La droite dans le plan

Repère du plan, coordonnées d'un point et d'un vecteur, condition analytique de colinéarité (déterminant), équation cartésienne d'une droite, représentation paramétrique, et positions relatives de deux droites.

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La droite dans le plan

Coordonnées d'un point et d'un vecteur dans un repère, condition analytique de colinéarité via le déterminant, équation cartésienne d'une droite, représentation paramétrique, et positions relatives de deux droites (parallèles, sécantes, orthogonales).

I. Repère du plan

1. Coordonnées d'un point — coordonnées d'un vecteur

Définition : pour $O,I,J$ non alignés, $\vec\imath=\vec{OI}$, $\vec\jmath=\vec{OJ}$, le triplet $(O,\vec\imath,\vec\jmath)$ est un repère du plan ($O$ origine, $(\vec\imath,\vec\jmath)$ base, $(OI)$ axe des abscisses, $(OJ)$ axe des ordonnées).

Propriété : pour tout point $M$, il existe un unique couple $(x,y)$ tel que $\vec{OM}=x\vec\imath+y\vec\jmath$ ($M(x,y)$) ; pour tout vecteur $\vec u$, il existe un unique couple $(x,y)$ tel que $\vec u=x\vec\imath+y\vec\jmath$ ($\vec u(x,y)$).

Propriété : pour $A(x_A,y_A)$, $B(x_B,y_B)$ :

$\vec{AB}(x_B-x_A,\ y_B-y_A)$ ;
milieu de $[AB]$ : $\left(\dfrac{x_A+x_B}2,\dfrac{y_A+y_B}2\right)$ ;
dans un repère orthonormé : $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$.

2. Condition analytique de colinéarité de deux vecteurs

Définition : pour $\vec u(x,y)$, $\vec v(x',y')$, le déterminant est $\det(\vec u,\vec v)=\begin{vmatrix}x&x'\\y&y'\end{vmatrix}=xy'-x'y$.

Remarque : $\det(\vec v,\vec u)=-\det(\vec u,\vec v)$ ; $\det(k\vec u,\vec v)=\det(\vec u,k\vec v)=k\det(\vec u,\vec v)$.

Propriété : $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires $\iff \det(\vec u,\vec v)=0$.

II. Équation cartésienne d'une droite

Définition : pour $a,b,c\in\mathbb{R}$, $(a,b)\ne(0,0)$, toute droite admet une équation $ax+by+c=0$ (équation cartésienne).

Propriété : l'ensemble des $M(x,y)$ vérifiant $ax+by+c=0$ est une droite dirigée par $\vec u(-b,a)$.

Exemple : pour $A(-3,1)$, $B(-1,4)$ : $M\in(AB) \iff \det(\vec{AM},\vec{AB})=0 \iff 3(x+3)-2(y-1)=0 \iff 3x-2y+11=0$.

Remarque : on note souvent la droite passant par $A$ de vecteur $\vec u$ : $D(A,\vec u)$.

III. Représentation paramétrique d'une droite

Définition : pour $A(x_A,y_A)$ et $\vec u(\alpha,\beta)$ non nul, le système $\begin{cases}x=x_A+t\alpha\\y=y_A+t\beta\end{cases}$ ($t\in\mathbb{R}$) est une représentation paramétrique de la droite passant par $A$ dirigée par $\vec u$.

Remarque : toute droite admet une infinité de représentations paramétriques (une par choix de point et de vecteur directeur).

IV. Positions relatives de deux droites

Propriété : pour $(D): ax+by+c=0$ et $(D'): a'x+b'y+c'=0$ :

$(D)\parallel(D') \iff ab'-a'b=0$ ;
$(D)$ et $(D')$ sécantes $\iff ab'-a'b\ne0$ ;
en particulier, $(D)\perp(D') \iff aa'+bb'=0$.

Exemple : $(D): 3x-y-1=0$, $(D'): -2x+\dfrac23y+1=0$. $3\times\dfrac23-(-1)\times(-2)=2-2=0$, donc $(D)\parallel(D')$.

Méthode à retenir

Méthode — tester la colinéarité de deux vecteurs : calculer leur déterminant ; il est nul si et seulement si les vecteurs sont colinéaires.

Méthode — trouver l'équation cartésienne d'une droite $(AB)$ : pour $M(x,y)$ quelconque, écrire $\det(\vec{AM},\vec{AB})=0$, développer, et simplifier.

Méthode — lire le vecteur directeur d'une équation $ax+by+c=0$ : c'est directement $\vec u(-b,a)$ (coefficients échangés, un signe changé).

Méthode — étudier la position relative de deux droites : calculer $ab'-a'b$ (nul $\Rightarrow$ parallèles, non nul $\Rightarrow$ sécantes) puis, si sécantes, tester $aa'+bb'=0$ pour l'orthogonalité.

Exercices

Faciles

Exercice 1 — Vecteur directeur d'une équation cartésienne

Facile 10 min

Pour chacune des équations cartésiennes suivantes, donner un vecteur directeur : $2x+5y=4$ ; $y+3x-2=0$ ; $x+4=0$.

Pour $ax+by+c=0$, un vecteur directeur est $\vec u(-b,a)$.

$2x+5y-4=0$ ($a=2,b=5$) : $\vec u(-5,2)$.

$3x+y-2=0$ ($a=3,b=1$) : $\vec u(-1,3)$.

$x+4=0$ ($a=1,b=0$) : $\vec u(0,1)$.

Exercice 2 — Représentation paramétrique (construction)

Facile 10 min

Soit $(D)$ la droite passant par $A(2,1)$ et dirigée par $\vec u(3,-2)$, et $M(x,y)\in(D)$.
1) Montrer qu'il existe $t\in\mathbb{R}$ tel que $\vec{AM}=t\vec u$.
2) En déduire les coordonnées de $M$ en fonction de $t$.

1) $M\in(D)$ signifie que $\vec{AM}$ est colinéaire à $\vec u$ (le vecteur directeur de $(D)$) : il existe donc $t\in\mathbb{R}$ tel que $\vec{AM}=t\vec u$.

2) $\vec{AM}=(x-2,y-1)=t(3,-2)$, donc $x-2=3t$ et $y-1=-2t$, c'est-à-dire $\begin{cases}x=2+3t\\y=1-2t\end{cases}$, $t\in\mathbb{R}$.

Moyens

Exercice 1 — Coordonnées de vecteurs et combinaisons

Moyen 10 min

Le plan est rapporté à $(O,\vec\imath,\vec\jmath)$. Soient $A(0,2)$, $B(1,-2)$ et $C(1,1)$.
1) Donner les coordonnées de $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ et $\vec{BC}$.
2) Donner les coordonnées de $\vec u=3\vec{AB}$ et $\vec v=\vec{AC}-2\vec{BC}+3\vec{AB}$.
3) Donner les coordonnées de $I$, milieu de $[AC]$.

1) $\vec{AB}(1-0,-2-2)=(1,-4)$. $\vec{AC}(1-0,1-2)=(1,-1)$. $\vec{BC}(1-1,1-(-2))=(0,3)$.

2) $\vec u=3(1,-4)=(3,-12)$.
$\vec v=(1,-1)-2(0,3)+3(1,-4)=(1,-1)+(0,-6)+(3,-12)=(4,-19)$.

3) $I=\left(\dfrac{0+1}2,\dfrac{2+1}2\right)=\left(\dfrac12,\dfrac32\right)$.

Exercice 2 — Milieu, distance et parallélogramme

Moyen 10 min

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec\imath,\vec\jmath)$. Soient $A(1,2)$ et $B(-5,4)$.
1) Déterminer les coordonnées de $I$, milieu de $[AB]$, et calculer $AB$.
2) Déterminer les coordonnées de $C$ tel que $\vec{OA}+\vec{OB}=\vec{OC}$.
3) Quelle est la nature du quadrilatère $OACB$ ?

1) $I=\left(\dfrac{1-5}2,\dfrac{2+4}2\right)=(-2,3)$. $AB=\sqrt{(-5-1)^2+(4-2)^2}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$.

2) $C=(1+(-5),2+4)=(-4,6)$.

3) Comme $\vec{OC}=\vec{OA}+\vec{OB}$, on a $\vec{AC}=\vec{OC}-\vec{OA}=\vec{OB}$ : $OACB$ est un parallélogramme.

Exercice 3 — Colinéarité avec un paramètre

Moyen 10 min

Soit $m$ un paramètre réel. On considère $\vec{u_1}(-1,2)$, $\vec{u_2}(-4,1)$ et $\vec{u_3}(2m-3,2)$.
1) Étudier la colinéarité de $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}$.
2) Déterminer $m$ pour que $\vec{u_1}$ et $\vec{u_3}$ soient colinéaires.
3) Déterminer $m$ pour que $\vec{u_2}$ et $\vec{u_3}$ soient colinéaires.

1) $\det(\vec{u_1},\vec{u_2})=(-1)(1)-(-4)(2)=-1+8=7\ne0$ : non colinéaires.

2) $\det(\vec{u_1},\vec{u_3})=(-1)(2)-(2m-3)(2)=-2-4m+6=4-4m$.
$4-4m=0 \iff m=1$.

3) $\det(\vec{u_2},\vec{u_3})=(-4)(2)-(2m-3)(1)=-8-2m+3=-5-2m$.
$-5-2m=0 \iff m=-\dfrac52$.

Exercice 4 — Point appartenant à une droite (paramètre)

Moyen 10 min

On considère $A(2,3)$, $B(3,5)$ et $C(m-1,3m-2)$. Déterminer $m$ pour que $C$ appartienne à $(AB)$.

$C\in(AB) \iff \vec{AB}$ et $\vec{AC}$ colinéaires, c'est-à-dire $\det(\vec{AB},\vec{AC})=0$.

$\vec{AB}(1,2)$. $\vec{AC}(m-3,3m-5)$.

$\det(\vec{AB},\vec{AC})=1\times(3m-5)-2\times(m-3)=3m-5-2m+6=m+1$.

$m+1=0 \iff m=-1$.

Exercice 5 — Équation cartésienne à partir de deux points

Moyen 10 min

Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$ avec $A(3,1)$ et $B(-1,2)$.

Pour $M(x,y)\in(AB)$ : $\det(\vec{AM},\vec{AB})=0$.

$\vec{AM}(x-3,y-1)$, $\vec{AB}(-4,1)$.

$(x-3)(1)-(-4)(y-1)=0 \iff x-3+4y-4=0 \iff x+4y-7=0$.

$(AB): x+4y-7=0$.

Exercice 6 — Équation cartésienne et vecteur directeur

Moyen 10 min

Donner une équation cartésienne de la droite $D(A,\vec u)$ avec $A(1,3)$ et $\vec u(2,2)$, puis celle de la droite $(BC)$ avec $B(-2,3)$ et $C(0,-4)$.

Pour $D(A,\vec u)$ : $\det(\vec{AM},\vec u)=0$ avec $\vec{AM}(x-1,y-3)$.
$(x-1)(2)-2(y-3)=0 \iff 2x-2-2y+6=0 \iff 2x-2y+4=0 \iff x-y+2=0$.

Pour $(BC)$ : $\vec{BC}(2,-7)$. $\det(\vec{BM},\vec{BC})=0$ avec $\vec{BM}(x+2,y-3)$.
$(x+2)(-7)-2(y-3)=0 \iff -7x-14-2y+6=0 \iff 7x+2y+8=0$.

Exercice 7 — Positions relatives de deux droites

Moyen 10 min

Étudier la position relative de $(D)$ et $(D')$ dans les cas suivants :
1) $(D): 6x-2y+3=0$ ; $(D'): 2x-\dfrac13y-1=0$
2) $(D): x+2y-3=0$ ; $(D'): -x-2y+4=0$
3) $(D): -2x-y+2=0$ ; $(D'): \dfrac12x-y-7=0$

1) $ab'-a'b=6\times\left(-\dfrac13\right)-2\times(-2)=-2+4=2\ne0$ : les droites sont sécantes.
$aa'+bb'=6\times2+(-2)\times\left(-\dfrac13\right)=12+\dfrac23\ne0$ : non orthogonales.

2) $ab'-a'b=1\times(-2)-(-1)\times2=-2+2=0$ : les droites sont parallèles.

3) $ab'-a'b=(-2)\times(-1)-\dfrac12\times(-1)=2+\dfrac12=\dfrac52\ne0$ : sécantes.
$aa'+bb'=(-2)\times\dfrac12+(-1)\times(-1)=-1+1=0$ : les droites sont orthogonales.

Difficiles

Exercice 1 — Représentation paramétrique, appartenance et conversion

Difficile 10 min

Soient $A(3,-2)$ et $B(5,4)$.
1) Déterminer une représentation paramétrique de $(AB)$.
2) Le point $C(4,-1)$ appartient-il à $(AB)$ ?
3) Donner une équation cartésienne de $(D): \begin{cases}x=-2+4t\\y=-1+2t\end{cases}$, $t\in\mathbb{R}$.

1) $\vec{AB}(2,6)$. Représentation paramétrique : $\begin{cases}x=3+2t\\y=-2+6t\end{cases}$, $t\in\mathbb{R}$.

2) Si $C\in(AB)$, il existe $t$ tel que $3+2t=4$, soit $t=\dfrac12$. Vérifions avec $y$ : $-2+6\left(\dfrac12\right)=-2+3=1\ne-1$. Donc $C\notin(AB)$.

3) $(D)$ passe par $(-2,-1)$, dirigée par $\vec u(4,2)$. Pour $M(x,y)\in(D)$ : $\det(\vec{AM},\vec u)=0$ avec $\vec{AM}(x+2,y+1)$.
$(x+2)(2)-4(y+1)=0 \iff 2x+4-4y-4=0 \iff 2x-4y=0 \iff x-2y=0$.

Quiz — Quiz — La droite dans le plan (18 questions)

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