Probabilités

Ce chapitre couvre le programme de 2ème Bac sur le thème « Probabilités ».

Objectifs du chapitre

Comprendre les notions clés du chapitre « Probabilités »
Appliquer les méthodes vues en cours sur des exercices
Résoudre des problèmes concrets liés au chapitre

Calcul de probabilités

Dénombrement (principe multiplicatif, arrangements, combinaisons, types de tirage), vocabulaire des événements, probabilité et équiprobabilité, probabilité conditionnelle et indépendance, épreuves répétées, variable aléatoire (loi, espérance, variance, écart-type) et loi binomiale.

I. Dénombrement

1. Principe général du dénombrement

Définition : si une expérience nécessite $p$ choix successifs, le premier se faisant de $n_1$ manières, le second de $n_2$ manières, ..., le $p$-ième de $n_p$ manières, alors le nombre total de façons de faire tous ces choix est $n=n_1\times n_2\times\cdots\times n_p$.

Exemple : avec 3 chemises, 2 cravates et 3 pantalons, le nombre de costumes possibles (une chemise + une cravate + un pantalon) est $3\times2\times3=18$.

2. Arrangement

a) Arrangement sans répétition : pour $1\le p\le n$, un arrangement de $p$ éléments parmi $n$ est un choix ordonné de $p$ éléments distincts parmi $n$, noté $A_n^p$ :

$A_n^p=n(n-1)(n-2)\cdots(n-p+1)=\dfrac{n!}{(n-p)!}$.

Un arrangement de $n$ éléments parmi $n$ est une permutation, notée $n!=A_n^n=n\times(n-1)\times\cdots\times2\times1$.

Remarque : $A_n^0=1$ et $0!=1$ (convention) ; l'ordre est important dans tout arrangement.

b) Arrangement avec répétition : pour $1\le p\le n$, le nombre d'arrangements avec répétition de $p$ éléments parmi $n$ est $n^p$.

3. Combinaison

Définition : pour $E$ de $n$ éléments et $1\le p\le n$, une combinaison de $p$ éléments parmi $n$ est une partie de $E$ à $p$ éléments (l'ordre n'importe pas). Leur nombre est :

$C_n^p=\dfrac{A_n^p}{p!}=\dfrac{n!}{p!(n-p)!}$.

Remarques : $C_n^0=1$ ; $C_n^p=C_n^{n-p}$ ; $C_n^1=n$ ; $C_n^n=1$.

4. Types de tirage

Pour tirer $p$ éléments parmi $n$ :

Type de tirage	Ordre	Nombre de tirages
Simultané	non	$C_n^p$
Successif sans remise	oui	$A_n^p$
Successif avec remise	oui	$n^p$

Remarque (permutation avec répétition) : si $p$ objets se répartissent en $p_1$ objets de type 1, $p_2$ de type 2, $p_3$ de type 3 ($p_1+p_2+p_3=p$), le nombre de permutations est $\dfrac{p!}{p_1!\times p_2!\times p_3!}$.

II. Expériences aléatoires — probabilité d'un événement

1. Vocabulaire

Une expérience aléatoire a des résultats possibles (issues) connus sans certitude sur le résultat. Un événement est un ensemble d'issues ; un événement à une seule issue est élémentaire. L'univers $\Omega$ est l'ensemble de toutes les issues.

Pour $A,B$ événements : $\bar A$ (contraire, complémentaire dans $\Omega$), $A\cap B$ (intersection), $A\cup B$ (réunion) ; $A,B$ incompatibles si $A\cap B=\varnothing$ ; $\varnothing$ est l'événement impossible, $\Omega$ l'événement certain.

2. Probabilité d'un événement

Définition : la probabilité de $A$, notée $P(A)$, est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le constituent.

Remarque : $P(\Omega)=1$, $P(\varnothing)=0$ ; pour tout $A$ : $0\le P(A)\le1$.

Propriété : $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ ; si $A\cap B=\varnothing$, $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ ; $P(\bar A)=1-P(A)$.

3. Hypothèse d'équiprobabilité

Propriété : si tous les événements élémentaires de $\Omega$ ont la même probabilité, alors $P(A)=\dfrac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$.

III. Probabilité conditionnelle

1. Définition

Pour $A,B$ avec $P(A)\ne0$, la probabilité de $B$ sachant $A$ est : $P_A(B)=P(B/A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$.

2. Indépendance de deux événements

Définition : $A$ et $B$ sont indépendants $\iff P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$.

Propriété : si $P(A)\ne0$, $A$ et $B$ sont indépendants $\iff P_A(B)=P(B)$.

3. Épreuves répétées

Propriété : si $A$ a pour probabilité $p$ dans une épreuve répétée $n$ fois (de façon identique et indépendante), la probabilité que $A$ se produise exactement $k$ fois ($k\le n$) est $C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$.

IV. Variable aléatoire — variable aléatoire binomiale

1. Variable aléatoire

Définition : une variable aléatoire $X$ est une fonction de $\Omega$ dans $\mathbb{R}$. $X(\Omega)$ désigne l'ensemble de ses valeurs possibles. La loi de probabilité de $X$ est donnée par toutes les $P(X=x_i)$.

Définition (paramètres) : pour $X(\Omega)=\{x_1,\ldots,x_n\}$ :

Espérance : $E(X)=x_1P(X=x_1)+\cdots+x_nP(X=x_n)$ ;
Variance : $V(X)=x_1^2P(X=x_1)+\cdots+x_n^2P(X=x_n)-E(X)^2$ ;
Écart-type : $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$.

2. Loi binomiale

Si une épreuve (de probabilité de succès $p$ pour un événement $A$) est répétée $n$ fois de façon identique et indépendante, et que $X$ compte le nombre de succès, $X$ est une variable aléatoire binomiale de paramètres $n$ et $p$ :

$(\forall k\in\{0,1,\ldots,n\}): P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$, et $E(X)=np$, $V(X)=np(1-p)$.

Méthode à retenir

Méthode — choisir le bon outil de dénombrement :

si l'ordre compte et sans répétition possible ? arrangement $A_n^p$ (ou $n!$ si $p=n$) ;
si l'ordre compte avec répétition possible ? $n^p$ ;
si l'ordre ne compte pas (choix d'un groupe) ? combinaison $C_n^p$.

Méthode — probabilité conditionnelle et arbre pondéré : représenter la situation par un arbre où chaque branche porte une probabilité ; la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches ; la probabilité d'un événement final s'obtient en sommant les probabilités des chemins qui y aboutissent (formule des probabilités totales).

Méthode — reconnaître une loi binomiale : vérifier que l'expérience répète $n$ fois, de façon identique et indépendante, une épreuve à deux issues (succès de probabilité $p$ / échec de probabilité $1-p$), et que $X$ compte le nombre de succès.

Exercices

Faciles

Exercice 1 — Principe multiplicatif

Facile 10 min

Avec les chiffres $\{1,3,4,5,7,8\}$, déterminer le nombre de codes de 3 chiffres distincts deux à deux. Une personne possède 3 chemises, 2 cravates et 3 pantalons : combien de costumes (chemise + cravate + pantalon) peut-elle porter ?

Codes de 3 chiffres distincts : 1er chiffre 6 choix, 2e chiffre 5 choix restants, 3e chiffre 4 choix restants. Nombre de codes $=6\times5\times4=120$.

Costumes : $3\times2\times3=18$.

Exercice 2 — Calculs d'arrangements et de factorielles

Facile 10 min

1) Calculer $A_5^3$, $A_9^4$, $A_7^1$ et $5!$.
2) Comparer $\dfrac{7!}{(7-5)!}$ et $A_7^5$.

1) $A_5^3=5\times4\times3=60$. $A_9^4=9\times8\times7\times6=3024$. $A_7^1=7$. $5!=120$.

2) $\dfrac{7!}{(7-5)!}=\dfrac{7!}{2!}=\dfrac{5040}{2}=2520$. $A_7^5=7\times6\times5\times4\times3=2520$. Les deux valeurs sont égales, ce qui illustre la formule $A_n^p=\dfrac{n!}{(n-p)!}$.

Exercice 3 — Mots distincts et places de parking

Facile 10 min

1) Avec les lettres $A,B,C,D,E,F$, déterminer le nombre de mots de 3 lettres distinctes.
2) Un parking a 7 places numérotées de 1 à 7. De combien de façons peut-on garer : a) une voiture ? b) trois voitures ? c) sept voitures ?

1) $A_6^3=6\times5\times4=120$ mots.

2a) $A_7^1=7$ façons. 2b) $A_7^3=7\times6\times5=210$ façons. 2c) $A_7^7=7!=5040$ façons.

Exercice 4 — Combinaisons : calculs et comités

Facile 10 min

Un groupe $\{a,b,c,d\}$ forme des comités de 3 personnes. 1) Lister les comités possibles et vérifier que $\dfrac{A_4^3}{3!}$ donne le même nombre.
2) Calculer $C_5^3$, $C_4^3$ et $C_7^7$.

1) Comités : $\{a,b,c\},\{a,b,d\},\{a,c,d\},\{b,c,d\}$, soit 4 comités.
$\dfrac{A_4^3}{3!}=\dfrac{4\times3\times2}{6}=\dfrac{24}{6}=4$. Cela confirme $C_4^3=\dfrac{A_4^3}{3!}$.

2) $C_5^3=10$. $C_4^3=C_4^1=4$. $C_7^7=1$.

Exercice 5 — Vocabulaire des événements

Facile 10 min

On lance un dé dodécaédrique (faces 1 à 12). On considère $A$ : « nombre pair », $B$ : « divisible par 3 », $C$ : « multiple de 5 », $D$ : « supérieur à 13 ». Déterminer $A,B,C,D,\bar A,\bar C,A\cup B,B\cup C,A\cap B,B\cap C$.

$A=\{2,4,6,8,10,12\}$. $B=\{3,6,9,12\}$. $C=\{5,10\}$. $D=\varnothing$ (événement impossible).

$\bar A=\{1,3,5,7,9,11\}$. $\bar C=\{1,2,3,4,6,7,8,9,11,12\}$.

$A\cup B=\{2,3,4,6,8,9,10,12\}$. $B\cup C=\{3,5,6,9,10,12\}$.

$A\cap B=\{6,12\}$. $B\cap C=\varnothing$ ($B$ et $C$ sont incompatibles).

Exercice 6 — Probabilité simple avec un dé

Facile 10 min

On lance un dé cubique non truqué. Soit $A$ : « nombre pair et multiple de 3 » et $B$ : « nombre premier ». Calculer $P(A)$ et $P(B)$.

$A=\{6\}$, donc $P(A)=\dfrac16$.

$B=\{2,3,5\}$, donc $P(B)=\dfrac36=\dfrac12$.

Exercice 7 — Indépendance de deux événements

Facile 10 min

On lance un dé une fois. $A$ : « nombre pair », $B$ : « obtenir 2 ». Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

$A=\{2,4,6\}$ : $P(A)=\dfrac12$. $B=\{2\}$ : $P(B)=\dfrac16$. $A\cap B=\{2\}$ : $P(A\cap B)=\dfrac16$.

$P(A)\times P(B)=\dfrac12\times\dfrac16=\dfrac1{12}\ne\dfrac16=P(A\cap B)$.

Donc $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.

Moyens

Exercice 1 — Tirage successif sans remise et avec remise

Moyen 10 min

Une urne contient 4 boules blanches, 3 jaunes et 1 noire, indiscernables au toucher. On tire successivement trois boules. Donner le nombre de tirages possibles : 1) sans remise ; 2) avec remise.

L'urne contient $4+3+1=8$ boules.

1) Sans remise (ordre important, sans répétition) : $A_8^3=8\times7\times6=336$ tirages.

2) Avec remise (ordre important, avec répétition) : $8^3=512$ tirages.

Exercice 2 — Permutations : personnes sur des chaises

Moyen 10 min

1) De combien de façons peut-on faire asseoir 6 personnes sur une table de 12 chaises ?
2) De combien de façons peut-on faire asseoir 12 personnes sur une table de 12 chaises ?

1) $A_{12}^6=12\times11\times10\times9\times8\times7=665\,280$.

2) $12!=479\,001\,600$.

Exercice 3 — Combinaisons : composition d'un groupe d'élèves

Moyen 10 min

Une classe compte 4 filles et 6 garçons. Le professeur choisit 3 élèves pour un exposé.
1) Nombre de groupes possibles.
2) Nombre de groupes composés uniquement de garçons.
3) Nombre de groupes avec exactement 2 filles.
4) Nombre de groupes avec au moins un garçon.
5) Nombre de groupes avec au plus 3 filles.

1) $C_{10}^3=120$.

2) $C_6^3=20$.

3) $C_4^2\times C_6^1=6\times6=36$.

4) $C_{10}^3-C_4^3=120-4=116$ (on retire les groupes constitués uniquement de filles).

5) Comme un groupe de 3 personnes contient nécessairement au plus 3 filles, tous les groupes conviennent : $C_{10}^3=120$.

Exercice 4 — Tirage simultané dans une urne à deux couleurs

Moyen 10 min

Une urne contient 4 boules rouges et 3 boules vertes. On tire simultanément 3 boules.
1) Nombre de tirages possibles.
2) Nombre de tirages avec exactement une boule rouge.
3) Nombre de tirages avec au moins une boule verte.

1) $C_7^3=35$.

2) $C_4^1\times C_3^2=4\times3=12$.

3) $C_7^3-C_4^3=35-4=31$ (on retire les tirages sans aucune boule verte, c'est-à-dire 3 rouges).

Exercice 5 — Événements combinés avec deux dés

Moyen 10 min

On lance un dé cubique deux fois. On note $(a,b)$ le résultat. On considère $A$ : « deux nombres égaux », $B$ : « deux nombres pairs », $C$ : « produit égal à 12 ». Déterminer $\Omega$, $A,B,C$, $A\cap B$, $A\cup B$, $A\cap C$ et $A\cup C$.

$\Omega=\{(a,b): a,b\in\{1,\ldots,6\}\}$, $\text{card}(\Omega)=36$.

$A=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)\}$, 6 éléments.
$B=\{(a,b): a,b\in\{2,4,6\}\}$, 9 éléments.
$C=\{(2,6),(6,2),(3,4),(4,3)\}$, 4 éléments.

$A\cap B=\{(2,2),(4,4),(6,6)\}$, 3 éléments. $A\cup B$ a $6+9-3=12$ éléments.

$A\cap C=\varnothing$ (aucun couple $(a,a)$ n'a un produit $a^2=12$). $A\cup C$ a $6+4-0=10$ éléments.

Exercice 6 — Probabilité et opérations sur les événements

Moyen 10 min

On lance une pièce trois fois. $A$ : « obtenir $F$ exactement une fois », $B$ : « obtenir $P$ au maximum deux fois ». Calculer $P(A)$, $P(B)$, $P(\bar A)$, $P(\bar B)$, $P(A\cap B)$ et $P(A\cup B)$.

$\Omega$ a $2^3=8$ issues équiprobables.

$A=\{FPP,PFP,PPF\}$ : $P(A)=\dfrac38$.

$B=\overline{\{PPP\}}$ (au plus 2 $P$, c'est-à-dire pas les 3 $P$) : $P(B)=\dfrac78$.

$P(\bar A)=1-\dfrac38=\dfrac58$. $P(\bar B)=P(\{PPP\})=\dfrac18$.

Comme $A\subset B$ (avoir exactement 1 $F$ implique au plus 2 $P$) : $A\cap B=A$, donc $P(A\cap B)=\dfrac38$ ; $A\cup B=B$, donc $P(A\cup B)=\dfrac78$.

Exercice 7 — Probabilité conditionnelle : effectifs d'une classe

Moyen 10 min

Une classe de 23 élèves se répartit ainsi : 8 garçons redoublants, 3 garçons nouveaux, 7 filles redoublantes, 5 filles nouvelles. On choisit un élève au hasard. $G$ : « garçon », $F$ : « fille », $I$ : « redoublant ».
1) Calculer $P(G)$, $P(F)$, $P(I)$, $P(G\cap I)$ et $P(F\cap I)$.
2) Sachant que l'élève est un garçon, quelle est la probabilité qu'il soit redoublant ? Vérifier avec la formule $P_G(I)=\dfrac{P(G\cap I)}{P(G)}$.

1) $P(G)=\dfrac{11}{23}$, $P(F)=\dfrac{12}{23}$, $P(I)=\dfrac{15}{23}$.
$P(G\cap I)=\dfrac8{23}$ (garçons redoublants). $P(F\cap I)=\dfrac7{23}$ (filles redoublantes).

2) Directement : $P_G(I)=\dfrac{8}{11}$ (8 garçons redoublants parmi 11 garçons).
Vérification : $\dfrac{P(G\cap I)}{P(G)}=\dfrac{8/23}{11/23}=\dfrac8{11}$. ?

De même, $P_F(I)=\dfrac{7}{12}$, $P_I(F)=\dfrac{7}{15}$ et $P_I(G)=\dfrac{8}{15}$.

Exercice 8 — Arbre de probabilité : gobelets cassés

Moyen 10 min

La probabilité de casser le 1er gobelet est $\dfrac27$. Si le 1er est cassé, celle de casser le 2e est $\dfrac15$ ; sinon, elle est $\dfrac37$. $A$ : « casser le 1er », $B$ : « casser le 2e ».
1) Calculer $P(A\cap B)$.
2) Calculer $P(B)$.
3) Calculer $P(\bar B|\bar A)$.

1) $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)=\dfrac27\times\dfrac15=\dfrac2{35}$.

2) $P(B)=P(A\cap B)+P(\bar A\cap B)=\dfrac2{35}+\dfrac57\times\dfrac37=\dfrac2{35}+\dfrac{15}{49}$. En réduisant au dénominateur commun 245 : $\dfrac{14}{245}+\dfrac{75}{245}=\dfrac{89}{245}$.

3) $P(\bar B|\bar A)=\dfrac47$ (donnée directement dans l'énoncé : si le 1er reste intact, la probabilité que le 2e casse est $\frac37$, donc qu'il reste intact est $1-\frac37=\frac47$).

Exercice 9 — Arbre de probabilité : choix d'un sac

Moyen 10 min

Le sac $u_1$ contient 4 boules blanches et 1 noire ; le sac $u_2$ contient 2 blanches et 3 noires. On choisit un sac au hasard puis on y tire une boule.
1) Calculer la probabilité de choisir $u_1$ et de tirer une noire.
2) Calculer $P(\text{noire})$.
3) En déduire $P(\text{blanche})$.
4) La boule tirée est noire ; quelle est la probabilité qu'elle vienne de $u_1$ ?

1) $P(u_1\cap N)=P(u_1)\times P_{u_1}(N)=\dfrac12\times\dfrac15=\dfrac1{10}$.

2) $P(N)=P(u_1\cap N)+P(u_2\cap N)=\dfrac1{10}+\dfrac12\times\dfrac35=\dfrac1{10}+\dfrac3{10}=\dfrac25$.

3) $P(\text{blanche})=1-\dfrac25=\dfrac35$.

4) $P(u_1|N)=\dfrac{P(u_1\cap N)}{P(N)}=\dfrac{1/10}{2/5}=\dfrac14$.

Exercice 10 — Indépendance : sac de boules numérotées

Moyen 10 min

Un sac contient 9 boules : 2 blanches (numéro 1), 3 rouges (numéros $1,1,2$), 4 noires (numéros $1,1,2,2$). On tire simultanément 3 boules. $A$ : « 3 couleurs différentes », $B$ : « 3 boules portant le même numéro ». Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

Total : $C_9^3=84$.

$P(A)=\dfrac{C_2^1C_3^1C_4^1}{84}=\dfrac{24}{84}=\dfrac27$.

Nombre de "1" : $2+2+2=6$ ; nombre de "2" : $0+1+2=3$. $P(B)=\dfrac{C_6^3+C_3^3}{84}=\dfrac{20+1}{84}=\dfrac{21}{84}=\dfrac14$.

$A\cap B$ : 1 de chaque couleur, même numéro. Numéro 1 (blanc, rouge, noir tous disponibles en "1") : $2\times2\times2=8$. Numéro 2 : aucune boule blanche porte 2, donc $0$. $|A\cap B|=8$, $P(A\cap B)=\dfrac8{84}=\dfrac2{21}$.

$P(A)\times P(B)=\dfrac27\times\dfrac14=\dfrac1{14}=\dfrac6{84}\ne\dfrac8{84}=P(A\cap B)$.

Donc $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.

Exercice 11 — Épreuves répétées : loi binomiale appliquée

Moyen 10 min

La probabilité qu'un tireur touche la cible est $\dfrac23$. Il tire 10 fois. Quelle est la probabilité d'atteindre la cible exactement 6 fois ?

Il s'agit d'une épreuve répétée $n=10$ fois avec $p=\dfrac23$ et $k=6$.

$P(X=6)=C_{10}^6\left(\dfrac23\right)^6\left(\dfrac13\right)^4=210\times\dfrac{64}{729}\times\dfrac1{81}=\dfrac{13\,440}{59\,049}=\dfrac{4480}{19\,683}\approx0{,}228$.

Exercice 12 — Loi de probabilité d'une variable aléatoire (pièce)

Moyen 10 min

On lance une pièce 3 fois. $X$ compte le nombre de fois où $F$ apparaît. Déterminer $X(\Omega)$ et la loi de probabilité de $X$.

$\Omega$ a 8 issues équiprobables. $X(\Omega)=\{0,1,2,3\}$.

$P(X=0)=P(\{PPP\})=\dfrac18$.
$P(X=1)=P(\{FPP,PFP,PPF\})=\dfrac38$.
$P(X=2)=P(\{FFP,FPF,PFF\})=\dfrac38$.
$P(X=3)=P(\{FFF\})=\dfrac18$.

On vérifie que la somme des probabilités vaut $1$.

Exercice 13 — Variable aléatoire : gain algébrique

Moyen 10 min

Une urne contient 6 jetons numérotés de 1 à 6. Si le numéro est pair, le joueur gagne 5Dh ; s'il tire le 1, il gagne 40Dh ; sinon il perd 15Dh. Soit $X$ le gain algébrique. Déterminer $X(\Omega)$ et sa loi de probabilité.

$X(\Omega)=\{5,40,-15\}$.

$P(X=5)=P(\{2,4,6\})=\dfrac36=\dfrac12$.
$P(X=40)=P(\{1\})=\dfrac16$.
$P(X=-15)=P(\{3,5\})=\dfrac26=\dfrac13$.

Exercice 14 — Variable aléatoire : tirage sans remise

Moyen 10 min

Un sachet contient 6 boules blanches et 2 noires. On tire successivement et sans remise 2 boules. $X$ compte le nombre de boules blanches tirées. Déterminer $X(\Omega)$ et sa loi de probabilité.

$X(\Omega)=\{0,1,2\}$. En raisonnant avec les combinaisons ($C_8^2=28$) :

$P(X=0)=\dfrac{C_2^2}{C_8^2}=\dfrac1{28}$.
$P(X=1)=\dfrac{C_6^1C_2^1}{C_8^2}=\dfrac{12}{28}=\dfrac37$.
$P(X=2)=\dfrac{C_6^2}{C_8^2}=\dfrac{15}{28}$.

Vérification : $\dfrac1{28}+\dfrac{12}{28}+\dfrac{15}{28}=1$.

Exercice 15 — Loi binomiale : pièce lancée 5 fois

Moyen 10 min

On lance une pièce 5 fois. $X$ compte le nombre de fois où $F$ apparaît. Reconnaître les paramètres de la loi binomiale, donner $X(\Omega)$, calculer $E(X)$, $V(X)$ et $\sigma(X)$.

$X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=P(F)=\dfrac12$. $X(\Omega)=\{0,1,2,3,4,5\}$.

$P(X=k)=C_5^k\left(\dfrac12\right)^5=\dfrac{C_5^k}{32}$ : $P(X=0)=\dfrac1{32}$, $P(X=1)=\dfrac5{32}$, $P(X=2)=\dfrac{10}{32}$, $P(X=3)=\dfrac{10}{32}$, $P(X=4)=\dfrac5{32}$, $P(X=5)=\dfrac1{32}$.

$E(X)=np=5\times\dfrac12=\dfrac52$. $V(X)=np(1-p)=5\times\dfrac12\times\dfrac12=\dfrac54$. $\sigma(X)=\sqrt{\dfrac54}=\dfrac{\sqrt5}2$.

Exercice 16 — Loi binomiale : diviseurs de 3 avec un dé

Moyen 10 min

On lance un dé une fois. $A$ : « obtenir un diviseur de 3 ». 1) Calculer $P(A)$. 2) On répète l'épreuve 3 fois ; soit $X$ le nombre de réalisations de $A$. Déterminer la loi de probabilité de $X$.

1) $A=\{1,3\}$, donc $P(A)=\dfrac26=\dfrac13$.

2) $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=3$, $p=\dfrac13$ :

$P(X=0)=\left(\dfrac23\right)^3=\dfrac{8}{27}$.
$P(X=1)=C_3^1\times\dfrac13\times\left(\dfrac23\right)^2=\dfrac{12}{27}=\dfrac49$.
$P(X=2)=C_3^2\times\left(\dfrac13\right)^2\times\dfrac23=\dfrac6{27}=\dfrac29$.
$P(X=3)=\left(\dfrac13\right)^3=\dfrac1{27}$.

Difficiles

Exercice 1 — Tirage successif sans remise dans une urne à trois couleurs

Difficile 10 min

Une urne contient 6 jetons verts, 5 rouges et 3 bleus. On tire successivement et sans remise 4 jetons.
1) Nombre de tirages possibles.
2) Nombre de tirages où les 3 premiers jetons sont verts.
3) Nombre de tirages où le premier jeton est vert.
4) Nombre de tirages avec exactement un jeton vert.
5) Nombre de tirages avec au moins un jeton vert.

L'urne contient $6+5+3=14$ jetons.

1) $A_{14}^4=14\times13\times12\times11=24\,024$.

2) 3 premiers verts (ordonnés) puis 1 quelconque parmi les 11 restants : $6\times5\times4\times11=1320$.

3) 1er vert (6 choix) puis 3 quelconques ordonnés parmi les 13 restants : $6\times13\times12\times11=10\,296$.

4) Choisir la position du jeton vert (4 positions) $\times$ choisir le jeton vert (6) $\times$ ordonner 3 jetons non-verts parmi les 8 restants ($A_8^3=336$) : $4\times6\times336=8064$.

5) Total $-$ aucun jeton vert : $A_{14}^4-A_8^4=24\,024-1680=22\,344$.

Exercice 2 — Équiprobabilité : sac de boules de trois couleurs

Difficile 10 min

Un sac contient 4 boules rouges, 3 vertes et 2 blanches. On tire simultanément 3 boules.
1) Nombre de résultats possibles.
2) Calculer $P(A)$ : « 3 rouges », $P(B)$ : « 3 même couleur », $P(C)$ : « 3 couleurs distinctes », $P(D)$ : « exactement 1 rouge », $P(E)$ : « au moins 1 blanche », $P(E\cap D)$ et $P(E\cup D)$.

1) $C_9^3=84$.

2) $P(A)=\dfrac{C_4^3}{84}=\dfrac4{84}=\dfrac1{21}$.
$P(B)=\dfrac{C_4^3+C_3^3}{84}=\dfrac{4+1}{84}=\dfrac5{84}$ (2 blanches seulement, donc pas de terme pour le blanc).
$P(C)=\dfrac{C_4^1C_3^1C_2^1}{84}=\dfrac{24}{84}=\dfrac27$.
$P(D)=\dfrac{C_4^1C_5^2}{84}=\dfrac{4\times10}{84}=\dfrac{40}{84}=\dfrac{10}{21}$.
$P(E)=1-\dfrac{C_7^3}{84}=1-\dfrac{35}{84}=\dfrac{49}{84}=\dfrac7{12}$.

$E\cap D$ : 1 rouge et au moins 1 blanche parmi les 2 autres boules (parmi 3 vertes + 2 blanches) : $C_4^1\times\big(C_5^2-C_3^2\big)=4\times(10-3)=28$. $P(E\cap D)=\dfrac{28}{84}=\dfrac13$.
$P(E\cup D)=P(D)+P(E)-P(E\cap D)=\dfrac{40}{84}+\dfrac{49}{84}-\dfrac{28}{84}=\dfrac{61}{84}$.

Exercice 3 — Probabilité conditionnelle : boules numérotées de trois couleurs

Difficile 10 min

Un sac contient 11 boules : 5 blanches numérotées $1,1,1,0,0$ ; 4 rouges numérotées $1,1,0,0$ ; 2 vertes numérotées $1,0$. On tire 3 boules au hasard.
1) Calculer $P(A)$ : « 3 boules de même couleur », $P(B)$ : « 3 boules portant le même numéro », $P(C)$ : « 1 boule de chaque couleur ».
2) Sachant que les 3 boules ont la même couleur, quelle est la probabilité qu'elles portent le même numéro ?
3) Sachant qu'elles portent le même numéro, quelle est la probabilité qu'elles soient de couleurs différentes deux à deux ?

Total : $C_{11}^3=165$.

1) $A$ (même couleur) : $C_5^3+C_4^3+C_2^3=10+4+0=14$. $P(A)=\dfrac{14}{165}$.
$B$ (même numéro) : il y a $3+2+1=6$ boules numérotées 1 et $2+2+1=5$ numérotées 0. $B$ : $C_6^3+C_5^3=20+10=30$. $P(B)=\dfrac{30}{165}=\dfrac{2}{11}$.
$C$ (1 de chaque couleur) : $C_5^1\times C_4^1\times C_2^1=5\times4\times2=40$. $P(C)=\dfrac{40}{165}=\dfrac{8}{33}$.

2) $A\cap B$ : même couleur et même numéro. Seules les 3 blanches numérotées 1 conviennent (les autres couleurs n'ont pas assez de boules d'un même numéro) : $|A\cap B|=1$.
$P(B|A)=\dfrac{1/165}{14/165}=\dfrac1{14}$.

3) $B\cap C$ : même numéro et 1 de chaque couleur. Numéro 1 : $3\times2\times1=6$. Numéro 0 : $2\times2\times1=4$. Total $=10$.
$P(C|B)=\dfrac{10/165}{30/165}=\dfrac13$.

Exercice 4 — Espérance, variance et écart-type

Difficile 10 min

Soit $X$ de loi de probabilité : $P(X=-1)=\dfrac12$, $P(X=1)=\dfrac14$, $P(X=2)=\dfrac14$. Calculer $E(X)$, $V(X)$ et $\sigma(X)$.

$E(X)=(-1)\times\dfrac12+1\times\dfrac14+2\times\dfrac14=-\dfrac12+\dfrac14+\dfrac12=\dfrac14$.

$V(X)=(-1)^2\times\dfrac12+1^2\times\dfrac14+2^2\times\dfrac14-E(X)^2=\dfrac12+\dfrac14+1-\dfrac1{16}=\dfrac74-\dfrac1{16}=\dfrac{28}{16}-\dfrac1{16}=\dfrac{27}{16}$.

$\sigma(X)=\sqrt{\dfrac{27}{16}}=\dfrac{3\sqrt3}4$.

Exercice 5 — Exercice type examen — urne à trois couleurs (Rattrapage 2022)

Difficile 10 min

Une urne contient 3 boules blanches, 4 rouges et 5 vertes. On tire simultanément 3 boules.
1) Montrer que $P(A)=\dfrac{12}{55}$ où $A$ : « exactement 2 rouges », et $P(B)=\dfrac{21}{44}$ où $B$ : « exactement 1 verte ». Calculer $P(A/B)$ ; $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?
2) Soit $X$ le nombre de boules vertes tirées. Donner la loi de $X$ et calculer $P(X\ge2)$.

Total : $C_{12}^3=220$.

1) $P(A)=\dfrac{C_4^2C_8^1}{220}=\dfrac{6\times8}{220}=\dfrac{48}{220}=\dfrac{12}{55}$. ?
$P(B)=\dfrac{C_5^1C_7^2}{220}=\dfrac{5\times21}{220}=\dfrac{105}{220}=\dfrac{21}{44}$. ?

$A\cap B$ (2 rouges et 1 verte) : $C_4^2C_5^1=6\times5=30$. $P(A\cap B)=\dfrac{30}{220}=\dfrac3{22}$.
$P(A/B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{30/220}{105/220}=\dfrac{30}{105}=\dfrac27$.
Comme $\dfrac27\ne P(A)=\dfrac{12}{55}$, les événements $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.

2) $X(\Omega)=\{0,1,2,3\}$ : $P(X=0)=\dfrac{C_7^3}{220}=\dfrac{35}{220}=\dfrac7{44}$ ; $P(X=1)=\dfrac{21}{44}$ ; $P(X=2)=\dfrac{C_5^2C_7^1}{220}=\dfrac{70}{220}=\dfrac7{22}$ ; $P(X=3)=\dfrac{C_5^3}{220}=\dfrac{10}{220}=\dfrac1{22}$.

$P(X\ge2)=P(X=2)+P(X=3)=\dfrac7{22}+\dfrac1{22}=\dfrac8{22}=\dfrac4{11}$.

Quiz — Quiz — Calcul de probabilités (20 questions)

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