Ensembles de nombres

Ce chapitre couvre le programme de Tronc Commun sur le thème « Ensembles de nombres ».

Objectifs du chapitre

Comprendre les notions clés du chapitre « Ensembles de nombres »
Appliquer les méthodes vues en cours sur des exercices
Résoudre des problèmes concrets liés au chapitre

Ensembles des nombres

Les ensembles ?, ?, ?, ?, ? et leurs inclusions, opérations d'addition et de multiplication dans ?, opérations sur les fractions, puissances, écriture scientifique et racines carrées.

I. Définitions et notations

Définitions :

les nombres entiers naturels forment l'ensemble $\mathbb{N}=\{0,1,2,3,4,5,\ldots\}$ ;
les nombres entiers relatifs forment l'ensemble $\mathbb{Z}=\{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\}$ ;
les nombres décimaux forment l'ensemble $\mathbb{D}=\left\{\dfrac{a}{10^n} : a\in\mathbb{Z},\ n\in\mathbb{N}\right\}$ ;
les nombres rationnels forment l'ensemble $\mathbb{Q}=\left\{\dfrac{a}{b} : a\in\mathbb{Z},\ b\in\mathbb{Z}^*\right\}$ ;
les nombres rationnels et irrationnels forment l'ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$.

Remarque : $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$. On note $\mathbb{N}^*=\{1,2,3,\ldots\}$, $\mathbb{Z}^*=\mathbb{Z}\setminus\{0\}$, $\mathbb{Z}^+=\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}^-=\{\ldots,-2,-1,0\}$.

II. Opérations dans $\mathbb{R}$

1. Addition

Pour $a,b,c\in\mathbb{R}$ : $a+b=b+a$ (commutativité) ; $a+b+c=a+(b+c)$ (associativité) ; $a+0=a$ ($0$ élément neutre) ; $a+(-a)=0$ ($-a$ opposé de $a$).

2. Multiplication

$a\times b=b\times a$ (commutativité) ; $a\times b\times c=a\times(b\times c)$ (associativité) ; $a\times1=a$ ($1$ élément neutre) ; $a\times\dfrac1a=1$ ($\frac1a$ inverse de $a$, $a\ne0$).

3. Opérations sur les fractions

Pour $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ (avec $b,d\ne0$ selon le cas) :

$\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad+bc}{bd}$ ; $\dfrac{a}{b}\times\dfrac{c}{d}=\dfrac{ac}{bd}$ ; $\dfrac{a/b}{c}=\dfrac{a}{bc}$ ; $\dfrac{a/b}{c/d}=\dfrac{a}{b}\times\dfrac{d}{c}=\dfrac{ad}{bc}$ ; $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\iff ad=bc$.

III. Puissances — écriture scientifique — racines carrées

1. Écriture scientifique

Pour $x$ réel décimal non nul, l'écriture $x=a\times10^p$ ($p\in\mathbb{Z}$) est l'écriture scientifique de $x$ si $1\le a<10$ (pour $x>0$) ou $-10

Exemple : $N_a=6023{,}045\times10^{20}=6{,}023045\times10^{23}$ ; $c=300\,000\,000=3\times10^8\text{ m/s}$.

2. Puissances

Pour $a,b\in\mathbb{R}$, $m,n\in\mathbb{Z}^*$ :

$(a^n)^m=a^{n\times m}$ ; $a^n\times a^m=a^{n+m}$ ; $\dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$ ($a\ne0$) ; $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$ ($a\ne0$) ; $(a\times b)^n=a^n\times b^n$ ; $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}$ ($b\ne0$).

3. Racines carrées

Définition : pour $a\in\mathbb{R}^+$, la racine carrée de $a$ est le réel positif $b$ tel que $b^2=a$, noté $b=\sqrt a$.

Propriétés : pour $a,b\in\mathbb{R}^+$ : $\left(\sqrt a\right)^2=a$ ; $\sqrt{a^2}=a$ ; $\left(\sqrt a\right)^n=\sqrt{a^n}$ ; $\sqrt a\times\sqrt b=\sqrt{ab}$ ; $\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\dfrac ab}$ ($b\ne0$) ; $\dfrac{1}{\sqrt a}=\dfrac{\sqrt a}{a}$ ($a\ne0$) ; $\sqrt a=\sqrt b\Rightarrow a=b$.

Remarque : pour $a\in\mathbb{R}$, $\sqrt{a^2}=|a|$ ($=a$ si $a\ge0$, $=-a$ si $a<0$).

Méthode à retenir

Méthode — simplifier une expression avec puissances : décomposer chaque facteur en produit de nombres premiers (ou de bases communes), puis appliquer les règles $a^n\times a^m=a^{n+m}$ et $a^n/a^m=a^{n-m}$ pour regrouper les exposants d'une même base.

Méthode — simplifier une expression avec racines carrées : utiliser $\sqrt a\times\sqrt b=\sqrt{ab}$ pour regrouper les radicaux, puis simplifier sous le radical avant d'extraire les carrés parfaits.

Exercices

Faciles

Exercice 1 — Appartenance et inclusion des ensembles

Facile 10 min

Compléter par $\in,\notin,\subset,\not\subset$ :
$15\ldots\mathbb{N}$ ; $\dfrac{2\pi}{3}\ldots\mathbb{Q}$ ; $\sqrt3\ldots\mathbb{Q}$ ; $\dfrac13\ldots\mathbb{R}$ ; $\dfrac27\ldots\mathbb{D}$ ; $-\sqrt{\dfrac{12}{3}}\ldots\mathbb{Z}$ ; $\mathbb{Z}\ldots\mathbb{D}$ ; $\mathbb{D}\ldots\mathbb{N}$ ; $\mathbb{D}\ldots\mathbb{Q}$ ; $\mathbb{N}\ldots\mathbb{R}$ ; $\mathbb{N}\ldots\mathbb{Z}^*$

$15\in\mathbb{N}$ ; $\dfrac{2\pi}3\notin\mathbb{Q}$ (car $\pi$ irrationnel) ; $\sqrt3\notin\mathbb{Q}$ ; $\dfrac13\in\mathbb{R}$ ; $\dfrac27\notin\mathbb{D}$ (écriture décimale illimitée périodique) ;

$-\sqrt{\dfrac{12}3}=-\sqrt4=-2\in\mathbb{Z}$ ;

$\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}$ ; $\mathbb{D}\not\subset\mathbb{N}$ (les décimaux incluent des négatifs et des non-entiers) ; $\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}$ ; $\mathbb{N}\subset\mathbb{R}$ ; $\mathbb{N}\not\subset\mathbb{Z}^*$ (car $0\in\mathbb{N}$ mais $0\notin\mathbb{Z}^*$).

Exercice 2 — Écriture scientifique

Facile 10 min

Donner l'écriture scientifique des nombres suivants :
$2586{,}5$ ; $-875{,}56$ ; $0{,}00095$ ; $78786{,}235\times10^{-7}$ ; $13\times10^{-5}\times0{,}0003$

$2586{,}5=2{,}5865\times10^3$.

$-875{,}56=-8{,}7556\times10^2$.

$0{,}00095=9{,}5\times10^{-4}$.

$78786{,}235\times10^{-7}=7{,}8786235\times10^4\times10^{-7}=7{,}8786235\times10^{-3}$.

$13\times10^{-5}\times0{,}0003=13\times10^{-5}\times3\times10^{-4}=39\times10^{-9}=3{,}9\times10^{-8}$.

Moyens

Exercice 1 — Calculs sur les fractions

Moyen 10 min

Calculer et simplifier :
1) $A=\dfrac25-4+\dfrac73-\dfrac4{15}$
2) $B=\left(\dfrac{\frac25+3}{1-\frac25}\right)+\left(\dfrac{\frac34-2}{1+\frac34}\right)$

1) Au dénominateur commun 15 : $A=\dfrac6{15}-\dfrac{60}{15}+\dfrac{35}{15}-\dfrac4{15}=\dfrac{6-60+35-4}{15}=-\dfrac{23}{15}$.

2) $\dfrac{\frac25+3}{1-\frac25}=\dfrac{17/5}{3/5}=\dfrac{17}3$. $\dfrac{\frac34-2}{1+\frac34}=\dfrac{-5/4}{7/4}=-\dfrac57$.
$B=\dfrac{17}3-\dfrac57=\dfrac{119}{21}-\dfrac{15}{21}=\dfrac{104}{21}$.

Exercice 2 — Simplification avec puissances

Moyen 10 min

Simplifier :
1) $A=5^3\times2^2\times100\times8\times25$
2) $B=\dfrac{2{,}4\times10^{-3}\times7{,}2\times10^5}{1{,}2\times10^4\times0{,}9\times10^{-2}}$

1) $100=2^2\times5^2$, $8=2^3$, $25=5^2$. Donc $A=5^3\times2^2\times2^2\times5^2\times2^3\times5^2=2^{2+2+3}\times5^{3+2+2}=2^7\times5^7=10^7=10\,000\,000$.

2) Numérateur : $2{,}4\times7{,}2=17{,}28$, exposant $-3+5=2$ : $17{,}28\times10^2$.
Dénominateur : $1{,}2\times0{,}9=1{,}08$, exposant $4-2=2$ : $1{,}08\times10^2$.
$B=\dfrac{17{,}28}{1{,}08}\times10^{2-2}=16$.

Exercice 3 — Calculs avec racines carrées

Moyen 10 min

1) Montrer que $\sqrt{1+\dfrac35}\times\sqrt{1-\dfrac35}\in\mathbb{Q}$.
2) Pour $(a,b)\in\mathbb{R}^+\times\mathbb{R}^+$, simplifier $E=\sqrt{a^3}\times\sqrt{ab^2}+\sqrt{(ab)^4}-\sqrt b\times\sqrt{a^4b}$.

1) $1+\dfrac35=\dfrac85$ et $1-\dfrac35=\dfrac25$. $\sqrt{\dfrac85}\times\sqrt{\dfrac25}=\sqrt{\dfrac{16}{25}}=\dfrac45\in\mathbb{Q}$.

2) $\sqrt{a^3}\times\sqrt{ab^2}=\sqrt{a^4b^2}=a^2b$. $\sqrt{(ab)^4}=(ab)^2=a^2b^2$. $\sqrt b\times\sqrt{a^4b}=\sqrt{a^4b^2}=a^2b$.
$E=a^2b+a^2b^2-a^2b=a^2b^2$.

Difficiles

Exercice 1 — Simplification d'expressions littérales avec puissances

Difficile 10 min

Simplifier :
1) $A=\dfrac{(x^2y)^{-3}\times z^2}{xy^2\times z^{-3}}$
2) $B=\dfrac{(x^2y)^{-3}\times x^3z^{-2}}{x(zy)^2\times y^{-1}}$

1) $A=\dfrac{x^{-6}y^{-3}z^2}{xy^2z^{-3}}=x^{-6-1}y^{-3-2}z^{2+3}=x^{-7}y^{-5}z^5$.

2) $B=\dfrac{x^{-6}y^{-3}\times x^3z^{-2}}{xz^2y^2\times y^{-1}}=\dfrac{x^{-3}y^{-3}z^{-2}}{xz^2y}=x^{-4}y^{-4}z^{-4}=\dfrac{1}{(xyz)^4}$.

Exercice 2 — Déterminer des exposants entiers

Difficile 10 min

Déterminer les entiers relatifs $m$ et $n$ tels que $E=2^n\times5^m$, où $E=\dfrac{6^{12}\times25^{-2}}{15^8\times18^2}$.

On décompose : $6=2\times3$, $25=5^2$, $15=3\times5$, $18=2\times3^2$.

$E=\dfrac{2^{12}\times3^{12}\times5^{-4}}{3^8\times5^8\times2^2\times3^4}=\dfrac{2^{12}\times3^{12}\times5^{-4}}{2^2\times3^{12}\times5^8}=2^{12-2}\times3^{12-12}\times5^{-4-8}=2^{10}\times5^{-12}$.

Donc $n=10$ et $m=-12$.

Quiz — Quiz — Ensembles des nombres (15 questions)

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