Les nombres complexes

L'ensemble ?, opérations, représentation géométrique, conjugué, module, argument, formes trigonométrique et exponentielle, transformations usuelles (translation, homothétie, rotation), formules de Moivre et d'Euler, équations du second degré dans ?.

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Les nombres complexes

L'ensemble ? et l'écriture algébrique, opérations, représentation géométrique, conjugué, module, argument, formes trigonométrique et exponentielle, transformations usuelles, formules de Moivre et d'Euler, équations du second degré dans ?, et rotation.

I. L'ensemble des nombres complexes

Théorème : il existe un ensemble noté $\mathbb{C}$, appelé ensemble des nombres complexes, qui contient $\mathbb{R}$ et vérifie :

$\mathbb{C}$ contient un élément irréel $i$ tel que $i^2=-1$ ;
tout élément $z$ de $\mathbb{C}$ s'écrit de façon unique $z=a+ib$ où $a,b \in \mathbb{R}$.

Vocabulaire : $z=a+ib$ est l'écriture algébrique de $z$ ; $a=\text{Re}(z)$ est la partie réelle ; $b=\text{Im}(z)$ est la partie imaginaire ; si $a=0$, $z=ib$ est un imaginaire pur (ensemble noté $i\mathbb{R}$).

Égalité de deux complexes : $a+ib=a'+ib' \iff a=a'$ et $b=b'$. En particulier $a+ib=0 \iff a=0$ et $b=0$.

Opérations : pour $z=a+ib$, $z'=a'+ib'$ :

$z+z'=(a+a')+i(b+b')$ ;
$z\times z'=(aa'-bb')+i(ab'+a'b)$ ;
$\dfrac1z=\dfrac{a-ib}{a^2+b^2}$ (pour $z\ne0$).

Remarque : $z\in\mathbb{R} \iff \text{Im}(z)=0$ et $z\in i\mathbb{R} \iff \text{Re}(z)=0$.

II. Représentation géométrique d'un nombre complexe

Le plan $(\mathcal{P})$ est muni d'un repère orthonormé direct $(O,\vec e_1,\vec e_2)$.

à tout $z=x+iy$ on associe un unique point $M(x,y)$, l'image de $z$, noté $M(z)$ ;
à tout point $M(x,y)$ correspond $z=x+iy$, l'affixe de $M$, noté $z=\text{aff}(M)$ ;
le vecteur $\vec u(x,y)$ a pour affixe $z=x+iy=\text{aff}(\vec u)$.

Propriété : pour $A(z_A)$, $B(z_B)$ : $z_{\vec{AB}}=z_B-z_A$, et l'affixe du milieu $I$ de $[AB]$ est $\dfrac{z_A+z_B}{2}$.

Colinéarité : $A,B,C$ sont alignés $\iff \dfrac{z_B-z_A}{z_C-z_A}\in\mathbb{R}$.

Cocyclicité : $A,B,C,D$ (non alignés, deux à deux distincts) sont cocycliques $\iff \dfrac{z_A-z_B}{z_C-z_B}\times\dfrac{z_C-z_D}{z_A-z_D}\in\mathbb{R}$.

III. Conjugué d'un nombre complexe

Définition : pour $z=a+ib$, le conjugué est $\bar z=a-ib$.

Interprétation géométrique : $M(\bar z)$ est le symétrique de $M(z)$ par rapport à l'axe réel.

Propriétés : $\overline{z+z'}=\bar z+\bar z'$ ; $\overline{z\times z'}=\bar z\times\bar z'$ ; $\overline{\left(\frac{z}{z'}\right)}=\dfrac{\bar z}{\bar z'}$ ($z'\ne0$) ; $\overline{z^n}=(\bar z)^n$.

Propriété : $z+\bar z=2\text{Re}(z)$ ; $z-\bar z=2i\,\text{Im}(z)$ ; $z\in\mathbb{R}\iff\bar z=z$ ; $z\in i\mathbb{R}\iff\bar z=-z$.

IV. Module d'un nombre complexe

Définition : pour $z=x+iy$, $|z|=\sqrt{z\bar z}=\sqrt{x^2+y^2}$.

Propriétés : $|z|=|-z|=|\bar z|$ ; $|zz'|=|z||z'|$ ; $|z+z'|\le|z|+|z'|$ ; $\left|\dfrac{z}{z'}\right|=\dfrac{|z|}{|z'|}$ ; $|z^n|=|z|^n$.

Interprétation géométrique : $OM=|z|$ ; pour $A(z_A),B(z_B)$ : $AB=|z_B-z_A|$.

Ensembles de points : $\{M(z):|z-z_A|=r\}$ est le cercle de centre $A$ et de rayon $r$ ; $\{M(z):|z-z_A|=|z-z_B|\}$ est la médiatrice de $[AB]$.

V. Forme géométrique d'un nombre complexe

1. Argument

Définition : pour $M(z)\ne O$, l'argument de $z$, noté $\arg(z)$, est la mesure de l'angle orienté $(\vec e_1,\vec{OM})$ : $\arg(z)\equiv\theta[2\pi]$.

Propriété : $z\in\mathbb{R}_+^*\iff\arg(z)\equiv0[2\pi]$ ; $z\in\mathbb{R}_-^*\iff\arg(z)\equiv\pi[2\pi]$ ; $z\in i\mathbb{R}_+^*\iff\arg(z)\equiv\frac{\pi}2[2\pi]$ ; $z\in i\mathbb{R}_-^*\iff\arg(z)\equiv-\frac{\pi}2[2\pi]$.

Propriété : $\arg(\bar z)\equiv-\arg(z)[2\pi]$ ; $\arg(-z)\equiv\pi+\arg(z)[2\pi]$ ; $\arg(zz')\equiv\arg(z)+\arg(z')[2\pi]$ ; $\arg\left(\frac{z}{z'}\right)\equiv\arg(z)-\arg(z')[2\pi]$ ; $\arg\left(\frac1z\right)\equiv-\arg(z)[2\pi]$.

2. Forme trigonométrique

Pour $z=x+iy\ne0$ de module $r=|z|$ et d'argument $\theta$ : $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$, donc $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$, notée $[r,\theta]$.

Propriété : pour $z=[r,\theta]$, $z'=[r',\alpha]$ : $zz'=[rr',\theta+\alpha]$ ; $\dfrac1z=\left[\dfrac1r,-\theta\right]$ ; $\dfrac{z}{z'}=\left[\dfrac{r}{r'},\theta-\alpha\right]$ ; $z^n=[r^n,n\theta]$.

3. Angle de deux vecteurs et argument

Pour $A(z_A),B(z_B),C(z_C),D(z_D)$ : $\left(\vec e_1,\vec{AB}\right)\equiv\arg(z_B-z_A)[2\pi]$ ; $\left(\vec{AB},\vec{AC}\right)\equiv\arg\left(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)[2\pi]$ ; $\left(\vec{AB},\vec{CD}\right)\equiv\arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right)[2\pi]$.

$(AB)\parallel(CD)\iff\arg\left(\dfrac{z_B-z_A}{z_D-z_C}\right)=k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$ ; $(AB)\perp(CD)\iff\arg\left(\dfrac{z_B-z_A}{z_D-z_C}\right)=\dfrac{\pi}2+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$.

VI. Transformations usuelles

Translation : pour $t_{\vec u}$ de vecteur $\vec u(z_{\vec u})$, l'image $M'(z_{M'})$ de $M(z_M)$ vérifie $z_{M'}=z_M+z_{\vec u}$.

Homothétie : pour $h$ de centre $\Omega(z_\Omega)$ et de rapport $k\in\mathbb{R}^*$, l'image $M'$ de $M$ vérifie $z_{M'}=kz_M+z_\Omega(1-k)$.

VII. Notation exponentielle

Définition : tout complexe $z$ de module $r$ et d'argument $\theta$ s'écrit $z=re^{i\theta}$ (forme exponentielle).

Exemples : $e^{i\pi}=-1$ ; $2e^{i\frac{3\pi}4}=-\sqrt2+i\sqrt2$.

Propriété : pour $z=re^{i\theta}$, $z'=r'e^{i\theta'}$ ($r,r'>0$) : $|e^{i\theta}|=1$ ; $\arg(e^{i\theta})\equiv\theta[2\pi]$ ; $\bar z=re^{-i\theta}$ ; $zz'=rr'e^{i(\theta+\theta')}$ ; $\dfrac1z=\dfrac1re^{-i\theta}$ ; $\dfrac{z}{z'}=\dfrac{r}{r'}e^{i(\theta-\theta')}$ ; $z^n=r^ne^{in\theta}$.

Formule de Moivre

$(\forall n\in\mathbb{Z})(\forall\theta\in\mathbb{R})$ : $(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$.

Formules d'Euler

$(\forall\theta\in\mathbb{R})$ : $\cos\theta=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$ et $\sin\theta=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$.

Applications : ces formules permettent de développer $(\cos\theta+i\sin\theta)^n$ (Moivre, pour exprimer $\cos(n\theta)$/$\sin(n\theta)$ en fonction de $\cos\theta,\sin\theta$) et de linéariser les puissances de $\cos\theta,\sin\theta$ (Euler, pour exprimer $\cos^n\theta$/$\sin^n\theta$ comme combinaison de $\cos(k\theta)$/$\sin(k\theta)$).

VIII. Équations du second degré dans $\mathbb{C}$

Pour $az^2+bz+c=0$ ($a,b,c\in\mathbb{R}$, $a\ne0$), $\Delta=b^2-4ac$ :

$\Delta>0$ : deux solutions réelles $z_{1,2}=\dfrac{-b\mp\sqrt\Delta}{2a}$ ;
$\Delta=0$ : une solution double $z_0=-\dfrac{b}{2a}$ ;
$\Delta<0$ : deux solutions complexes conjuguées $z_1=\dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}$, $z_2=\bar z_1=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}$.

IX. Représentation complexe de la rotation

Pour $R$ de centre $\Omega(z_\Omega)$ et d'angle $\theta$, l'image $M'(z_{M'})$ de $M(z_M)$ vérifie : $z_{M'}=(z_M-z_\Omega)e^{i\theta}+z_\Omega$.

Méthode à retenir

Méthode — montrer un alignement/une cocyclicité/une orthogonalité : calculer le quotient complexe indiqué par la propriété (réel pour alignement, argument multiple de $\pi$ pour parallélisme, argument $\equiv\frac\pi2[\pi]$ pour orthogonalité) et conclure selon sa nature.

Méthode — passer entre les trois écritures d'un complexe :

algébrique $\to$ trigonométrique/exponentielle : calculer $r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}$, puis $\cos\theta=\frac{x}{r}$, $\sin\theta=\frac{y}{r}$ pour identifier $\theta$ ;
trigonométrique/exponentielle $\to$ algébrique : calculer $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$.

Méthode — résoudre $az^2+bz+c=0$ dans $\mathbb{C}$ : calculer $\Delta=b^2-4ac$ et appliquer directement la formule correspondant au signe de $\Delta$ (y compris $\Delta<0$, qui donne des solutions complexes).

Exercices

Faciles

Exercice 1 — Écriture algébrique

Facile 10 min

Écrire sous la forme algébrique :
$z_1=4i-(2+5i)$ et $z_2=3(1+i)+i(i+1)$.

$z_1=4i-2-5i=-2-i$.

$z_2=3+3i+i^2+i=3+3i-1+i=2+4i$.

Exercice 2 — Équation avec le conjugué

Facile 10 min

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E): z=3\bar z+4i-1$.

On pose $z=a+ib$ ($a,b\in\mathbb{R}$), donc $\bar z=a-ib$.

$(E) \iff a+ib=3(a-ib)+4i-1=(3a-1)+i(4-3b)$.

Par égalité : $a=3a-1 \iff a=\dfrac12$, et $b=4-3b \iff b=1$.

$S=\left\{\dfrac12+i\right\}$.

Exercice 3 — Translation

Facile 10 min

On considère la translation $t$ de vecteur $\vec u(-1+2i)$.
1) Déterminer la représentation complexe de $t$.
2) Déterminer l'affixe du point $A'$, image de $A(2i)$ par $t$.
3) Déterminer l'affixe de $B$ tel que $t(B)=B'$ avec $B'(2-3i)$.

1) $z_{M'}=z_M+z_{\vec u}=z_M-1+2i$.

2) $z_{A'}=2i-1+2i=-1+4i$.

3) $z_{B'}=z_B+z_{\vec u} \Rightarrow z_B=z_{B'}-z_{\vec u}=(2-3i)-(-1+2i)=3-5i$.

Moyens

Exercice 1 — Identification de réels dans une équation complexe

Moyen 10 min

Déterminer les réels $a$ et $b$ dans les cas suivants :
1) $(1+2i)a+b=5-4i$
2) $(2+i)a+(3-2i)b=1+4i$

1) $(a+b)+2ai=5-4i$. Par égalité : $2a=-4 \Rightarrow a=-2$, puis $a+b=5 \Rightarrow b=7$.

2) $(2+i)a+(3-2i)b=(2a+3b)+i(a-2b)=1+4i$. On obtient le système $2a+3b=1$ et $a-2b=4$.
De la seconde : $a=4+2b$. En substituant : $2(4+2b)+3b=1 \iff 8+7b=1 \iff b=-1$, donc $a=2$.

Exercice 2 — Calculs sur les nombres complexes

Moyen 10 min

Écrire sous forme algébrique :
1) $z_1=(2+3i)(-1+i)$
2) $z_2=(1+\sqrt3i)(1-\sqrt3i)$
3) $z_4=\dfrac{1+i}{1-i}$
4) $z_5=\left(\dfrac{1+i}{1-i}\right)^{14}$

1) $z_1=-2+2i-3i+3i^2=-2-i-3=-5-i$.

2) $z_2=1^2-(\sqrt3i)^2=1-3i^2=1+3=4$.

3) $z_4=\dfrac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)}=\dfrac{1+2i-1}{2}=\dfrac{2i}{2}=i$.

4) $z_5=z_4^{14}=i^{14}=i^{12}\times i^2=(i^4)^3\times(-1)=1\times(-1)=-1$.

Exercice 3 — Affixes de vecteurs et parallélogramme

Moyen 10 min

On considère les points $A(2i)$, $B(1-i)$ et $C(3)$.
1) Déterminer l'affixe des vecteurs $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ et $3\vec{AB}-\vec{BC}$.
2) Déterminer l'affixe du point $D$ sachant que $ABCD$ est un parallélogramme.
3) Déterminer l'affixe du point $I$, centre du parallélogramme $ABCD$.

1) $z_{\vec{AB}}=z_B-z_A=(1-i)-2i=1-3i$.
$z_{\vec{AC}}=z_C-z_A=3-2i$.
$z_{\vec{BC}}=z_C-z_B=3-(1-i)=2+i$.
$z_{3\vec{AB}-\vec{BC}}=3(1-3i)-(2+i)=3-9i-2-i=1-10i$.

2) $ABCD$ parallélogramme $\iff \vec{AB}=\vec{DC} \iff z_B-z_A=z_C-z_D \iff z_D=z_C-z_B+z_A=3-(1-i)+2i=2+3i$.

3) $I$ est le milieu des diagonales : $z_I=\dfrac{z_A+z_C}{2}=\dfrac{2i+3}{2}=\dfrac32+i$.

Exercice 4 — Alignement de points

Moyen 10 min

On considère les points $A(4,-6)$, $B(-2,3)$ et $C\left(-1,\dfrac32\right)$. Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.

$z_A=4-6i$, $z_B=-2+3i$, $z_C=-1+\dfrac32i$.

$\dfrac{z_B-z_A}{z_C-z_A}=\dfrac{(-2+3i)-(4-6i)}{(-1+\frac32i)-(4-6i)}=\dfrac{-6+9i}{-5+\frac{15}2i}$.

En factorisant : $-6+9i=3(-2+3i)$ et $-5+\dfrac{15}2i=\dfrac52(-2+3i)$.

Donc $\dfrac{z_B-z_A}{z_C-z_A}=\dfrac{3(-2+3i)}{\frac52(-2+3i)}=\dfrac{3}{5/2}=\dfrac65 \in \mathbb{R}$.

Le quotient est réel : les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.

Exercice 5 — Reconnaître un réel et un imaginaire pur sans calcul

Moyen 10 min

On pose $u=\dfrac{2+3i}{3+2i}$ et $v=\dfrac{2-3i}{3-2i}$. Sans calculer $u+v$ et $u-v$ directement, montrer que $u+v$ est réel et que $u-v$ est imaginaire pur.

On remarque que $v$ s'obtient à partir de $u$ en remplaçant chaque $i$ par $-i$ dans le numérateur et le dénominateur : $v=\bar u$.

Donc $u+v=u+\bar u=2\text{Re}(u) \in \mathbb{R}$.

Et $u-v=u-\bar u=2i\,\text{Im}(u) \in i\mathbb{R}$ (imaginaire pur).

Exercice 6 — Modules

Moyen 10 min

On pose $z_1=1+i$ et $z_2=1-i\sqrt3$.
1) Calculer $|z_1|$ et $|z_2|$.
2) En déduire le module de $z_1\times z_2$, $z_1^6$ et $\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)^2$.

1) $|z_1|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$. $|z_2|=\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2}=\sqrt4=2$.

2) $|z_1z_2|=|z_1||z_2|=\sqrt2\times2=2\sqrt2$.
$|z_1^6|=|z_1|^6=(\sqrt2)^6=2^3=8$.
$\left|\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)^2\right|=\left(\dfrac{|z_1|}{|z_2|}\right)^2=\left(\dfrac{\sqrt2}{2}\right)^2=\dfrac12$.

Exercice 7 — Triangle isocèle

Moyen 10 min

Dans le plan complexe, on considère les points $A(-1+6i)$, $B(1+9i)$ et $C(2+4i)$. Montrer que le triangle $ABC$ est isocèle.

$AB=|z_B-z_A|=|(1+9i)-(-1+6i)|=|2+3i|=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$.

$AC=|z_C-z_A|=|(2+4i)-(-1+6i)|=|3-2i|=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$.

$BC=|z_C-z_B|=|(2+4i)-(1+9i)|=|1-5i|=\sqrt{1+25}=\sqrt{26}$.

Comme $AB=AC=\sqrt{13}$, le triangle $ABC$ est isocèle en $A$.

Exercice 8 — Formes trigonométrique et exponentielle

Moyen 10 min

Écrire sous forme trigonométrique puis exponentielle :
1) $z_1=1+i\sqrt3$
2) $z_4=-2\sqrt3+2i$
3) $z_6=-7$

1) $|z_1|=\sqrt{1+3}=2$. $\cos\theta=\dfrac12$, $\sin\theta=\dfrac{\sqrt3}2 \Rightarrow \theta=\dfrac\pi3$.
$z_1=2\left(\cos\dfrac\pi3+i\sin\dfrac\pi3\right)=2e^{i\pi/3}$.

2) $|z_4|=\sqrt{12+4}=4$. $\cos\theta=-\dfrac{\sqrt3}2$, $\sin\theta=\dfrac12 \Rightarrow \theta=\dfrac{5\pi}6$.
$z_4=4e^{i5\pi/6}$.

3) $|z_6|=7$, $\theta=\pi$ (réel négatif). $z_6=7e^{i\pi}$.

Exercice 9 — Angles de vecteurs : alignement et orthogonalité

Moyen 10 min

On considère les points $A(2,2)$, $B(2,-1)$, $C(4,2)$ et $D(6,2)$.
1) Calculer $\left(\vec{AD},\vec{AC}\right)$. Que peut-on en déduire ?
2) Calculer $\left(\vec{AC},\vec{AB}\right)$. Que peut-on dire de la position des droites $(AB)$ et $(AC)$ ?

1) $z_C-z_A=(4+2i)-(2+2i)=2$. $z_D-z_A=(6+2i)-(2+2i)=4$.
$\left(\vec{AD},\vec{AC}\right)\equiv\arg\left(\dfrac{z_C-z_A}{z_D-z_A}\right)=\arg\left(\dfrac24\right)=\arg\left(\dfrac12\right)\equiv0[2\pi]$.
L'angle est nul : les points $A$, $C$ et $D$ sont alignés.

2) $z_B-z_A=(2-i)-(2+2i)=-3i$.
$\left(\vec{AC},\vec{AB}\right)\equiv\arg\left(\dfrac{z_B-z_A}{z_C-z_A}\right)=\arg\left(\dfrac{-3i}{2}\right)\equiv-\dfrac\pi2[2\pi]$.
L'angle vaut $-\dfrac\pi2$ : les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires.

Exercice 10 — Homothétie

Moyen 10 min

On considère l'homothétie $h$ de centre $\Omega(2-i)$ et de rapport $4$.
1) Donner l'écriture complexe de $h$.
2) Déterminer l'affixe de $A'$, image de $A(1+i)$ par $h$.
3) Déterminer l'affixe de $B$ tel que $h(B)=B'$ avec $B'(2i)$.

1) $z_{M'}=kz_M+z_\Omega(1-k)=4z_M+(2-i)(1-4)=4z_M-3(2-i)=4z_M-6+3i$.

2) $z_{A'}=4(1+i)-6+3i=4+4i-6+3i=-2+7i$.

3) $2i=4z_B-6+3i \iff 4z_B=6-i \iff z_B=\dfrac{6-i}{4}=\dfrac32-\dfrac14i$.

Exercice 11 — Conversions algébrique / exponentielle

Moyen 10 min

1) Écrire sous forme algébrique : $z_1=4e^{-i\pi/3}$.
2) Écrire sous forme exponentielle : $z=-3\left(\cos\dfrac\pi{12}+i\sin\dfrac\pi{12}\right)$.

1) $z_1=4\left(\cos\left(-\dfrac\pi3\right)+i\sin\left(-\dfrac\pi3\right)\right)=4\left(\dfrac12-i\dfrac{\sqrt3}2\right)=2-2\sqrt3i$.

2) Le facteur $-3$ s'écrit $-3=3e^{i\pi}$. Donc $z=3e^{i\pi}\times e^{i\pi/12}=3e^{i(\pi+\pi/12)}=3e^{i13\pi/12}$.

Exercice 12 — Formule de Moivre : linéarisation directe

Moyen 10 min

1) Écrire $(\cos x+i\sin x)^2$ sous forme algébrique par deux méthodes.
2) En déduire $\cos(2x)$ et $\sin(2x)$ en fonction de $\cos(x)$ et $\sin(x)$.

1) Méthode 1 (développement direct) : $(\cos x+i\sin x)^2=\cos^2x+2i\cos x\sin x+i^2\sin^2x=(\cos^2x-\sin^2x)+i(2\sin x\cos x)$.
Méthode 2 (Moivre) : $(\cos x+i\sin x)^2=\cos(2x)+i\sin(2x)$.

2) En identifiant parties réelle et imaginaire des deux expressions : $\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x$ et $\sin(2x)=2\sin x\cos x$.

Exercice 13 — Rotation

Moyen 10 min

On considère la rotation $R$ de centre $\Omega(2+3i)$ et de mesure d'angle $\dfrac\pi2$.
1) Déterminer la représentation complexe de $R$.
2) Déterminer l'affixe de $A'$, image de $A(2-i)$ par $R$.
3) Déterminer l'affixe de $B$ tel que $R(B)=B'$ avec $B'(-2-4i)$.

1) $z_{M'}=(z_M-z_\Omega)e^{i\pi/2}+z_\Omega=(z_M-(2+3i))\times i+(2+3i)$.
En développant : $z_{M'}=iz_M-i(2+3i)+2+3i=iz_M-2i+3+2+3i=iz_M+5+i$.

2) $z_{A'}=i(2-i)+5+i=2i+1+5+i=6+3i$.

3) $-2-4i=iz_B+5+i \iff iz_B=-7-5i \iff z_B=\dfrac{-7-5i}{i}=(-7-5i)\times(-i)=7i+5i^2=-5+7i$.

Difficiles

Exercice 1 — Points cocycliques

Difficile 10 min

On considère les points $A(1+i)$, $B(3+i)$, $C(2+2i)$ et $D(2)$. Montrer que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont cocycliques.

$z_A-z_B=(1+i)-(3+i)=-2$.
$z_C-z_B=(2+2i)-(3+i)=-1+i$.
$z_C-z_D=(2+2i)-2=2i$.
$z_A-z_D=(1+i)-2=-1+i$.

$\dfrac{z_A-z_B}{z_C-z_B}\times\dfrac{z_C-z_D}{z_A-z_D}=\dfrac{-2}{-1+i}\times\dfrac{2i}{-1+i}=\dfrac{-4i}{(-1+i)^2}$.

$(-1+i)^2=1-2i+i^2=-2i$, donc l'expression vaut $\dfrac{-4i}{-2i}=2 \in \mathbb{R}$.

Le produit est réel : les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont cocycliques.

Exercice 2 — Argument via les propriétés

Difficile 10 min

Soient $z_1,z_2,z_3$ trois complexes non nuls tels que $\arg(z_1)\equiv\dfrac\pi2[2\pi]$ et $\arg(z_2)\equiv\dfrac\pi4[2\pi]$. Déterminer l'argument de $z_3$ dans les cas :
1) $\dfrac{z_3}{z_2}=z_1^2$
2) $z_3\times\bar z_2=4z_1$

1) $\arg\left(\dfrac{z_3}{z_2}\right)=\arg(z_3)-\arg(z_2)$ et $\arg(z_1^2)=2\arg(z_1)$.
$\arg(z_3)-\dfrac\pi4=2\times\dfrac\pi2=\pi$, donc $\arg(z_3)\equiv\pi+\dfrac\pi4=\dfrac{5\pi}4[2\pi]$.

2) $\arg(z_3\bar z_2)=\arg(z_3)+\arg(\bar z_2)=\arg(z_3)-\arg(z_2)$. Comme $4>0$ est réel, $\arg(4z_1)=\arg(z_1)$.
$\arg(z_3)-\dfrac\pi4=\dfrac\pi2$, donc $\arg(z_3)\equiv\dfrac{3\pi}4[2\pi]$.

Exercice 3 — Formules d'Euler et linéarisation

Difficile 10 min

1) En utilisant les formules d'Euler, montrer que $(\forall x\in\mathbb{R})$ : $\cos^2(x)=\dfrac12\cos(2x)+\dfrac12$.
2) Linéariser $\sin^2(x)$.

1) $\cos x=\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}2$, donc $\cos^2x=\dfrac{(e^{ix}+e^{-ix})^2}4=\dfrac{e^{2ix}+2+e^{-2ix}}4=\dfrac{2\cos(2x)}4+\dfrac24=\dfrac12\cos(2x)+\dfrac12$.

2) $\sin x=\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$, donc $\sin^2x=\dfrac{(e^{ix}-e^{-ix})^2}{(2i)^2}=\dfrac{e^{2ix}-2+e^{-2ix}}{-4}=\dfrac{2-2\cos(2x)}4=\dfrac12-\dfrac12\cos(2x)$.

Exercice 4 — Équations du second et troisième degré dans $\mathbb{C}$

Difficile 10 min

1) Résoudre dans $\mathbb{C}$ :
a) $(E_1): z^2=-4$
b) $(E_2): z^2+2\sqrt3z+4=0$
2) On pose $p(z)=z^3-6z^2+12z-16$.
a) Déterminer les réels $a,b$ tels que $p(z)=(z-4)(z^2+az+b)$.
b) Résoudre $p(z)=0$ dans $\mathbb{C}$.

1a) $z^2=-4=4i^2 \Rightarrow z=\pm2i$. $S=\{-2i,2i\}$.

1b) $\Delta=(2\sqrt3)^2-4(4)=12-16=-4<0$. $z=\dfrac{-2\sqrt3\pm i\sqrt4}2=-\sqrt3\pm i$. $S=\{-\sqrt3-i,-\sqrt3+i\}$.

2a) En développant $(z-4)(z^2+az+b)=z^3+(a-4)z^2+(b-4a)z-4b$ et en identifiant avec $z^3-6z^2+12z-16$ : $a-4=-6\Rightarrow a=-2$ ; $-4b=-16\Rightarrow b=4$ (on vérifie $b-4a=4+8=12$ ?).

2b) $p(z)=0 \iff (z-4)(z^2-2z+4)=0 \iff z=4$ ou $z^2-2z+4=0$.
Pour $z^2-2z+4=0$ : $\Delta=4-16=-12<0$, $z=\dfrac{2\pm i\sqrt{12}}2=1\pm i\sqrt3$.
$S=\{4,\ 1-i\sqrt3,\ 1+i\sqrt3\}$.

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