Fonctions primitives

Définition d'une primitive sur un intervalle, existence pour toute fonction continue, ensemble des primitives, et tableau des primitives usuelles (fonctions de référence et formes composées $U'U^r$, $U'V+UV'$, $U'/\sqrt{U}$...).

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Fonctions primitives

Définition d'une primitive sur un intervalle, propriété d'existence et ensemble des primitives, tableau des primitives usuelles et des formes composées.

I. Primitive d'une fonction sur un intervalle

Définition

Soient $f$ et $F$ deux fonctions définies sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$. On dit que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et pour tout $x \in I$ : $F'(x)=f(x)$.

Exemples :

la fonction $x \mapsto 5x+4$ est une primitive sur $\mathbb{R}$ de $x \mapsto 5$ ;
la fonction $x \mapsto x^2+2x+3$ est une primitive sur $\mathbb{R}$ de $x \mapsto 2x+2$ ;
la fonction $x \mapsto 2\sqrt x+7$ est une primitive sur $]0,+\infty[$ de $x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt x}$.

Propriété (existence) : toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet une primitive sur $I$.

Propriété (ensemble des primitives) : soit $F$ une primitive de $f$ sur $I$.

l'ensemble des primitives de $f$ sur $I$ est l'ensemble des fonctions $x \mapsto F(x)+c$, $c \in \mathbb{R}$ ;
pour tout $x_0 \in I$ et $y_0 \in \mathbb{R}$, il existe une unique primitive $G$ de $f$ sur $I$ vérifiant $G(x_0)=y_0$.

II. Tableau des primitives usuelles

Fonction	Primitives
$x \mapsto 0$	$x \mapsto c$
$x \mapsto a$ $(a \in \mathbb{R})$	$x \mapsto ax+c$
$x \mapsto x^n$ $(n \in \mathbb{N}^*)$	$x \mapsto \dfrac{1}{n+1}x^{n+1}+c$
$x \mapsto x^r$ $(r \in \mathbb{Q}^* \setminus\{-1\})$	$x \mapsto \dfrac{1}{r+1}x^{r+1}+c$
$x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt x}$	$x \mapsto 2\sqrt x+c$
$x \mapsto \dfrac{1}{x^2}$	$x \mapsto -\dfrac1x+c$
$x \mapsto \cos x$	$x \mapsto \sin x+c$
$x \mapsto \sin x$	$x \mapsto -\cos x+c$
$x \mapsto 1+(\tan x)^2$	$x \mapsto \tan x+c$
$x \mapsto \cos(ax+b)$ $(a\ne0)$	$x \mapsto \dfrac1a\sin(ax+b)+c$
$x \mapsto \sin(ax+b)$ $(a\ne0)$	$x \mapsto -\dfrac1a\cos(ax+b)+c$
$U'\times U^r$ $(r \in \mathbb{Q}^* \setminus\{-1\})$	$\dfrac{1}{r+1}U^{r+1}+c$
$U'V+UV'$	$U\times V+c$
$\dfrac{U'V-UV'}{V^2}$	$\dfrac{U}{V}+c$
$\dfrac{U'}{U^2}$	$-\dfrac{1}{U}+c$
$\dfrac{U'}{\sqrt U}$	$2\sqrt U+c$

Remarque : $U$ et $V$ désignent des fonctions dérivables sur $I$ (avec $U>0$ lorsque des puissances non entières ou une racine interviennent, et $V$ ne s'annulant pas pour le quotient).

Méthode à retenir

Méthode — trouver une primitive :

reconnaître si l'expression correspond directement à une ligne du tableau des primitives usuelles (fonction de référence) ;
sinon, chercher à l'écrire sous une forme composée $U'\times U^r$, $U'V+UV'$, $\dfrac{U'V-UV'}{V^2}$, $\dfrac{U'}{U^2}$ ou $\dfrac{U'}{\sqrt U}$, en identifiant $U$ (et $V$) et en vérifiant que le facteur $U'$ (la dérivée exacte) est bien présent, quitte à faire apparaître une constante multiplicative ;
pour déterminer LA primitive vérifiant une condition $F(x_0)=y_0$, calculer d'abord l'ensemble des primitives $F(x)+c$, puis résoudre $F(x_0)+c=y_0$ pour trouver $c$.

Exercices

Faciles

Exercice 1 — Existence d'une primitive par continuité

Facile 10 min

Montrer que la fonction $x \mapsto x\sqrt{x+1}+\cos(x)$ admet une primitive sur $I=[-1,+\infty[$.

La fonction $x\mapsto x$ est continue sur $I$, $x\mapsto\sqrt{x+1}$ est continue sur $I$ (car $x+1\ge0$ pour $x\ge-1$), et $x\mapsto\cos(x)$ est continue sur $\mathbb{R}$ donc sur $I$.
Par somme et produit de fonctions continues sur $I$, la fonction $x\mapsto x\sqrt{x+1}+\cos(x)$ est continue sur $I$.
Or toute fonction continue sur un intervalle admet une primitive sur cet intervalle : la fonction donnée admet donc une primitive sur $I=[-1,+\infty[$.

Exercice 2 — Primitives de fonctions usuelles

Facile 10 min

Déterminer l'ensemble des primitives de $f(x)=x^4-3x^3+5$ et de $g(x)=\dfrac{1}{2\sqrt x}+\dfrac{1}{x^2}$, sur l'intervalle $I$ à préciser dans chaque cas.

$f$ est une fonction polynôme, définie et continue sur $\mathbb{R}$ : ses primitives sur $I=\mathbb{R}$ sont $x\mapsto\dfrac{x^5}{5}-\dfrac{3x^4}{4}+5x+c$, $c\in\mathbb{R}$.

$g$ est définie sur $I=]0,+\infty[$ (à cause de $\dfrac{1}{\sqrt x}$ et $\dfrac1{x^2}$). Comme $\left(\sqrt x\right)'=\dfrac{1}{2\sqrt x}$ et $\left(-\dfrac1x\right)'=\dfrac1{x^2}$, les primitives de $g$ sur $I$ sont $x\mapsto\sqrt x-\dfrac1x+c$, $c\in\mathbb{R}$.

Exercice 3 — Primitives trigonométriques

Facile 10 min

Déterminer une primitive de :
1) $f_6(x)=\sin(5-2x)$
2) $f_7(x)=\cos(3x-1)$

1) Forme $\sin(ax+b)$ avec $a=-2$, $b=5$ : une primitive est $x\mapsto-\dfrac{1}{-2}\cos(5-2x)=\dfrac12\cos(5-2x)$.

2) Forme $\cos(ax+b)$ avec $a=3$, $b=-1$ : une primitive est $x\mapsto\dfrac13\sin(3x-1)$.

Exercice 4 — Primitive de la forme $U'\times U^r$ (trigonométrique)

Facile 10 min

Déterminer une primitive de $f_9(x)=\cos(x)\cdot(\sin x)^4$.

On pose $U(x)=\sin(x)$, $U'(x)=\cos(x)$. On reconnaît $f_9=U'\times U^4$.

Une primitive est $\dfrac{1}{5}U^5=\dfrac15(\sin x)^5$.

Exercice 5 — Primitive de la forme $U'/\sqrt{U}$

Facile 10 min

Déterminer une primitive de $f_{10}(x)=\dfrac{2x}{\sqrt{x^2+1}}$.

On pose $U(x)=x^2+1$, $U'(x)=2x$. On reconnaît $f_{10}=\dfrac{U'}{\sqrt U}$.

D'après le tableau, une primitive est $2\sqrt U=2\sqrt{x^2+1}$.

Moyens

Exercice 1 — Primitive vérifiant une condition initiale

Moyen 10 min

Déterminer la primitive $F$ de la fonction $f(x)=4x^3-5x^2+8x-7$ sur $\mathbb{R}$, qui vérifie $F(1)=0$.

Les primitives de $f$ sur $\mathbb{R}$ sont $x\mapsto x^4-\dfrac53x^3+4x^2-7x+c$, $c\in\mathbb{R}$.

$F(1)=0 \iff 1-\dfrac53+4-7+c=0 \iff -\dfrac{11}{3}+c=0 \iff c=\dfrac{11}{3}$.

Donc $F(x)=x^4-\dfrac53x^3+4x^2-7x+\dfrac{11}{3}$.

Exercice 2 — Primitives avec puissances et racines (I)

Moyen 10 min

Déterminer une primitive de :
1) $f_1(x)=2x^5-3x^2-1$
2) $f_3(x)=\sqrt x\left(x^2+2\sqrt x\right)$
3) $f_4(x)=\sqrt x+2$

1) $f_1$ est polynomiale : une primitive est $x\mapsto\dfrac13x^6-x^3-x$.

2) $f_3(x)=\sqrt x\times x^2+\sqrt x\times2\sqrt x=x^{5/2}+2x$. Une primitive : $x\mapsto\dfrac{2}{7}x^{7/2}+x^2=\dfrac27x^3\sqrt x+x^2$.

3) Une primitive de $f_4(x)=\sqrt x+2=x^{1/2}+2$ est $x\mapsto\dfrac23x^{3/2}+2x=\dfrac23x\sqrt x+2x$.

Exercice 3 — Primitive de la forme $U'\times U^r$

Moyen 10 min

Déterminer une primitive de $f_5(x)=(2x+1)\sqrt{2x+1}$.

On pose $U(x)=2x+1$, $U'(x)=2$. On a $f_5(x)=U(x)\times\sqrt{U(x)}=\left(U(x)\right)^{3/2}$.

Pour faire apparaître $U'$, on écrit $f_5(x)=\dfrac12\times2\times U^{3/2}=\dfrac12U'U^{3/2}$.

D'après le tableau, une primitive de $U'U^{3/2}$ est $\dfrac{1}{5/2}U^{5/2}=\dfrac25U^{5/2}$.

Donc une primitive de $f_5$ est $x\mapsto\dfrac12\times\dfrac25(2x+1)^{5/2}=\dfrac15(2x+1)^2\sqrt{2x+1}$.

Exercice 4 — Primitive de la forme $U'\times U^r$ (polynôme)

Moyen 10 min

Déterminer une primitive de $f_8(x)=(3x^2-1)(x^3-x)^2$.

On pose $U(x)=x^3-x$, $U'(x)=3x^2-1$. On reconnaît $f_8=U'\times U^2$.

Une primitive est $\dfrac{1}{3}U^3=\dfrac13(x^3-x)^3$.

Difficiles

Exercice 1 — Primitives avec puissances et racines (II)

Difficile 10 min

Déterminer une primitive de $f_2(x)=\dfrac{1}{x^4}+\dfrac{2}{\sqrt[3]{x}}-\sqrt[4]{x^3}$.

On écrit $f_2(x)=x^{-4}+2x^{-1/3}-x^{3/4}$.

Primitive de $x^{-4}$ : $\dfrac{x^{-3}}{-3}=-\dfrac{1}{3x^3}$.
Primitive de $2x^{-1/3}$ : $2\times\dfrac{x^{2/3}}{2/3}=3x^{2/3}=3\sqrt[3]{x^2}$.
Primitive de $-x^{3/4}$ : $-\dfrac{x^{7/4}}{7/4}=-\dfrac47x^{7/4}=-\dfrac47x\sqrt[4]{x^3}$.

Une primitive de $f_2$ est : $x\mapsto -\dfrac{1}{3x^3}+3\sqrt[3]{x^2}-\dfrac47x\sqrt[4]{x^3}$.

Exercice 2 — Étude complète d'une primitive avec condition

Difficile 10 min

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}_+^*$ par $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt x}+2x^3-5$.
1) Montrer que $F(x)=2\sqrt x+\dfrac12x^4-5x$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}_+^*$.
2) Déterminer toutes les primitives de $f$ sur $\mathbb{R}_+^*$.
3) Déterminer la primitive $G$ de $f$ telle que $G(4)=10$.

1) $F'(x)=\dfrac{1}{\sqrt x}+\dfrac12\times4x^3-5=\dfrac{1}{\sqrt x}+2x^3-5=f(x)$ pour tout $x>0$ : $F$ est bien une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}_+^*$.

2) Toutes les primitives de $f$ sur $\mathbb{R}_+^*$ sont $x\mapsto2\sqrt x+\dfrac12x^4-5x+c$, $c\in\mathbb{R}$.

3) $G(4)=2\sqrt4+\dfrac12(4)^4-5(4)+c=4+128-20+c=112+c$.
$G(4)=10 \iff c=10-112=-102$.
$G(x)=2\sqrt x+\dfrac12x^4-5x-102$.

Quiz — Quiz — Fonctions primitives (20 questions)

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