Équations différentielles

Équations différentielles du premier ordre ($y'=ay$, $y'=ay+b$) et du second ordre ($y''+ay'+by=0$) : résolution, équation caractéristique, discriminant, conditions initiales.

Équations différentielles

Résolution des équations différentielles du premier ordre $y'=ay$ et $y'=ay+b$, et du second ordre $y''+ay'+by=0$ selon le signe du discriminant de l'équation caractéristique.

Définition : toute équation où l'inconnue est une fonction, et qui se présente sous la forme d'une relation entre cette fonction et ses dérivées, est appelée équation différentielle.

Activité : soit $f(x)=2e^{-4x}$. En posant $y=f(x)$, $y'=f'(x)$, $y''=f''(x)$, on vérifie que $y''+3y'-4y=0$ : $f$ est donc une solution de cette équation différentielle.

I. Équations différentielles du premier ordre

1. L'équation différentielle $y'=ay$ $(a \in \mathbb{R}^*)$

Propriété : soit $a$ un nombre réel non nul. Les solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $y'=ay$ sont les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par : $y=ke^{ax}$ où $k$ est un nombre réel quelconque.

Remarque (unicité) : pour tout $(x_0,y_0) \in \mathbb{R}^2$, il existe une unique solution $y$ de l'équation différentielle $y'=ay$ vérifiant la condition $y(x_0)=y_0$.

Exemple : les solutions de $(E): y'+2y=0$, c'est-à-dire $y'=-2y$, sont $y(x)=ke^{-2x}$.
Si $f$ est la solution de $(E)$ vérifiant $y(0)=3$, alors $ke^0=3 \iff k=3$, donc $y(x)=3e^{-2x}$.

2. L'équation différentielle $y'=ay+b$

Propriété : soient $a$ et $b$ deux nombres réels tels que $a \neq 0$. Les solutions de l'équation différentielle $y'=ay+b$ sont les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par : $y=ke^{ax}-\dfrac{b}{a}$ où $k$ est un réel quelconque.

II. Équation différentielle du second ordre : $y''+ay'+by=0$

Définition : soient $a$ et $b$ deux nombres réels. L'équation $r^2+ar+b=0$, où $r$ est l'inconnue, s'appelle l'équation caractéristique de l'équation différentielle $y''+ay'+by=0$.

Soit $\Delta=a^2-4b$ le discriminant de l'équation caractéristique $(E): r^2+ar+b=0$.

Signe de $\Delta$	Racines de $(E)$	Solutions générales de $y''+ay'+by=0$
$\Delta > 0$	deux racines réelles $r_1$ et $r_2$	$y(x)=\alpha e^{r_1x}+\beta e^{r_2x}$, $(\alpha,\beta) \in \mathbb{R}^2$
$\Delta = 0$	une racine double $r_0$	$y(x)=(\alpha+\beta x)e^{r_0x}$, $(\alpha,\beta) \in \mathbb{R}^2$
$\Delta < 0$	deux racines complexes $r_1=p+iq$ et $r_2=\bar{r_1}$	$y(x)=e^{px}\left(\alpha\cos(qx)+\beta\sin(qx)\right)$, $(\alpha,\beta) \in \mathbb{R}^2$

Cas particulier

L'équation $y''+\omega^2y=0$ est un cas particulier de $(E): y''+ay'+by=0$ (avec $a=0$, $b=\omega^2$, donc $\Delta=-4\omega^2<0$) :

la solution générale de $y''+\omega^2y=0$ est $y(x)=\alpha\cos(\omega x)+\beta\sin(\omega x)$ où $(\alpha,\beta) \in \mathbb{R}^2$ ;
la solution générale de $y''-\omega^2y=0$ est $y(x)=\alpha e^{-\omega x}+\beta e^{\omega x}$ où $(\alpha,\beta) \in \mathbb{R}^2$.

Méthode à retenir

Méthode — résoudre une équation différentielle du second ordre $y''+ay'+by=0$ :

écrire l'équation caractéristique $r^2+ar+b=0$ ;
calculer le discriminant $\Delta=a^2-4b$ ;
selon le signe de $\Delta$, appliquer la forme de solution correspondante (racines réelles distinctes, racine double, ou racines complexes) ;
si des conditions initiales $y(x_0)=y_0$ et $y'(x_0)=y_1$ sont données, les substituer dans $y(x)$ et $y'(x)$ pour déterminer $\alpha$ et $\beta$ (ou $k$ pour le premier ordre).

Exercices

Faciles

Exercice 1 — Résoudre des équations $y'=ay$

Facile 10 min

Résoudre sur $\mathbb{R}$ les équations différentielles suivantes :
1) $y'=3y$
2) $y'+5y=0$

1) $y'=3y$ est de la forme $y'=ay$ avec $a=3$ : les solutions sont $y(x)=ke^{3x}$, $k \in \mathbb{R}$.

2) $y'+5y=0 \iff y'=-5y$, forme $y'=ay$ avec $a=-5$ : les solutions sont $y(x)=ke^{-5x}$, $k \in \mathbb{R}$.

Exercice 2 — Équation $y'=ay$ avec condition initiale

Facile 10 min

Soit $(E): 3y'-2y=0$.
1) Résoudre l'équation $(E)$.
2) Déterminer la solution de $(E)$ qui vérifie $y(3)=-1$.

1) $(E) \iff y'=\dfrac23y$, forme $y'=ay$ avec $a=\dfrac23$ : les solutions sont $y(x)=ke^{\frac23x}$, $k \in \mathbb{R}$.

2) $y(3)=-1 \iff ke^{2}=-1 \iff k=-e^{-2}$.
Donc $y(x)=-e^{-2}e^{\frac23x}=-e^{\frac23x-2}$.

Exercice 3 — Équation $y'=ay+b$ passant par un point

Facile 10 min

Soit $(E): y'+2y-4=0$.
1) Résoudre l'équation différentielle $(E)$.
2) Déterminer la solution de $(E)$ dont la courbe passe par le point $A(-\ln(2),6)$.

1) $(E) \iff y'=-2y+4$, forme $y'=ay+b$ avec $a=-2$, $b=4$ : les solutions sont $y(x)=ke^{-2x}-\dfrac{4}{-2}=ke^{-2x}+2$, $k \in \mathbb{R}$.

2) $y(-\ln 2)=6 \iff ke^{-2(-\ln 2)}+2=6 \iff ke^{2\ln 2}+2=6 \iff 4k=4 \iff k=1$.
Donc $y(x)=e^{-2x}+2$.

Moyens

Exercice 1 — Second ordre : les trois cas du discriminant

Moyen 10 min

Résoudre sur $\mathbb{R}$ les équations différentielles suivantes :
$(E_1): y''-3y'+2y=0$
$(E_2): y''+4y'+4y=0$
$(E_3): y''-4y'+13y=0$
$(E_4): y''+16y=0$
$(E_5): y''-9y=0$

$(E_1)$ : équation caractéristique $r^2-3r+2=0=(r-1)(r-2)$, $\Delta=9-8=1>0$, racines $r_1=1$, $r_2=2$.
Solutions : $y(x)=\alpha e^{x}+\beta e^{2x}$.

$(E_2)$ : $r^2+4r+4=0=(r+2)^2$, $\Delta=16-16=0$, racine double $r_0=-2$.
Solutions : $y(x)=(\alpha+\beta x)e^{-2x}$.

$(E_3)$ : $r^2-4r+13=0$, $\Delta=16-52=-36<0$, $r=\dfrac{4\pm 6i}{2}=2\pm 3i$.
Solutions : $y(x)=e^{2x}\left(\alpha\cos(3x)+\beta\sin(3x)\right)$.

$(E_4)$ : forme $y''+\omega^2y=0$ avec $\omega=4$.
Solutions : $y(x)=\alpha\cos(4x)+\beta\sin(4x)$.

$(E_5)$ : forme $y''-\omega^2y=0$ avec $\omega=3$.
Solutions : $y(x)=\alpha e^{-3x}+\beta e^{3x}$.

Exercice 2 — Second ordre, racines réelles distinctes, avec conditions initiales

Moyen 10 min

Soit $(E'): y''-5y'+6y=0$.
1) Résoudre l'équation différentielle $(E')$.
2) Déterminer la solution $g$ de $(E')$ vérifiant les conditions initiales $g(0)=1$ et $g'(0)=2$.

1) Équation caractéristique : $r^2-5r+6=0=(r-2)(r-3)$, $\Delta=25-24=1>0$, racines $r_1=2$, $r_2=3$.
Solutions : $y(x)=\alpha e^{2x}+\beta e^{3x}$.

2) $g(x)=\alpha e^{2x}+\beta e^{3x}$, $g'(x)=2\alpha e^{2x}+3\beta e^{3x}$.
$g(0)=1 \iff \alpha+\beta=1$.
$g'(0)=2 \iff 2\alpha+3\beta=2$.
En substituant $\alpha=1-\beta$ : $2(1-\beta)+3\beta=2 \iff 2+\beta=2 \iff \beta=0$, donc $\alpha=1$.
$g(x)=e^{2x}$.

Exercice 3 — Cas particulier $y''+\omega^2y=0$ avec conditions initiales

Moyen 10 min

Soit $(E''): y''+4y=0$.
1) Résoudre l'équation $(E'')$.
2) Déterminer la solution $g$ de $(E'')$ vérifiant les conditions initiales $g\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1$ et $g'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=2$.

1) Forme $y''+\omega^2y=0$ avec $\omega=2$ : les solutions sont $y(x)=\alpha\cos(2x)+\beta\sin(2x)$.

2) $g'(x)=-2\alpha\sin(2x)+2\beta\cos(2x)$.
$g\left(\frac{\pi}{2}\right)=\alpha\cos(\pi)+\beta\sin(\pi)=-\alpha=1 \Rightarrow \alpha=-1$.
$g'\left(\frac{\pi}{2}\right)=-2\alpha\sin(\pi)+2\beta\cos(\pi)=-2\beta=2 \Rightarrow \beta=-1$.
$g(x)=-\cos(2x)-\sin(2x)$.

Exercice 4 — Second ordre, racine double

Moyen 10 min

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $(E'): -4y''+4y'-y=0$.

On divise par $-4$ : $y''-y'+\dfrac14y=0$.
Équation caractéristique : $r^2-r+\dfrac14=0$, $\Delta=1-1=0$ : racine double $r_0=\dfrac12$.
Solutions : $y(x)=(\alpha+\beta x)e^{\frac12x}$, $(\alpha,\beta) \in \mathbb{R}^2$.

Exercice 5 — Second ordre, racines complexes

Moyen 10 min

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $(E''): y''+y'+y=0$.

Équation caractéristique : $r^2+r+1=0$, $\Delta=1-4=-3<0$.
$r=\dfrac{-1\pm i\sqrt3}{2}$, soit $p=-\dfrac12$, $q=\dfrac{\sqrt3}{2}$.
Solutions : $y(x)=e^{-\frac12x}\left(\alpha\cos\left(\dfrac{\sqrt3}{2}x\right)+\beta\sin\left(\dfrac{\sqrt3}{2}x\right)\right)$, $(\alpha,\beta) \in \mathbb{R}^2$.

Difficiles

Exercice 1 — Second ordre, racines réelles distinctes (signe négatif), avec conditions initiales

Difficile 10 min

Soit $(E): y''+2y'-3y=0$. Déterminer la solution $g$ de $(E)$ vérifiant les conditions initiales $g(0)=3$ et $g'(0)=2$.

Équation caractéristique : $r^2+2r-3=0=(r+3)(r-1)$, $\Delta=4+12=16>0$, racines $r_1=-3$, $r_2=1$.
Solution générale : $y(x)=\alpha e^{-3x}+\beta e^{x}$.

$g'(x)=-3\alpha e^{-3x}+\beta e^{x}$.
$g(0)=3 \iff \alpha+\beta=3$.
$g'(0)=2 \iff -3\alpha+\beta=2$.
En soustrayant : $(\alpha+\beta)-(-3\alpha+\beta)=3-2 \iff 4\alpha=1 \iff \alpha=\dfrac14$, donc $\beta=3-\dfrac14=\dfrac{11}{4}$.
$g(x)=\dfrac14e^{-3x}+\dfrac{11}{4}e^{x}$.

Exercice 2 — Second ordre, racines complexes, avec conditions initiales

Difficile 10 min

Soit $(E'''): 4y''+12y'+25y=0$. Déterminer la solution $f$ de $(E''')$ vérifiant les conditions initiales $f(0)=-2$ et $f'(0)=1$.

Équation caractéristique : $4r^2+12r+25=0$, $\Delta=144-400=-256<0$.
$r=\dfrac{-12\pm 16i}{8}=-\dfrac32\pm 2i$, soit $p=-\dfrac32$, $q=2$.
Solution générale : $y(x)=e^{-\frac32x}\left(\alpha\cos(2x)+\beta\sin(2x)\right)$.

$f(0)=\alpha=-2$.
$f'(x)=-\dfrac32e^{-\frac32x}\left(\alpha\cos(2x)+\beta\sin(2x)\right)+e^{-\frac32x}\left(-2\alpha\sin(2x)+2\beta\cos(2x)\right)$.
$f'(0)=-\dfrac32\alpha+2\beta=1$. Avec $\alpha=-2$ : $3+2\beta=1 \iff \beta=-1$.
$f(x)=e^{-\frac32x}\left(-2\cos(2x)-\sin(2x)\right)$.

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