Calcul algébrique

Identités remarquables — développement et factorisation

Les identités remarquables du second et du troisième degré, et leur utilisation pour développer, réduire et factoriser des expressions algébriques.

Identités remarquables

Pour tous réels $a$ et $b$ :

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$

$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$

Remarque : les deux dernières identités ($a^3\pm b^3$) permettent de factoriser directement une somme ou une différence de cubes.

Méthode à retenir

Méthode — développer : reconnaître la forme $(a+b)^2$, $(a-b)^2$, $(a-b)(a+b)$, $(a\pm b)^3$ ou $(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$ et appliquer directement la formule correspondante, plutôt que de tout redévelopper terme à terme.

Méthode — factoriser :

chercher un facteur commun ;
reconnaître une identité remarquable (carré, cube, différence de carrés/cubes) ;
regrouper les termes pour faire apparaître un facteur commun (factorisation par groupement).

Exercices

Faciles

Exercice 1 — Factorisation simple par facteur commun

Facile 10 min

Factoriser : $G=4x^2-36x$.

$G=4x(x-9)$ (facteur commun $4x$).

Moyens

Exercice 1 — Développer et réduire (I)

Moyen 10 min

Développer puis réduire :
1) $A=-(2x-1)^2+(x+2)^3$
2) $B=(x+2)(x^2-2x+4)$

1) $(2x-1)^2=4x^2-4x+1$, donc $-(2x-1)^2=-4x^2+4x-1$.
$(x+2)^3=x^3+6x^2+12x+8$.
$A=-4x^2+4x-1+x^3+6x^2+12x+8=x^3+2x^2+16x+7$.

2) On reconnaît la forme $(a+b)(a^2-ab+b^2)$ avec $a=x$, $b=2$ : $B=x^3+2^3=x^3+8$.

Exercice 2 — Développer et réduire (II)

Moyen 10 min

Développer puis réduire :
1) $C=(x-3)(x^2+3x+9)$
2) $D=(2x-1)^3-(x+4)^2$

1) On reconnaît $(a-b)(a^2+ab+b^2)$ avec $a=x$, $b=3$ : $C=x^3-3^3=x^3-27$.

2) $(2x-1)^3=8x^3-12x^2+6x-1$. $(x+4)^2=x^2+8x+16$.
$D=8x^3-12x^2+6x-1-x^2-8x-16=8x^3-13x^2-2x-17$.

Exercice 3 — Choisir la bonne identité pour développer

Moyen 10 min

En utilisant les identités remarquables, développer directement (sans repasser par le développement terme à terme) :
1) $(3x-2)^2$
2) $(x+5)(x-5)$
3) $(2x+1)(4x^2-2x+1)$

1) Forme $(a-b)^2$ avec $a=3x$, $b=2$ : $(3x-2)^2=9x^2-12x+4$.

2) Forme $(a-b)(a+b)$ avec $a=x$, $b=5$ : $(x+5)(x-5)=x^2-25$.

3) Forme $(a+b)(a^2-ab+b^2)$ avec $a=2x$, $b=1$ (on vérifie $a^2=4x^2$, $ab=2x$, $b^2=1$) : $(2x+1)(4x^2-2x+1)=(2x)^3+1^3=8x^3+1$.

Difficiles

Exercice 1 — Factorisation par groupement

Difficile 10 min

Factoriser : $E=x^2-4+(x+3)(x-2)-3(x-2)^2$.

$x^2-4=(x-2)(x+2)$ est un facteur commun apparent avec les autres termes (via $(x-2)$).

$E=(x-2)(x+2)+(x+3)(x-2)-3(x-2)^2=(x-2)\big[(x+2)+(x+3)-3(x-2)\big]$

$=(x-2)(x+2+x+3-3x+6)=(x-2)(11-x)$.

Exercice 2 — Factorisation avec identité $a^3-b^3$

Difficile 10 min

Factoriser : $F=x^3-27+2(x^2-9)-3x+9$.

On reconnaît $x^3-27=(x-3)(x^2+3x+9)$ et $x^2-9=(x-3)(x+3)$ et $-3x+9=-3(x-3)$ : $(x-3)$ est facteur commun.

$F=(x-3)(x^2+3x+9)+2(x-3)(x+3)-3(x-3)=(x-3)\big[(x^2+3x+9)+2(x+3)-3\big]$

$=(x-3)(x^2+3x+9+2x+6-3)=(x-3)(x^2+5x+12)$.

Exercice 3 — Factorisation avec plusieurs identités combinées

Difficile 10 min

Factoriser : $H=x^3+1+3(x^2-1)-(x+1)$.

On reconnaît $x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$ et $x^2-1=(x-1)(x+1)$ : $(x+1)$ est facteur commun à tous les termes.

$H=(x+1)(x^2-x+1)+3(x-1)(x+1)-(x+1)=(x+1)\big[(x^2-x+1)+3(x-1)-1\big]$

$=(x+1)(x^2-x+1+3x-3-1)=(x+1)(x^2+2x-3)$.

Or $x^2+2x-3=(x-1)(x+3)$ (racines $1$ et $-3$), donc finalement $H=(x+1)(x-1)(x+3)$.

Objectifs du chapitre

Identités remarquables — développement et factorisation

Identités remarquables

Exercices

Faciles

Exercice 1 — Factorisation simple par facteur commun

Moyens

Exercice 1 — Développer et réduire (I)

Exercice 2 — Développer et réduire (II)

Exercice 3 — Choisir la bonne identité pour développer

Difficiles

Exercice 1 — Factorisation par groupement

Exercice 2 — Factorisation avec identité $a^3-b^3$

Exercice 3 — Factorisation avec plusieurs identités combinées

Quiz — Quiz — Calcul algébrique (15 questions)

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