlement à $(D_1)$, alors $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{A'B'}{A'C'}$.

2. Réciproque du théorème de Thalès

Propriété : avec les mêmes notations, si $A,B,M$ et $A,C,N$ sont dans le même ordre et $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}$, alors $(MN)\parallel(BC)$.

III. Conservation du coefficient de colinéarité

Propriété : soient $(D)$ et $(\Delta)$ sécantes, $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ colinéaires, avec $\vec{AB}=k\vec{CD}$ ($k\in\mathbb{R}^*$). Si $A',B',C',D'$ sont les projetés de $A,B,C,D$ sur $(D)$ parallèlement à $(\Delta)$, alors $\vec{A'B'}=k\vec{C'D'}$.

On dit que la projection conserve le coefficient de colinéarité ($k$).

Méthode à retenir

Méthode — appliquer le théorème de Thalès direct : repérer deux droites sécantes en un point commun $A$, vérifier le parallélisme $(MN)\parallel(BC)$, puis écrire l'égalité des trois rapports $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$ pour calculer la longueur cherchée.

Méthode — appliquer la réciproque de Thalès : vérifier que les points sont dans le même ordre sur chaque droite, calculer les deux rapports $\dfrac{AM}{AB}$ et $\dfrac{AN}{AC}$, et conclure au parallélisme s'ils sont égaux.

Méthode — utiliser la conservation du coefficient de colinéarité : identifier une relation $\vec{AB}=k\vec{CD}$ connue, repérer une projection (souvent avec des points invariants car déjà sur la droite-cible), et transférer directement le même coefficient $k$ aux images.

Exercices

Faciles

Exercice 1 — Point invariant par une projection

Facile 10 min

Soit $(D)$ une droite et $M$ un point du plan. On rappelle que $M'$ désigne le projeté de $M$ sur $(D)$ parallèlement à une droite $(\Delta)$ sécante à $(D)$. Que peut-on dire du projeté de $M$ si $M\in(D)$ ? Justifier.

Si $M\in(D)$, alors $M$ appartient déjà à la droite cible $(D)$. La droite passant par $M$ parallèle à $(\Delta)$ coupe donc $(D)$ en $M$ lui-même.

Le projeté de $M$ est donc $M$ lui-même : on dit que $M$ est invariant par cette projection.

Exercice 2 — Théorème de Thalès direct : calcul de longueurs

Facile 10 min

Dans un triangle $ABC$, $M\in[AB]$ et $N\in[AC]$ sont tels que $(MN)\parallel(BC)$, avec $AM=4$, $AB=6$, $AC=9$ et $BC=12$. Calculer $AN$ et $MN$.

D'après le théorème de Thalès direct : $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$.

$\dfrac{AM}{AB}=\dfrac46=\dfrac23$.

$\dfrac{AN}{AC}=\dfrac23 \iff AN=\dfrac23\times9=6$.

$\dfrac{MN}{BC}=\dfrac23 \iff MN=\dfrac23\times12=8$.

Moyens

Exercice 1 — Projection et trapèze

Moyen 10 min

On considère un triangle où $F',E'$ et $D'$ sont les projetés (selon une même direction) des points $F,E$ et $D$ sur $(AC)$, avec $F,E,D$ alignés sur une même droite.
1) Montrer que $(FF')\parallel(EE')$.
2) Montrer que $DFF'D'$ est un trapèze.

1) $F'$ et $E'$ sont tous deux obtenus par projection selon la même direction (même droite $(\Delta)$ de projection). Par définition d'une projection, $(FF')$ et $(EE')$ sont chacune parallèles à cette direction $(\Delta)$ : elles sont donc parallèles entre elles.

2) De même, $(DD')\parallel(\Delta)$ (même argument). Donc $(DD')\parallel(FF')$ : le quadrilatère $DFF'D'$ possède une paire de côtés parallèles ($DD'$ et $FF'$), c'est donc un trapèze.

Exercice 2 — Théorème de Thalès avec droites sécantes (configuration croisée)

Moyen 10 min

On considère deux droites sécantes en un point $I$, telles que $(AB)\parallel(DC)$, avec $DI=54$, $IA=9$, $IC=45$ et $IB=x$. Déterminer $x$.

Comme $(AB)\parallel(DC)$, avec $A,I,C$ alignés et $B,I,D$ alignés (configuration de Thalès avec droites sécantes en $I$), on a :

$\dfrac{IA}{IC}=\dfrac{IB}{ID}$.

$\dfrac{9}{45}=\dfrac{x}{54} \iff \dfrac15=\dfrac{x}{54} \iff x=\dfrac{54}5=10{,}8$.

Exercice 3 — Réciproque du théorème de Thalès

Moyen 10 min

Dans un triangle $ABC$, $M\in(AB)$ et $N\in(AC)$ sont tels que $AM=3$, $AB=5$, $AN=4{,}5$ et $AC=7{,}5$, avec $A,M,B$ et $A,N,C$ dans le même ordre. Montrer que $(MN)\parallel(BC)$.

$\dfrac{AM}{AB}=\dfrac35=0{,}6$.

$\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{4{,}5}{7{,}5}=0{,}6$.

Comme $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}$ et que les points sont dans le même ordre sur chaque droite, d'après la réciproque du théorème de Thalès : $(MN)\parallel(BC)$.

Exercice 4 — Écriture vectorielle du théorème de Thalès

Moyen 10 min

Soit $ABC$ un triangle, $M\in(AB)$ et $N\in(AC)$ tels que $\vec{AM}=\dfrac25\vec{AB}$. Sachant que $(MN)\parallel(BC)$, exprimer $\vec{AN}$ en fonction de $\vec{AC}$ et $\vec{MN}$ en fonction de $\vec{BC}$.

D'après l'écriture vectorielle du théorème de Thalès direct, comme $\vec{AM}=k\vec{AB}$ avec $k=\dfrac25$ et $(MN)\parallel(BC)$, on a aussi $\vec{AN}=k\vec{AC}$ et $\vec{MN}=k\vec{BC}$ avec le même $k$.

Donc $\vec{AN}=\dfrac25\vec{AC}$ et $\vec{MN}=\dfrac25\vec{BC}$.

Difficiles

Exercice 1 — Conservation du coefficient de colinéarité

Difficile 10 min

Soit $ABC$ un triangle et $D$ un point de la droite $(BC)$ (avec $D\notin[BC]$), et $O$ un point tel que $\vec{AO}=\dfrac34\vec{AD}$. Soient $E$ le projeté de $D$ sur $(AC)$ parallèlement à $(OC)$, et $F$ le projeté de $D$ sur $(AB)$ parallèlement à $(OB)$.
1) Montrer que $\vec{AC}=\dfrac34\vec{AE}$.
2) Montrer que $\vec{AB}=\dfrac34\vec{AF}$.
3) Montrer que $(EF)\parallel(BC)$.

1) On projette $A$, $O$, $D$ sur $(AC)$ parallèlement à $(OC)$. Comme $A\in(AC)$, $A$ est invariant. Comme $O\in(OC)$, la droite passant par $O$ parallèle à $(OC)$ est $(OC)$ elle-même, qui coupe $(AC)$ en $C$ : $O$ se projette donc en $C$. Enfin $D$ se projette en $E$ (par définition).
Comme $\vec{AO}=\dfrac34\vec{AD}$ et que la projection conserve le coefficient de colinéarité (avec $A$ invariant), on obtient $\vec{AC}=\dfrac34\vec{AE}$.

2) De même, en projetant sur $(AB)$ parallèlement à $(OB)$ : $A$ est invariant, $O$ se projette en $B$ (car $O\in(OB)$), et $D$ se projette en $F$.
La conservation du coefficient de colinéarité donne $\vec{AB}=\dfrac34\vec{AF}$.

3) Des questions 1 et 2 : $\vec{AE}=\dfrac43\vec{AC}$ et $\vec{AF}=\dfrac43\vec{AB}$. Les points $E$ et $F$ sont donc les images de $C$ et $B$ par une même homothétie de centre $A$ et de rapport $\dfrac43$ (ou, de façon équivalente, $\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}=\dfrac43$ avec $A,C,E$ et $A,B,F$ dans le même ordre).
D'après la réciproque du théorème de Thalès : $(EF)\parallel(BC)$.

Quiz — Quiz — La projection dans le plan (15 questions)

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