Fonction logarithme népérien

Ce chapitre couvre le programme de 2ème Bac sur le thème « Fonction logarithme népérien ».

Objectifs du chapitre

Comprendre les notions clés du chapitre « Fonction logarithme népérien »
Appliquer les méthodes vues en cours sur des exercices
Résoudre des problèmes concrets liés au chapitre

Fonction logarithme népérien, logarithme de base a et logarithme décimal

Définition et propriétés de la fonction $\ln$, limites usuelles, étude complète (variations, branches infinies, concavité), dérivée de $\ln(u(x))$ et primitives, fonction logarithme de base $a$ et logarithme décimal.

I. Fonction logarithme népérien

1. Définition et propriétés

Définition : la fonction logarithme népérien est la primitive de la fonction $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ sur l'intervalle $]0,+\infty[$ qui s'annule en $1$. On la note $\ln$.

Remarques :

le domaine de définition de $\ln$ est $]0,+\infty[$ et $\ln(1)=0$ ;
$\ln$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ et $\ln'(x)=\dfrac{1}{x}$ pour tout $x>0$.

Exemple : déterminer $D_f$ et $D_g$ pour $f(x)=\ln(x-3)$ et $g(x)=\ln\left(\dfrac{x+1}{x-2}\right)$.
$x \in D_f \iff x-3>0 \iff x>3$, donc $D_f=]3,+\infty[$.
$x \in D_g \iff \dfrac{x+1}{x-2}>0$ ; le tableau de signe donne $D_g=]-\infty,-1[\cup]2,+\infty[$.

Propriété (monotonie) : la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0,+\infty[$. Pour tous $x,y \in ]0,+\infty[$ :

$\ln(x) < \ln(y) \iff x < y$ et $\ln(x)=\ln(y) \iff x=y$ ;
$\ln(x)=0 \iff x=1$ ; $\ln(x)>0 \iff x>1$ ; $\ln(x)<0 \iff x<1$.

Propriétés algébriques : pour tous réels strictement positifs $a,b$ et tout $n \in \mathbb{Q}$ (ou $\mathbb{N}^*$ pour la racine $n$-ième) :

$\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$	$\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)$
$\ln\left(\dfrac{1}{a}\right)=-\ln(a)$	$\ln(a^n)=n\ln(a)$
$\ln(\sqrt{a})=\dfrac{1}{2}\ln(a)$	$\ln(\sqrt[n]{a})=\dfrac{1}{n}\ln(a)$

Le nombre $e$ : l'équation $\ln(x)=1$ admet une solution unique sur $]0,+\infty[$, notée $e$ ($e \approx 2{,}71$). Pour tout $r \in \mathbb{Q}$ : $\ln(e^r)=r$.

Exemple : résoudre $4\ln(x)=3$. Pour $x>0$ : $4\ln(x)=3 \iff \ln(x)=\dfrac34 \iff \ln(x)=\ln\left(e^{\frac34}\right) \iff x=e^{\frac34}$. $S=\left\{e^{\frac34}\right\}$.

2. Limites usuelles

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\ln x=+\infty$	$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0$	$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\dfrac{\ln x}{x^n}=0\ (n \in \mathbb{N}^*)$
$\displaystyle\lim_{x \to 0^+}\ln x=-\infty$	$\displaystyle\lim_{x \to 0^+}x\ln x=0$	$\displaystyle\lim_{x \to 0^+}x^n\ln x=0\ (n \in \mathbb{N}^*)$
$\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{\ln(x+1)}{x}=1$

Exemple : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}(\ln x - x) = \lim_{x \to +\infty}x\left(\dfrac{\ln x}{x}-1\right)=-\infty$ car $\dfrac{\ln x}{x}-1 \to -1$.

3. Étude de la fonction $x \mapsto \ln(x)$

Tableau de variations : $\ln$ est strictement croissante sur $]0,+\infty[$, de $-\infty$ (en $0^+$) à $+\infty$ (en $+\infty$), avec $\ln(1)=0$.

Branches infinies :

$\displaystyle\lim_{x \to 0^+}\ln(x)=-\infty$ : l'axe des ordonnées est asymptote verticale de $(C_{\ln})$ ;
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\ln(x)=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=0$ : $(C_{\ln})$ admet une branche parabolique de direction $(Ox)$ au voisinage de $+\infty$.

Concavité : pour tout $x>0$, $(\ln(x))''=-\dfrac{1}{x^2}<0$, donc $(C_{\ln})$ est concave.

4. Dérivée de la fonction $x \mapsto \ln(u(x))$

Propriété : si $u$ est dérivable et strictement positive sur $I$, alors $f: x \mapsto \ln(u(x))$ est dérivable sur $I$ et $f'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}$.

Si $u$ est dérivable et ne s'annule pas sur $I$, alors $f: x \mapsto \ln(|u(x)|)$ est dérivable sur $I$ et $f'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}$.

Exemple : $f(x)=\ln(\sqrt{x})$ sur $]0,+\infty[$ : $f'(x)=\dfrac{(\sqrt{x})'}{\sqrt{x}}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{x}}=\dfrac{1}{2x}$.

Corollaire (primitives) : si $u$ est dérivable et ne s'annule pas sur $I$, les primitives de $x \mapsto \dfrac{u'(x)}{u(x)}$ sur $I$ sont les fonctions $x \mapsto \ln|u(x)|+c$, $c \in \mathbb{R}$.

Exemple : primitives de $f(x)=\dfrac{x}{x^2+4}-\dfrac{1}{4x+3}$ sur $I=\left]-\dfrac34,+\infty\right[$ : $f(x)=\dfrac12\times\dfrac{(x^2+4)'}{x^2+4}-\dfrac14\times\dfrac{(4x+3)'}{4x+3}$, donc les primitives sont $x \mapsto \dfrac12\ln(x^2+4)-\dfrac14\ln(4x+3)+c$.

II. Fonction logarithme de base $a$

1. Définition et propriétés

Définition : soit $a$ un réel strictement positif et différent de $1$. La fonction logarithme de base $a$, notée $\log_a$, est définie sur $]0,+\infty[$ par $\log_a(x)=\dfrac{\ln(x)}{\ln(a)}$.

Remarques : $\log_e(x)=\ln(x)$ ; $\log_a(a)=1$ ; $\log_a(1)=0$ ; $\log_a(a^r)=r$ ($r \in \mathbb{Q}$).

Propriétés algébriques : pour tous réels strictement positifs $x,y$ et $r \in \mathbb{Q}$ :

$\log_a(xy)=\log_a(x)+\log_a(y)$
$\log_a(x^r)=r\log_a(x)$
$\log_a\left(\dfrac1x\right)=-\log_a(x)$
$\log_a\left(\dfrac{x}{y}\right)=\log_a(x)-\log_a(y)$

Exemple : $\log_{\frac12}(2^4)=4\log_{\frac12}(2)=-4\log_{\frac12}\left(\dfrac12\right)=-4$.

2. Étude de la fonction $\log_a$

Propriété : soit $a \in \mathbb{R}_+^* \setminus \{1\}$.

si $a>1$, alors $\log_a$ est strictement croissante sur $]0,+\infty[$ ;
si $0décroissante sur $]0,+\infty[$.

Preuve : $\log_a$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ et $\log_a'(x)=\dfrac{1}{x\ln(a)}$ : le signe de $\log_a'(x)$ dépend du signe de $\ln(a)$.

Conséquence : pour tous réels strictement positifs $x,y$ :

si $a>1$ : $\log_a(x)>\log_a(y) \iff x>y$ ;
si $0\log_a(y) \iff x

3. Fonction logarithme décimal

Définition : la fonction logarithme décimal est la fonction logarithme de base $10$, notée $\log$ : $\log(x)=\dfrac{\ln(x)}{\ln(10)}$ pour $x>0$.

Remarques : $\log(1)=0$ ; $\log(10)=1$ ; $\log(10^r)=r$ ($r \in \mathbb{Q}$).

Propriétés : pour $x>0$ et $r \in \mathbb{Q}$ :

$\log(x)=r \iff x=10^r$
$\log(x)>r \iff x>10^r$
$\log(x)\le r \iff 0

Application (chimie) : le pH d'une solution aqueuse est $pH=-\log([H_3O^+])$, donc $[H_3O^+]=10^{-pH}$.

Méthode à retenir

Méthode — résoudre une équation/inéquation avec $\ln$ :

déterminer le domaine de définition (arguments des $\ln$ strictement positifs) ;
utiliser la stricte croissance de $\ln$ pour se ramener à une équation/inéquation algébrique équivalente ;
résoudre, puis intersecter avec le domaine trouvé à l'étape 1.

Méthode — dérivée/primitive avec $\ln$ : repérer une expression de la forme $\dfrac{u'}{u}$ pour appliquer directement $(\ln(u))'=\dfrac{u'}{u}$ (dérivée) ou $\ln|u|+c$ (primitive).

Exercices

Faciles

Exercice 1 — Domaines de définition (I)

Facile 10 min

Déterminer le domaine de définition de :
1) $f(x)=\ln(3x+9)$
2) $g(x)=\ln(x^2-8x+7)$

1) $3x+9>0 \iff x>-3$. $D_f=]-3,+\infty[$.

2) $x^2-8x+7>0$. Discriminant $=64-28=36$, racines $x=1$ et $x=7$. Le trinôme est positif à l'extérieur des racines : $D_g=]-\infty,1[\cup]7,+\infty[$.

Exercice 2 — Équations et inéquations simples avec $\ln$

Facile 10 min

Résoudre dans $\mathbb{R}$ :
1) $\ln(x)=\ln(3)$
2) $\ln(x)>\ln(1)$

1) Domaine $x>0$. $\ln(x)=\ln(3) \iff x=3$ (par stricte croissance de $\ln$). $S=\{3\}$.

2) Domaine $x>0$. $\ln(x)>\ln(1) \iff x>1$. $S=]1,+\infty[$.

Exercice 3 — Logarithme de base $a$ et logarithme décimal

Facile 10 min

1) Simplifier $A=\log_2(8)-\log_3(27)+\log_5\left(\dfrac{1}{125}\right)$.
2) Simplifier $B=\log(1000)-\log(0{,}0001)+\log\left(\dfrac{1}{10000}\right)$.

1) $\log_2(8)=\log_2(2^3)=3$. $\log_3(27)=\log_3(3^3)=3$. $\log_5\left(\frac{1}{125}\right)=\log_5(5^{-3})=-3$.
$A=3-3+(-3)=-3$.

2) $\log(1000)=\log(10^3)=3$. $\log(0{,}0001)=\log(10^{-4})=-4$. $\log\left(\frac{1}{10000}\right)=\log(10^{-4})=-4$.
$B=3-(-4)+(-4)=3$.

Moyens

Exercice 1 — Domaine de définition (II)

Moyen 10 min

Déterminer le domaine de définition de $h(x)=\ln(x+4)-\ln(25-x^2)$.

Il faut $x+4>0$ (soit $x>-4$) et $25-x^2>0$ (soit $-5L'intersection donne $D_h=]-4,5[$.

Exercice 2 — Équations avec $\ln$ des deux côtés

Moyen 10 min

Résoudre dans $\mathbb{R}$ :
1) $\ln(x+2)=\ln(1-x)$
2) $\ln(x^2+1)=\ln(2x)$

1) Domaine : $x+2>0$ et $1-x>0 \iff -2$\ln(x+2)=\ln(1-x) \iff x+2=1-x \iff x=-\dfrac12 \in D$. $S=\left\{-\dfrac12\right\}$.

2) Domaine : $x^2+1>0$ (toujours vrai) et $2x>0 \iff x>0$, $D=]0,+\infty[$.
$x^2+1=2x \iff x^2-2x+1=0 \iff (x-1)^2=0 \iff x=1 \in D$. $S=\{1\}$.

Exercice 3 — Inéquation quadratique avec $\ln$

Moyen 10 min

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\ln(x^2-4) \le \ln(5)$.

Domaine : $x^2-4>0 \iff x<-2$ ou $x>2$, $D=]-\infty,-2[\cup]2,+\infty[$.

Par stricte croissance de $\ln$ : $x^2-4\le 5 \iff x^2\le 9 \iff -3\le x\le 3$.

En intersectant avec $D$ : $S=[-3,-2[\cup]2,3]$.

Exercice 4 — Simplification d'expressions logarithmiques

Moyen 10 min

Simplifier :
1) $A=\ln(9)+\ln(\sqrt[3]{3})-\ln(81)$
2) $B=\ln\left(\sqrt{2+\sqrt2}\right)+\ln\left(\sqrt{2-\sqrt2}\right)$

1) $\ln(9)=2\ln(3)$, $\ln(\sqrt[3]3)=\dfrac13\ln(3)$, $\ln(81)=4\ln(3)$.
$A=2\ln3+\dfrac13\ln3-4\ln3=\left(2+\dfrac13-4\right)\ln3=-\dfrac53\ln3$.

2) $B=\dfrac12\ln(2+\sqrt2)+\dfrac12\ln(2-\sqrt2)=\dfrac12\ln\big[(2+\sqrt2)(2-\sqrt2)\big]=\dfrac12\ln(4-2)=\dfrac12\ln(2)$.

Exercice 5 — Changement de variable $t=\ln(x)$

Moyen 10 min

1) Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $x^2-4x+3=0$.
2) En déduire les solutions de l'équation $(\ln(x))^2-4\ln(x)+3=0$.

1) Discriminant $=16-12=4$. $x=\dfrac{4\pm2}{2}$, soit $x=3$ ou $x=1$.

2) Domaine : $x>0$. En posant $t=\ln(x)$, l'équation devient $t^2-4t+3=0$, dont les solutions sont $t=3$ et $t=1$ d'après la question 1.
$\ln(x)=3 \iff x=e^3$ ; $\ln(x)=1 \iff x=e$. $S=\{e,e^3\}$.

Exercice 6 — Limites usuelles avec $\ln$

Moyen 10 min

Calculer les limites suivantes :
1) $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\ln x-\sqrt x\right)$
2) $\displaystyle\lim_{x\to0^+}\ln\left(\dfrac{x}{x+1}\right)$
3) $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(2\ln^2x-\ln x+1\right)$
4) $\displaystyle\lim_{x\to3}\dfrac{\ln\left(\frac x3\right)}{x-3}$

1) $\ln x-\sqrt x=\sqrt x\left(\dfrac{\ln x}{\sqrt x}-1\right)$. Comme $\dfrac{\ln x}{\sqrt x}\to 0$, le facteur $\to -1$, et $\sqrt x\to+\infty$ : la limite vaut $-\infty$.

2) Quand $x\to0^+$, $\dfrac{x}{x+1}\to 0^+$, donc $\ln\left(\dfrac{x}{x+1}\right)\to -\infty$.

3) Quand $x\to+\infty$, $\ln x\to+\infty$ donc $\ln^2x\to+\infty$ qui domine : la limite vaut $+\infty$.

4) En posant $t=x-3\to0$ : $\dfrac x3=1+\dfrac t3$, donc $\dfrac{\ln(1+t/3)}{t}=\dfrac13\times\dfrac{\ln(1+t/3)}{t/3}\to\dfrac13\times1=\dfrac13$ (limite usuelle $\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1$).

Exercice 7 — Dérivée de $\ln(u(x))$

Moyen 10 min

1) Montrer que $f(x)=\ln(x^2-x+1)$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et déterminer $f'(x)$.
2) Déterminer $f'$ dans les cas suivants :
a) $f(x)=\ln\left(\sqrt{x^2+4}\right)$
b) $f(x)=\ln(\ln x)$

1) $u(x)=x^2-x+1$ a pour discriminant $1-4=-3<0$ : $u$ est donc strictement positive sur $\mathbb{R}$ (parabole sans racine, coefficient dominant positif) et dérivable (polynôme). Donc $f=\ln(u)$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}=\dfrac{2x-1}{x^2-x+1}$.

2) a) $f(x)=\dfrac12\ln(x^2+4)$ (car $\ln(\sqrt w)=\frac12\ln w$), donc $f'(x)=\dfrac12\times\dfrac{2x}{x^2+4}=\dfrac{x}{x^2+4}$.

b) Domaine $x>1$ (il faut $\ln x>0$). $f'(x)=\dfrac{(\ln x)'}{\ln x}=\dfrac{1/x}{\ln x}=\dfrac{1}{x\ln x}$.

Exercice 8 — Primitives faisant intervenir $\ln$

Moyen 10 min

Déterminer l'ensemble des primitives de $f$ dans les cas suivants :
1) $f(x)=\dfrac{1}{x\ln(x)}$
2) $f(x)=\dfrac{x}{x+1}$
3) $f(x)=\tan(x)$

1) $f(x)=\dfrac{(\ln x)'}{\ln x}$ est de la forme $\dfrac{u'}{u}$ avec $u=\ln x$. Les primitives sont $x\mapsto\ln|\ln x|+c$.

2) $\dfrac{x}{x+1}=1-\dfrac{1}{x+1}$. Les primitives sont $x\mapsto x-\ln|x+1|+c$.

3) $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=-\dfrac{(\cos x)'}{\cos x}$. Les primitives sont $x\mapsto -\ln|\cos x|+c$.

Exercice 9 — Inéquations avec $\log_a$

Moyen 10 min

Résoudre dans $\mathbb{R}$ :
1) $\log_{\frac12}(2-x) \le \log_{\frac12}(x+4)$
2) $\log_3(2-x) \le \log_3(x+4)$

Domaine commun aux deux : $2-x>0$ et $x+4>0$, soit $D=]-4,2[$.

1) Base $a=\dfrac12<1$ : $\log_a$ est décroissante, donc l'inégalité s'inverse :
$2-x\ge x+4 \iff -2x\ge2 \iff x\le-1$.
$S=]-4,-1]$.

2) Base $a=3>1$ : $\log_a$ est croissante, l'inégalité garde le même sens :
$2-x\le x+4 \iff -2x\le2 \iff x\ge-1$.
$S=[-1,2[$.

Difficiles

Exercice 1 — Inéquation avec quotient et $\ln$

Difficile 10 min

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\ln(2x) \ge \ln\left(\dfrac{1}{x+3}\right)$.

Domaine : $2x>0$ et $\dfrac{1}{x+3}>0$, soit $x>0$ et $x>-3$, donc $D=]0,+\infty[$.

Sur $D$, $x+3>0$, donc par stricte croissance de $\ln$ :
$2x \ge \dfrac{1}{x+3} \iff 2x(x+3) \ge 1 \iff 2x^2+6x-1 \ge 0$.
Discriminant $=36+8=44$, racines $x=\dfrac{-3\pm\sqrt{11}}{2}$.
Le trinôme est positif à l'extérieur des racines. Comme $\dfrac{-3+\sqrt{11}}{2}\approx 0{,}16>0$, en intersectant avec $D$ :

$S=\left[\dfrac{-3+\sqrt{11}}{2},+\infty\right[$.

Exercice 2 — Équation se ramenant à un trinôme

Difficile 10 min

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $(E): \ln(x^2-1)+2\ln(2)=\ln(4x-1)$.

Domaine : $x^2-1>0$ (soit $x<-1$ ou $x>1$) et $4x-1>0$ (soit $x>\dfrac14$). En intersectant : $D=]1,+\infty[$.

$(E) \iff \ln(x^2-1)+\ln(4)=\ln(4x-1) \iff \ln\big(4(x^2-1)\big)=\ln(4x-1) \iff 4x^2-4=4x-1 \iff 4x^2-4x-3=0$.

Discriminant $=16+48=64$. $x=\dfrac{4\pm8}{8}$, soit $x=\dfrac32$ ou $x=-\dfrac12$.
Seul $x=\dfrac32 \in D$ convient. $S=\left\{\dfrac32\right\}$.

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