Calcul trigonométrique

Cercle trigonométrique, abscisse curviligne, angles orientés, rapports trigonométriques d'un nombre réel, relations trigonométriques et valeurs usuelles, équations et inéquations trigonométriques, angles inscrits, quadrilatères inscriptibles, et loi des sinus dans un triangle.

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Calcul trigonométrique

Cercle trigonométrique et abscisse curviligne, angles orientés, rapports trigonométriques d'un nombre réel, relations et valeurs usuelles, équations et inéquations trigonométriques, angles inscrits, quadrilatères inscriptibles, et loi des sinus.

I. Cercle trigonométrique — abscisse curviligne

1. Cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$, orienté dans le sens antihoraire (sens direct). $I$ est son origine ; $(O,\vec{OI},\vec{OJ})$ est le repère orthonormé direct associé.

2. Unités de mesure des angles

Le radian ($rd$) : la mesure d'un angle plat vaut $\pi\,rd$. Le grade ($gr$) : la mesure d'un angle plat vaut $200\,gr$.

Pour $\alpha,\beta,\gamma$ mesures d'un même angle en degré, radian, grade : $\dfrac{\alpha}{180}=\dfrac{\beta}{\pi}=\dfrac{\gamma}{200}$.

3. Abscisse curviligne — abscisse curviligne principale

Tout point $M$ du cercle s'associe à un réel $\alpha+2k\pi$ ($k\in\mathbb{Z}$), son abscisse curviligne ; celle appartenant à $]-\pi,\pi]$ est l'abscisse curviligne principale.

Exemple : pour $A\left(\dfrac{25\pi}4\right)$ : $\dfrac{25\pi}4=6\pi+\dfrac\pi4$, donc l'abscisse curviligne principale de $A$ est $\dfrac\pi4$.

II. Angles orientés

Définition : pour $[OX)$, $[OY)$ demi-droites d'origine $O$, coupant le cercle trigonométrique en $A(a)$, $B(b)$, la mesure de l'angle orienté $([OX);[OY))$ est $(b-a)+2k\pi$ ($k\in\mathbb{Z}$), notée $(\widehat{OX;OY})\equiv(b-a)[2\pi]$.

Propriété (relation de Chasles) : pour $\vec u,\vec v,\vec w$ non nuls : $(\vec u,\vec w)+(\vec w,\vec v)\equiv(\vec u,\vec v)[2\pi]$.

Propriétés : $(\vec u,\vec u)\equiv0[2\pi]$ ; $(\vec u,-\vec u)\equiv\pi[2\pi]$ ; $(\vec v,\vec u)\equiv-(\vec u,\vec v)[2\pi]$ ; $(-\vec u,-\vec v)\equiv(\vec u,\vec v)[2\pi]$ ; $(\vec u,-\vec v)\equiv(\vec u,\vec v)+\pi[2\pi]$ ; $(-\vec u,\vec v)\equiv(\vec u,\vec v)+\pi[2\pi]$.

Conséquence : pour $k,k'$ non nuls de même signe : $(k\vec u,k'\vec v)\equiv(\vec u,\vec v)[2\pi]$ ; de signes contraires : $(k\vec u,k'\vec v)\equiv(\vec u,\vec v)+\pi[2\pi]$.

III. Rapports trigonométriques d'un nombre réel

Définition : pour $M$ sur le cercle d'abscisse curviligne $x$ : l'abscisse de $M$ est $\cos(x)$, l'ordonnée est $\sin(x)$ ($M(\cos x,\sin x)$) ; $\tan(x)$ est l'ordonnée du point d'intersection de $(OM)$ avec la tangente au cercle en $I$.

Propriétés : $-1\le\cos(x)\le1$ ; $-1\le\sin(x)\le1$ ; $\cos(x+2k\pi)=\cos(x)$ ; $\sin(x+2k\pi)=\sin(x)$ ; $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$ ; $\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$ ($x\ne\frac\pi2+k\pi$) ; $1+\tan^2(x)=\dfrac1{\cos^2(x)}$ ; $\tan(x+k\pi)=\tan(x)$.

Valeurs usuelles

$x$	$0$	$\frac\pi6$	$\frac\pi4$	$\frac\pi3$	$\frac\pi2$	$\pi$
$\sin(x)$	$0$	$\frac12$	$\frac{\sqrt2}2$	$\frac{\sqrt3}2$	$1$	$0$
$\cos(x)$	$1$	$\frac{\sqrt3}2$	$\frac{\sqrt2}2$	$\frac12$	$0$	$-1$
$\tan(x)$	$0$	$\frac1{\sqrt3}$	$1$	$\sqrt3$	non déf.	$0$

Relations entre rapports trigonométriques

$\cos(-x)=\cos(x)$	$\sin(-x)=-\sin(x)$	$\tan(-x)=-\tan(x)$
$\cos(\pi-x)=-\cos(x)$	$\sin(\pi-x)=\sin(x)$	$\tan(\pi-x)=-\tan(x)$
$\cos(\pi+x)=-\cos(x)$	$\sin(\pi+x)=-\sin(x)$	$\tan(\pi+x)=\tan(x)$
$\cos\left(\frac\pi2-x\right)=\sin(x)$	$\sin\left(\frac\pi2-x\right)=\cos(x)$	$\tan\left(\frac\pi2-x\right)=\frac1{\tan(x)}$
$\cos\left(\frac\pi2+x\right)=-\sin(x)$	$\sin\left(\frac\pi2+x\right)=\cos(x)$	$\tan\left(\frac\pi2+x\right)=\frac{-1}{\tan(x)}$

IV. Équations trigonométriques

$\cos(x)=a$ : si $a\notin[-1,1]$, $S=\varnothing$ ; sinon, pour $\alpha$ tel que $\cos(\alpha)=a$ : $S=\{\alpha+2k\pi\}\cup\{-\alpha+2k'\pi\}$.

$\sin(x)=a$ : si $a\notin[-1,1]$, $S=\varnothing$ ; sinon, pour $\alpha$ tel que $\sin(\alpha)=a$ : $S=\{\alpha+2k\pi\}\cup\{\pi-\alpha+2k'\pi\}$.

$\tan(x)=a$ : pour $\alpha$ tel que $\tan(\alpha)=a$ : $S=\{\alpha+k\pi\}$.

Cas particuliers : $\cos(x)=0\iff x=\frac\pi2+k\pi$ ; $\cos(x)=1\iff x=2k\pi$ ; $\cos(x)=-1\iff x=\pi+2k\pi$ ; $\sin(x)=0\iff x=k\pi$ ; $\sin(x)=1\iff x=\frac\pi2+2k\pi$ ; $\sin(x)=-1\iff x=-\frac\pi2+2k\pi$.

Inéquations : résoudre l'égalité associée, placer les solutions sur le cercle trigonométrique, puis lire l'arc (ou la portion d'axe) correspondant à l'inégalité.

V. Angles inscrits et quadrilatères inscriptibles

Définition : pour $(C)$ de centre $O$, corde $[AB]$, $M\in(C)$ : $\widehat{AMB}$ est l'angle inscrit, $\widehat{AOB}$ l'angle au centre, interceptant $[AB]$.

Propriété : deux angles inscrits interceptant la même corde sont isométriques ou supplémentaires.

Quadrilatère inscriptible : ses sommets sont cocycliques (sur un même cercle).

Propriété : pour $A,B,C$ non alignés, $(C)$ circonscrit à $ABC$, $D$ un point : $D\in(C) \iff \widehat{BAD}+\widehat{BCD}=\pi$ ou $\widehat{BAD}=\widehat{BCD}$.

VI. Loi des sinus dans un triangle

Surface : $S=\dfrac12AC\times BC\times\sin(\hat C)=\dfrac12AB\times BC\times\sin(\hat B)=\dfrac12AC\times AB\times\sin(\hat A)$.

Théorème (loi des sinus) : pour $R$ le rayon du cercle circonscrit : $\dfrac{\sin(\hat A)}{BC}=\dfrac{\sin(\hat B)}{AC}=\dfrac{\sin(\hat C)}{AB}=\dfrac1{2R}$.

Théorème (rayon inscrit) : pour $p$ le périmètre et $r$ le rayon du cercle inscrit : $S=\dfrac12pr$.

Méthode à retenir

Méthode — déterminer l'abscisse curviligne principale : écrire $\alpha=\alpha_0+2k\pi$ et chercher $k\in\mathbb{Z}$ tel que $\alpha_0\in\,]-\pi,\pi]$ (souvent en repérant un multiple de $2\pi$ proche de $\alpha$).

Méthode — simplifier une expression trigonométrique : repérer les formes $\cos(\pi\pm x)$, $\sin(\pi\pm x)$, $\cos(\frac\pi2\pm x)$, etc., et les remplacer directement via le tableau des relations, en tenant compte de la périodicité pour les multiples de $2\pi$ ou $\pi$ ajoutés.

Méthode — résoudre une équation trigonométrique : ramener l'équation à la forme $\cos(x)=\cos(\alpha)$, $\sin(x)=\sin(\alpha)$ ou $\tan(x)=\tan(\alpha)$ (avec $\alpha$ un angle usuel), puis appliquer directement la formule de résolution ; pour un intervalle donné, résoudre d'abord sur $\mathbb{R}$ puis chercher les valeurs de $k$ compatibles.

Méthode — résoudre une inéquation trigonométrique : résoudre l'équation associée, plaer les solutions sur le cercle trigonométrique, puis lire directement l'ensemble solution sur le cercle.

Exercices

Faciles

Exercice 1 — Angles inscrits interceptant la même corde

Facile 10 min

Dans un cercle $(C)$, on considère une corde $[AB]$ et deux points $M,N\in(C)$ interceptant tous deux $[AB]$ (mais situés de part et d'autre de la corde, ou du même côté). Sachant que $\widehat{AMB}=50°$, donner les deux valeurs possibles de $\widehat{ANB}$.

D'après la propriété des angles inscrits interceptant la même corde, ils sont soit isométriques, soit supplémentaires.

Si $M$ et $N$ sont du même côté de $[AB]$ : $\widehat{ANB}=\widehat{AMB}=50°$.
Si $M$ et $N$ sont de part et d'autre de $[AB]$ : $\widehat{ANB}=180°-50°=130°$.

Exercice 2 — Surface d'un triangle équilatéral

Facile 10 min

Soit $ABC$ un triangle équilatéral tel que $AC=4$. Calculer la surface $S$ du triangle $ABC$.

Pour un triangle équilatéral, $AB=AC=4$ et $\hat A=60°$.

$S=\dfrac12\times AC\times AB\times\sin(\hat A)=\dfrac12\times4\times4\times\sin(60°)=\dfrac12\times16\times\dfrac{\sqrt3}2=4\sqrt3$.

Exercice 3 — Conversion degré — radian — grade

Facile 10 min

Compléter le tableau de conversion suivant (degré / radian / grade) : colonnes $60°$, $?$, $?$, $?$, $150°$ avec respectivement $?$, $\frac{2\pi}3$, $?$, $\frac\pi6$, $?$ en radian, et $?$, $?$, $50$, $?$, $?$ en grade.

On utilise $\dfrac{\alpha}{180}=\dfrac{\beta}{\pi}=\dfrac{\gamma}{200}$.

Colonne 1 : $60°=\dfrac{\pi}3$ rad $=\dfrac{200}3$ gr.

Colonne 2 : $\dfrac{2\pi}3$ rad $=120°=\dfrac{400}3$ gr.

Colonne 3 : $50$ gr $=45°=\dfrac\pi4$ rad.

Colonne 4 : $\dfrac\pi6$ rad $=30°=\dfrac{50}3$ gr.

Colonne 5 : $150°=\dfrac{5\pi}6$ rad $=\dfrac{500}3$ gr.

Exercice 4 — Angles d'un triangle en radians

Facile 10 min

1) Déterminer, en radian, les mesures des angles d'un triangle équilatéral.
2) Déterminer, en radian, les mesures des angles d'un triangle $ABC$ isocèle en $A$ tel que $\hat A=120°$.

1) Un triangle équilatéral a trois angles de $60°=\dfrac\pi3$ rad chacun.

2) $ABC$ isocèle en $A$ : $\hat B=\hat C$. Comme $\hat A+\hat B+\hat C=180°$ : $120°+2\hat B=180° \iff \hat B=\hat C=30°=\dfrac\pi6$ rad. $\hat A=120°=\dfrac{2\pi}3$ rad.

Moyens

Exercice 1 — Équations $\cos(x)=a$ et $\sin(x)=a$

Moyen 10 min

Résoudre dans $\mathbb{R}$ puis dans $]-\pi,\pi]$ les équations : $\cos(x)=\dfrac{\sqrt3}2$ ; $\sin(x)=\dfrac12$.

$\cos(x)=\dfrac{\sqrt3}2=\cos\left(\dfrac\pi6\right)$ : $x=\dfrac\pi6+2k\pi$ ou $x=-\dfrac\pi6+2k'\pi$ ($k,k'\in\mathbb{Z}$).
Dans $]-\pi,\pi]$ : $S=\left\{-\dfrac\pi6,\dfrac\pi6\right\}$.

$\sin(x)=\dfrac12=\sin\left(\dfrac\pi6\right)$ : $x=\dfrac\pi6+2k\pi$ ou $x=\pi-\dfrac\pi6+2k'\pi=\dfrac{5\pi}6+2k'\pi$.
Dans $]-\pi,\pi]$ : $S=\left\{\dfrac\pi6,\dfrac{5\pi}6\right\}$.

Exercice 2 — Inéquations trigonométriques simples

Moyen 10 min

Résoudre dans $I=\,]-\pi,\pi]$ :
1) $2\cos(x)-\sqrt3\ge0$
2) $\sqrt2\sin(x)+1\le0$

1) $\cos(x)\ge\dfrac{\sqrt3}2$. Or $\cos(x)=\dfrac{\sqrt3}2$ pour $x=\pm\dfrac\pi6$. Comme le cosinus est maximal en $0$, la solution est l'intervalle centré : $S_I=\left[-\dfrac\pi6,\dfrac\pi6\right]$.

2) $\sin(x)\le-\dfrac{\sqrt2}2$. Or $\sin(x)=-\dfrac{\sqrt2}2$ pour $x=-\dfrac\pi4$ ou $x=-\dfrac{3\pi}4$. Le sinus est minimal en $-\dfrac\pi2$ : $S_I=\left[-\dfrac{3\pi}4,-\dfrac\pi4\right]$.

Exercice 3 — Quadrilatère inscriptible

Moyen 10 min

Soit $ABCD$ un quadrilatère tel que $\widehat{BAD}=75°$ et $\widehat{BCD}=105°$. Ce quadrilatère est-il inscriptible (les points $A,B,C,D$ sont-ils cocycliques) ?

D'après la propriété des quadrilatères inscriptibles, $D$ appartient au cercle circonscrit à $ABC$ si et seulement si $\widehat{BAD}+\widehat{BCD}=\pi$ (soit $180°$) ou $\widehat{BAD}=\widehat{BCD}$.

Ici $\widehat{BAD}+\widehat{BCD}=75°+105°=180°$ : la condition est vérifiée.

Le quadrilatère $ABCD$ est donc inscriptible (ses sommets sont cocycliques).

Exercice 4 — Loi des sinus dans un triangle rectangle

Moyen 10 min

Soit $ABC$ un triangle tel que $\hat A=30°$, $\hat C=90°$ et $BC=5$. Déterminer le rayon $R$ du cercle circonscrit à $ABC$, puis la longueur $AB$.

D'après la loi des sinus : $\dfrac{\sin(\hat A)}{BC}=\dfrac1{2R}$.

$\dfrac{\sin(30°)}5=\dfrac1{2R} \iff \dfrac{1/2}5=\dfrac1{2R} \iff \dfrac1{10}=\dfrac1{2R} \iff 2R=10 \iff R=5$.

Comme $\hat C=90°$, $[AB]$ est un diamètre du cercle circonscrit (angle inscrit droit interceptant le diamètre) : $AB=2R=10$.

Exercice 5 — Abscisses curvilignes principales

Moyen 10 min

Déterminer les abscisses curvilignes principales des points suivants : $A\left(\dfrac{7\pi}2\right)$ ; $B\left(\dfrac{67\pi}4\right)$ ; $C\left(\dfrac{267\pi}6\right)$ ; $D\left(\dfrac{-11\pi}3\right)$.

$A$ : $\dfrac{7\pi}2-2\times2\pi=\dfrac{7\pi}2-\dfrac{8\pi}1$... plus précisément $\dfrac{7\pi}2-4\pi=\dfrac{7\pi-8\pi}2=-\dfrac\pi2$, qui est dans $]-\pi,\pi]$. Abscisse principale : $-\dfrac\pi2$.

$B$ : $\dfrac{67\pi}4-8\times2\pi=\dfrac{67\pi}4-\dfrac{64\pi}4=\dfrac{3\pi}4$, dans $]-\pi,\pi]$. Abscisse principale : $\dfrac{3\pi}4$.

$C$ : $\dfrac{267\pi}6=\dfrac{89\pi}2$. $\dfrac{89\pi}2-22\times2\pi=\dfrac{89\pi}2-\dfrac{88\pi}2=\dfrac\pi2$. Abscisse principale : $\dfrac\pi2$.

$D$ : $-\dfrac{11\pi}3+2\times2\pi=-\dfrac{11\pi}3+\dfrac{12\pi}3=\dfrac\pi3$, dans $]-\pi,\pi]$. Abscisse principale : $\dfrac\pi3$.

Exercice 6 — Relation de Chasles pour les angles orientés

Moyen 10 min

Soient $\vec u,\vec v,\vec w$ trois vecteurs non nuls tels que $(\vec v,\vec w)\equiv\dfrac{3\pi}4[2\pi]$ et $(\vec u,\vec v)\equiv\dfrac\pi3[2\pi]$. Déterminer une mesure de l'angle $(\vec u,\vec w)$.

D'après la relation de Chasles : $(\vec u,\vec w)\equiv(\vec u,\vec v)+(\vec v,\vec w)[2\pi]$.

$(\vec u,\vec w)\equiv\dfrac\pi3+\dfrac{3\pi}4=\dfrac{4\pi}{12}+\dfrac{9\pi}{12}=\dfrac{13\pi}{12}[2\pi]$.

Comme $\dfrac{13\pi}{12}>\pi$, la mesure principale est $\dfrac{13\pi}{12}-2\pi=-\dfrac{11\pi}{12}$.

$(\vec u,\vec w)\equiv-\dfrac{11\pi}{12}[2\pi]$.

Exercice 7 — Calcul de sin et tan à partir de cos

Moyen 10 min

Soit $x\in\,]\dfrac\pi2,\pi]$ tel que $\cos(x)=-\dfrac45$. Calculer $\sin(x)$ et $\tan(x)$.

$\sin^2(x)=1-\cos^2(x)=1-\dfrac{16}{25}=\dfrac9{25}$.

Comme $x\in\,]\frac\pi2,\pi]$ (deuxième quadrant, sauf éventuellement $x=\pi$ où $\cos=-1\ne-\frac45$), $\sin(x)>0$ : $\sin(x)=\dfrac35$.

$\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}=\dfrac{3/5}{-4/5}=-\dfrac34$.

Exercice 8 — Identité trigonométrique

Moyen 10 min

Montrer que pour tout $x\in\mathbb{R}$ : $\cos^4(x)+\sin^4(x)=1-2\cos^2(x)\sin^2(x)$.

$\cos^4(x)+\sin^4(x)=\left(\cos^2(x)+\sin^2(x)\right)^2-2\cos^2(x)\sin^2(x)$.

Comme $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$ : $\cos^4(x)+\sin^4(x)=1^2-2\cos^2(x)\sin^2(x)=1-2\cos^2(x)\sin^2(x)$.

Difficiles

Exercice 1 — Calcul de valeurs trigonométriques par périodicité

Difficile 10 min

Calculer : $\sin\left(\dfrac{35\pi}6\right)$ ; $\cos\left(\dfrac{-23\pi}3\right)$ ; $\sin\left(\dfrac{17\pi}4\right)$ ; $\cos\left(\dfrac{-10\pi}3\right)$.

$\sin\left(\frac{35\pi}6\right)=\sin\left(6\pi-\frac\pi6\right)=\sin\left(-\frac\pi6\right)=-\frac12$.

$\cos\left(\frac{-23\pi}3\right)=\cos\left(\frac{23\pi}3\right)=\cos\left(8\pi-\frac\pi3\right)=\cos\left(-\frac\pi3\right)=\frac12$.

$\sin\left(\frac{17\pi}4\right)=\sin\left(4\pi+\frac\pi4\right)=\sin\left(\frac\pi4\right)=\frac{\sqrt2}2$.

$\cos\left(\frac{-10\pi}3\right)=\cos\left(\frac{10\pi}3\right)=\cos\left(\pi+\frac\pi3\right)=-\cos\left(\frac\pi3\right)=-\frac12$ (après réduction $\frac{10\pi}3-2\pi=\frac{4\pi}3=\pi+\frac\pi3$).

Exercice 2 — Équation trigonométrique du second degré

Difficile 10 min

Résoudre dans $\mathbb{R}$ puis dans $]-\pi,\pi]$ l'équation $\sqrt2\cos^2(x)-\cos(x)=0$.

On factorise : $\cos(x)\left(\sqrt2\cos(x)-1\right)=0 \iff \cos(x)=0$ ou $\cos(x)=\dfrac1{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}2$.

$\cos(x)=0$ : $x=\dfrac\pi2+k\pi$.
$\cos(x)=\dfrac{\sqrt2}2$ : $x=\dfrac\pi4+2k'\pi$ ou $x=-\dfrac\pi4+2k''\pi$.

Dans $]-\pi,\pi]$ : $S=\left\{-\dfrac\pi2,-\dfrac\pi4,\dfrac\pi4,\dfrac\pi2\right\}$.

Exercice 3 — Équations avec la tangente

Difficile 10 min

Résoudre :
1) $\tan(x)=\sqrt3$ dans $\mathbb{R}$.
2) $3\tan^2(x)-1=0$ dans $\left]-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\right[$.
3) $\tan\left(x-\dfrac\pi6\right)=\dfrac1{\sqrt3}$ dans $\left]-\dfrac\pi2,\pi\right]$.

1) $\tan(x)=\sqrt3=\tan\left(\dfrac\pi3\right)$ : $x=\dfrac\pi3+k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$.

2) $\tan^2(x)=\dfrac13 \iff \tan(x)=\pm\dfrac{\sqrt3}3$. Dans $\left]-\frac\pi2,\frac\pi2\right[$ : $S=\left\{-\dfrac\pi6,\dfrac\pi6\right\}$.

3) En posant $y=x-\dfrac\pi6$ : $\tan(y)=\dfrac{\sqrt3}3=\tan\left(\dfrac\pi6\right) \iff y=\dfrac\pi6+k\pi \iff x=\dfrac\pi3+k\pi$.
Dans $\left]-\frac\pi2,\pi\right]$, seul $k=0$ convient ($x=\dfrac\pi3$) : $S=\left\{\dfrac\pi3\right\}$.

Exercice 4 — Simplification d'expressions trigonométriques

Difficile 10 min

Simplifier :
1) $A=\cos(\pi+x)+\cos(\pi-x)-\sin\left(\dfrac\pi2+x\right)+\sin(13\pi+x)$
2) $B=\sin\left(\dfrac\pi2-x\right)+\cos(12\pi+x)-2\cos\left(\dfrac\pi2+x\right)+\sin(\pi-x)$

1) $\cos(\pi+x)=-\cos(x)$ ; $\cos(\pi-x)=-\cos(x)$ ; $\sin\left(\frac\pi2+x\right)=\cos(x)$ ; $\sin(13\pi+x)=\sin(\pi+x)=-\sin(x)$ (périodicité $2\pi$, $13\pi=12\pi+\pi$).

$A=-\cos(x)-\cos(x)-\cos(x)-\sin(x)=-3\cos(x)-\sin(x)$.

2) $\sin\left(\frac\pi2-x\right)=\cos(x)$ ; $\cos(12\pi+x)=\cos(x)$ ; $\cos\left(\frac\pi2+x\right)=-\sin(x)$ ; $\sin(\pi-x)=\sin(x)$.

$B=\cos(x)+\cos(x)-2(-\sin(x))+\sin(x)=2\cos(x)+3\sin(x)$.

Quiz — Quiz — Calcul trigonométrique (20 questions)

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