Géométrie dans l'espace

Produit scalaire dans l'espace et applications (orthogonalité, équations de plans, distance point-plan), étude analytique des sphères, et produit vectoriel (plan par trois points, aire d'un triangle, distance point-droite, intersection de deux plans).

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Géométrie dans l'espace

Produit scalaire dans l'espace (définition, expression analytique, orthogonalité de droites/plans, équation de plan, distance point-plan), étude analytique d'une sphère, et produit vectoriel (définition, forme analytique, applications : plan par trois points, aire d'un triangle, distance point-droite, intersection de deux plans).

I. Produit scalaire dans l'espace et applications

1. Définition et propriétés

Définition : pour $\vec u=\vec{AB}$ et $\vec v=\vec{AC}$ (avec $A,B,C$ dans un même plan $(\mathcal{P})$), le produit scalaire $\vec u \cdot \vec v$ est le produit scalaire $\vec{AB}\cdot\vec{AC}$ calculé dans $(\mathcal P)$.

Conséquences :

si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$, alors $\vec u\cdot\vec v=\vec{AB}\cdot\vec{AH}$ ;
pour $\vec u,\vec v$ non nuls : $\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\times\|\vec v\|\times\cos(\widehat{\vec u,\vec v})$ ;
$\vec u\perp\vec v \iff \vec u\cdot\vec v=0$ ;
$\vec u\cdot\vec u=\vec u^{\,2}\ge0$ (carré scalaire).

Propriétés : $\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u$ ; $(k\vec u)\cdot\vec v=k(\vec u\cdot\vec v)$ ; $\vec u\cdot(\vec v+\vec w)=\vec u\cdot\vec v+\vec u\cdot\vec w$ ; $(\vec u+\vec v)^2=\vec u^2+2\vec u\cdot\vec v+\vec v^2$.

2. Expression analytique

Pour $\vec u(x,y,z)$ et $\vec v(x',y',z')$ : $\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'+zz'$.

Conséquences : $\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ ; pour $A(x_A,y_A,z_A)$, $B(x_B,y_B,z_B)$ : $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$.

3. Applications du produit scalaire

a) Orthogonalité de deux droites : $(D_1)$ dirigée par $\vec u_1$ et $(D_2)$ par $\vec u_2$ sont perpendiculaires $\iff \vec u_1\cdot\vec u_2=0$.

b) Équation cartésienne d'un plan défini par un point et un vecteur normal : pour $\vec n(a,b,c)$ non nul et $A$ donnés, l'ensemble des $M$ tels que $\vec n\cdot\vec{AM}=0$ est le plan $(\mathcal P)$ passant par $A$ de vecteur normal $\vec n$, d'équation $ax+by+cz+d=0$.

Exemple : plan $(\mathcal P)$ passant par $A(1,-2,3)$ de normal $\vec n(1,-3,-2)$ : $\vec{AM}\cdot\vec n=0 \iff (x-1)-3(y+2)-2(z-3)=0 \iff x-3y-2z-1=0$.

c) Orthogonalité de deux plans : $(\mathcal P)$ et $(\mathcal Q)$ de normaux $\vec n_{\mathcal P}$, $\vec n_{\mathcal Q}$ sont orthogonaux $\iff \vec n_{\mathcal P}\cdot\vec n_{\mathcal Q}=0$ ; ils sont parallèles $\iff \vec n_{\mathcal P}$ et $\vec n_{\mathcal Q}$ sont colinéaires.

4. Distance d'un point à un plan : pour $(\mathcal P): ax+by+cz+d=0$ et $A(x_A,y_A,z_A)$ : $d(A,(\mathcal P))=\dfrac{|ax_A+by_A+cz_A+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.

II. Étude analytique d'une sphère

1. Équation cartésienne

La sphère $(S)$ de centre $\Omega(a,b,c)$ et de rayon $R$ est l'ensemble des $M$ tels que $\Omega M=R$, d'équation : $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+a^2+b^2+c^2-R^2=0$.

Propriété : l'ensemble des $M$ tels que $\vec{AM}\cdot\vec{BM}=0$ est la sphère de diamètre $[AB]$.

2. Étude de $x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$

Pour $(a,b,c)\ne(0,0,0)$ :

si $a^2+b^2+c^2-4d>0$ : sphère de centre $\Omega\left(-\frac a2,-\frac b2,-\frac c2\right)$, rayon $R=\dfrac{\sqrt{a^2+b^2+c^2-4d}}{2}$ ;
si $a^2+b^2+c^2-4d=0$ : ensemble réduit au point $\Omega\left(-\frac a2,-\frac b2,-\frac c2\right)$ ;
si $a^2+b^2+c^2-4d<0$ : ensemble vide.

3. Représentation paramétrique d'une sphère

Pour $(S)$ de centre $\Omega(a,b,c)$, rayon $R$ : $M(x,y,z)\in(S) \iff \begin{cases}x=a+R\sin\varphi\cos\theta\\ y=b+R\sin\varphi\sin\theta\\ z=c+R\cos\varphi\end{cases}$, $(\varphi,\theta)\in\mathbb{R}^2$.

4. Positions relatives

Sphère et droite : pour $S(\Omega,R)$ et $(D)$, $d=d(\Omega,(D))$ :

$d
$d=R$ : $(D)$ est tangente à $(S)$ (un seul point) ;
$d>R$ : $(D)$ ne coupe pas $(S)$.

Sphère et plan : pour $S(\Omega,R)$ et $(\mathcal P)$, $d=d(\Omega,(\mathcal P))$ :

$d
$d=R$ : $(\mathcal P)$ est tangent à $(S)$ en $H$ ;
$d>R$ : $(\mathcal P)\cap(S)=\varnothing$.

III. Produit vectoriel

1. Définition

Pour $\vec u,\vec v$ non nuls, le produit vectoriel $\vec u\wedge\vec v$ est le vecteur nul si $\vec u,\vec v$ colinéaires ; sinon $\vec w=\vec u\wedge\vec v$ vérifie : $\vec w\perp\vec u$, $\vec w\perp\vec v$, la base $(\vec u,\vec v,\vec w)$ est directe, et $\|\vec u\wedge\vec v\|=\|\vec u\|\times\|\vec v\|\times|\sin(\widehat{\vec u,\vec v})|$.

Propriétés : $\vec u\wedge\vec v=-\vec v\wedge\vec u$ ; $\vec u\wedge\vec 0=\vec 0$ ; $\vec u\wedge(\vec v+\vec w)=\vec u\wedge\vec v+\vec u\wedge\vec w$ ; $(\alpha\vec u)\wedge\vec v=\alpha(\vec u\wedge\vec v)$.

2. Forme analytique

Pour $\vec u(a,b,c)$, $\vec v(a',b',c')$ : $\vec u\wedge\vec v=\left(\begin{vmatrix}b&b'\\c&c'\end{vmatrix},\ -\begin{vmatrix}a&a'\\c&c'\end{vmatrix},\ \begin{vmatrix}a&a'\\b&b'\end{vmatrix}\right)$.

Exemple : $\vec u(0,1,-2)\wedge\vec v(-3,1,2)=(1\times2-(-2)\times1,\ -(0\times2-(-2)\times(-3)),\ 0\times1-1\times(-3))=(4,6,3)$.

3. Applications du produit vectoriel

a) Équation d'un plan défini par trois points non alignés : si $\vec{AB}\wedge\vec{AC}\ne\vec0$, $A,B,C$ ne sont pas alignés, et $\vec{AB}\wedge\vec{AC}$ est normal au plan $(ABC)$.

b) Aire d'un triangle / parallélogramme : $S_{ABC}=\dfrac12\|\vec{AB}\wedge\vec{AC}\|$ ; pour le parallélogramme $ABCD$ : $S_{ABCD}=\|\vec{AB}\wedge\vec{AC}\|$.

c) Distance d'un point à une droite : pour $(D)$ passant par $A$ dirigée par $\vec u$ : $d(M,D(A,\vec u))=\dfrac{\|\vec{AM}\wedge\vec u\|}{\|\vec u\|}$.

d) Intersection de deux plans : si $\vec n_{(\mathcal P)}\wedge\vec n_{(\mathcal Q)}\ne\vec0$, $(\mathcal P)$ et $(\mathcal Q)$ sont sécants suivant une droite dirigée par $\vec n_{(\mathcal P)}\wedge\vec n_{(\mathcal Q)}$.

Méthode à retenir

Méthode — nature d'un triangle dans l'espace : calculer les longueurs de côtés (norme des vecteurs) et/ou un produit scalaire pour détecter angle droit ($\cdot=0$) et côtés égaux.

Méthode — équation de plan : si un vecteur normal est connu, utiliser directement $a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0$ ; si seuls trois points sont connus, calculer $\vec{AB}\wedge\vec{AC}$ pour obtenir un vecteur normal.

Méthode — nature de $x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$ : calculer $a^2+b^2+c^2-4d$ et conclure selon son signe (sphère / point / ensemble vide).

Méthode — position sphère/droite ou sphère/plan : calculer $d(\Omega,\cdot)$ (via le produit vectoriel pour une droite, via la formule de distance point-plan pour un plan) et comparer à $R$.

Exercices

Faciles

Exercice 1 — Équation de plan (point et vecteur normal)

Facile 10 min

Déterminer une équation cartésienne du plan $(\mathcal P)$ passant par $A$ et de vecteur normal $\vec n$ :
a) $A(1,0,5)$ et $\vec n(-1,1,0)$
b) $A(\sqrt2,-2,5)$ et $\vec n(-1,1,0)$

a) $\vec{AM}\cdot\vec n=0 \iff -1(x-1)+1(y-0)+0(z-5)=0 \iff -x+1+y=0 \iff x-y-1=0$.

b) $-1(x-\sqrt2)+1(y+2)+0=0 \iff -x+\sqrt2+y+2=0 \iff x-y-\sqrt2-2=0$.

Exercice 2 — Équations de sphères et appartenance

Facile 10 min

1) Donner une équation cartésienne de la sphère $(S_1)$ de centre $\Omega(2,0,1)$ et de rayon $R=\sqrt2$.
2) a) Donner une équation cartésienne de la sphère $(S_2)$ de centre $\Omega(1,-1,2)$ passant par $A(-1,4,5)$.
b) Le point $B(1,2,-2)$ appartient-il à $(S_2)$ ?

1) $(S_1): (x-2)^2+y^2+(z-1)^2=2$.

2a) $R=\Omega A=\sqrt{(-1-1)^2+(4-(-1))^2+(5-2)^2}=\sqrt{4+25+9}=\sqrt{38}$.
$(S_2): (x-1)^2+(y+1)^2+(z-2)^2=38$.

2b) $\Omega B^2=(1-1)^2+(2-(-1))^2+(-2-2)^2=0+9+16=25\ne38$. Donc $B\notin(S_2)$.

Exercice 3 — Représentation paramétrique d'une sphère

Facile 10 min

Déterminer une représentation paramétrique de la sphère $(S)$ d'équation $x^2+y^2+z^2=1$.

$(S)$ a pour centre $\Omega(0,0,0)$ et rayon $R=1$. Une représentation paramétrique est :

$\begin{cases}x=\sin\varphi\cos\theta\\y=\sin\varphi\sin\theta\\z=\cos\varphi\end{cases}$, $(\varphi,\theta)\in\mathbb{R}^2$.

Exercice 4 — Calcul d'un produit vectoriel

Facile 10 min

Calculer le produit vectoriel des vecteurs $\vec u(-1,3,0)$ et $\vec v(2,-6,1)$.

$\vec u\wedge\vec v=\begin{pmatrix}3\times1-0\times(-6)\\-((-1)\times1-0\times2)\\(-1)\times(-6)-3\times2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}$.

Moyens

Exercice 1 — Nature d'un triangle via le produit scalaire

Moyen 10 min

Soient $A(2,-1,1)$, $B(5,3,1)$ et $C(6,-4,1)$. Calculer $AB$, $BC$ et $\vec{BA}\cdot\vec{BC}$, puis en déduire la nature du triangle $ABC$.

$\vec{AB}(3,4,0)$, donc $AB=\sqrt{9+16}=5$.
$\vec{BC}(1,-7,0)$, donc $BC=\sqrt{1+49}=\sqrt{50}=5\sqrt2$.
$\vec{BA}(-3,-4,0)$, donc $\vec{BA}\cdot\vec{BC}=(-3)(1)+(-4)(-7)+0=-3+28=25$.

De plus $\vec{AC}(4,-3,0)$ donne $AC=\sqrt{16+9}=5$ et $\vec{AB}\cdot\vec{AC}=3(4)+4(-3)+0=12-12=0$, donc $\vec{AB}\perp\vec{AC}$.
Comme $AB=AC=5$ et l'angle en $A$ est droit, le triangle $ABC$ est rectangle et isocèle en $A$ (avec $BC=5\sqrt2$ pour hypoténuse, conforme au théorème de Pythagore : $5^2+5^2=50=(5\sqrt2)^2$).

Exercice 2 — Orthogonalité de deux droites

Moyen 10 min

Montrer que $(D_1)\perp(D_2)$ :
a) $(D_1)$ dirigée par $\vec u(1,2,3)$ et $(D_2): \begin{cases}x=1+4t\\y=2-2t\\z=5\end{cases}$
b) $(D_1): x-2=\dfrac{y+1}2=\dfrac{5-z}2$ et $(D_2): \begin{cases}x=3+2t\\y=5-3t\\z=-2-2t\end{cases}$

a) $(D_2)$ est dirigée par $\vec v(4,-2,0)$. $\vec u\cdot\vec v=1(4)+2(-2)+3(0)=4-4+0=0$ : $(D_1)\perp(D_2)$.

b) $(D_1)$ s'écrit $\dfrac{x-2}1=\dfrac{y+1}2=\dfrac{z-5}{-2}$, dirigée par $\vec{u_1}(1,2,-2)$. $(D_2)$ est dirigée par $\vec{u_2}(2,-3,-2)$.
$\vec{u_1}\cdot\vec{u_2}=1(2)+2(-3)+(-2)(-2)=2-6+4=0$ : $(D_1)\perp(D_2)$.

Exercice 3 — Plan médiateur d'un segment

Moyen 10 min

Donner une équation cartésienne du plan médiateur $(\mathcal P)$ du segment $[MN]$ où $M(0,5,-1)$ et $N(2,1,1)$.

Le plan médiateur passe par le milieu $I$ de $[MN]$ : $I=\left(\dfrac{0+2}2,\dfrac{5+1}2,\dfrac{-1+1}2\right)=(1,3,0)$, et a pour vecteur normal $\vec{MN}=(2,-4,2)$.

Équation : $2(x-1)-4(y-3)+2(z-0)=0 \iff 2x-4y+2z+10=0 \iff x-2y+z+5=0$.

Exercice 4 — Orthogonalité de deux plans

Moyen 10 min

Étudier l'orthogonalité des plans $(\mathcal P)$ et $(\mathcal Q)$ :
1) $(\mathcal P): 2x+z-1=0$ et $(\mathcal Q): x-2y-2z+1=0$
2) $(\mathcal P): x-y-4z+1=0$ et $(\mathcal Q): 4x-y-2z-3=0$

1) $\vec n_{\mathcal P}(2,0,1)$, $\vec n_{\mathcal Q}(1,-2,-2)$. $\vec n_{\mathcal P}\cdot\vec n_{\mathcal Q}=2(1)+0(-2)+1(-2)=2-2=0$ : les plans sont orthogonaux.

2) $\vec n_{\mathcal P}(1,-1,-4)$, $\vec n_{\mathcal Q}(4,-1,-2)$. $\vec n_{\mathcal P}\cdot\vec n_{\mathcal Q}=1(4)+(-1)(-1)+(-4)(-2)=4+1+8=13\ne0$ : les plans ne sont pas orthogonaux.

Exercice 5 — Distance point-plan, droite orthogonale et projeté

Moyen 10 min

On considère $(\mathcal P): x+y+z+1=0$ et $A(1,2,0)$.
1) Calculer $d(A,(\mathcal P))$.
2) Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(D)$ passant par $A$ et orthogonale à $(\mathcal P)$.
3) Déterminer les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal de $A$ sur $(\mathcal P)$.

1) $\vec n(1,1,1)$, $\|\vec n\|=\sqrt3$. $d(A,(\mathcal P))=\dfrac{|1+2+0+1|}{\sqrt3}=\dfrac4{\sqrt3}=\dfrac{4\sqrt3}3$.

2) $(D)$ est dirigée par $\vec n(1,1,1)$ : $\begin{cases}x=1+t\\y=2+t\\z=t\end{cases}$, $t\in\mathbb{R}$.

3) $H(1+t,2+t,t)\in(\mathcal P)$ : $(1+t)+(2+t)+t+1=0 \iff 3t+4=0 \iff t=-\dfrac43$.
$H=\left(-\dfrac13,\dfrac23,-\dfrac43\right)$.

Exercice 6 — Sphère de diamètre [AB] par deux méthodes

Moyen 10 min

Donner, par deux méthodes, une équation cartésienne de la sphère de diamètre $[AB]$ avec $A(-1,3,2)$ et $B(-3,1,0)$.

Méthode 1 (centre et rayon) : le centre est le milieu $I=\left(\dfrac{-1-3}2,\dfrac{3+1}2,\dfrac{2+0}2\right)=(-2,2,1)$, et le rayon $R=IA=\sqrt{1+1+1}=\sqrt3$.
Équation : $(x+2)^2+(y-2)^2+(z-1)^2=3$.

Méthode 2 ($\vec{AM}\cdot\vec{BM}=0$) : pour $M(x,y,z)$, $\vec{AM}(x+1,y-3,z-2)$, $\vec{BM}(x+3,y-1,z)$.
$(x+1)(x+3)+(y-3)(y-1)+(z-2)z=0 \iff x^2+y^2+z^2+4x-4y-2z+6=0$.
On vérifie que cette équation est équivalente à celle de la méthode 1.

Exercice 7 — Nature de $x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$

Moyen 10 min

Déterminer la nature de l'ensemble $(S)$ dans les cas suivants :
a) $x^2+y^2+z^2-4x-6y=0$
b) $x^2+y^2+z^2-4x+2y+2z+19=0$
c) $x^2+y^2+z^2+4y-2z+5=0$

a) $a=-4,b=-6,c=0,d=0$ : $a^2+b^2+c^2-4d=16+36=52>0$. Sphère de centre $\Omega(2,3,0)$ et de rayon $R=\dfrac{\sqrt{52}}2=\sqrt{13}$.

b) $a=-4,b=2,c=2,d=19$ : $a^2+b^2+c^2-4d=16+4+4-76=-52<0$. Ensemble vide.

c) $a=0,b=4,c=-2,d=5$ : $a^2+b^2+c^2-4d=0+16+4-20=0$. Ensemble réduit au point $\Omega(0,-2,1)$.

Exercice 8 — Plan défini par trois points (produit vectoriel)

Moyen 10 min

On considère $A(2,4,-5)$, $B(1,0,4)$ et $C(0,3,1)$.
1) Vérifier que $A,B,C$ ne sont pas alignés.
2) Donner une équation du plan $(ABC)$.

1) $\vec{AB}(-1,-4,9)$, $\vec{AC}(-2,-1,6)$.
$\vec{AB}\wedge\vec{AC}=\begin{pmatrix}(-4)(6)-(9)(-1)\\-((-1)(6)-(9)(-2))\\(-1)(-1)-(-4)(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-15\\-12\\-7\end{pmatrix}\ne\vec0$ : $A,B,C$ ne sont pas alignés.

2) $\vec{AB}\wedge\vec{AC}$ est normal au plan $(ABC)$ : $-15(x-2)-12(y-4)-7(z+5)=0 \iff -15x-12y-7z+43=0 \iff 15x+12y+7z-43=0$.

Exercice 9 — Aire d'un triangle dans l'espace

Moyen 10 min

On considère $A(-1,2,0)$, $B(3,0,4)$ et $C(-2,1,2)$.
1) Vérifier que $A,B,C$ ne sont pas alignés.
2) Déterminer l'aire du triangle $ABC$.

1) $\vec{AB}(4,-2,4)$, $\vec{AC}(-1,-1,2)$.
$\vec{AB}\wedge\vec{AC}=\begin{pmatrix}(-2)(2)-(4)(-1)\\-((4)(2)-(4)(-1))\\(4)(-1)-(-2)(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-12\\-6\end{pmatrix}\ne\vec0$ : les points ne sont pas alignés.

2) $\|\vec{AB}\wedge\vec{AC}\|=\sqrt{0+144+36}=\sqrt{180}=6\sqrt5$.
$S_{ABC}=\dfrac12\times6\sqrt5=3\sqrt5$.

Exercice 10 — Intersection de deux plans

Moyen 10 min

On considère $(\mathcal P): 2x+z-1=0$ et $(\mathcal Q): x-2y-2z+1=0$.
1) Vérifier que $(\mathcal P)$ et $(\mathcal Q)$ sont sécants suivant une droite $(D)$ en déterminant un vecteur directeur.
2) Donner une représentation paramétrique de $(D)$.

1) $\vec n_{\mathcal P}(2,0,1)$, $\vec n_{\mathcal Q}(1,-2,-2)$.
$\vec n_{\mathcal P}\wedge\vec n_{\mathcal Q}=\begin{pmatrix}0(-2)-1(-2)\\-(2(-2)-1(1))\\2(-2)-0(1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\5\\-4\end{pmatrix}\ne\vec0$ : $(\mathcal P)$ et $(\mathcal Q)$ sont sécants suivant une droite $(D)$ dirigée par $(2,5,-4)$.

2) En posant $z=0$ : $(\mathcal P)$ donne $x=\dfrac12$ ; $(\mathcal Q)$ donne $\dfrac12-2y+1=0 \iff y=\dfrac34$. Point $\left(\dfrac12,\dfrac34,0\right)\in(D)$.
$(D): \begin{cases}x=\frac12+2t\\y=\frac34+5t\\z=-4t\end{cases}$, $t\in\mathbb{R}$.

Difficiles

Exercice 1 — Position relative droite / sphère

Difficile 10 min

Déterminer la position relative de la droite $(D): \begin{cases}x=t\\y=1+t\\z=2+t\end{cases}$ par rapport aux sphères $(S_1): x^2+y^2+z^2+2x=0$ et $(S_2): x^2+y^2+z^2-2x-2y-6z+\dfrac{31}3=0$.

$(S_1)$ a pour centre $\Omega_1(-1,0,0)$ et rayon $R_1=1$. $(D)$ passe par $A(0,1,2)$, dirigée par $\vec u(1,1,1)$.
$\vec{\Omega_1A}(1,1,2)$, $\vec{\Omega_1A}\wedge\vec u=(-1,1,0)$, $\|\vec{\Omega_1A}\wedge\vec u\|=\sqrt2$, $\|\vec u\|=\sqrt3$.
$d(\Omega_1,D)=\dfrac{\sqrt2}{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt6}3\approx0{,}82

$(S_2)$ a pour centre $\Omega_2(1,1,3)$ et rayon $R_2=\dfrac{\sqrt6}3$ (à partir de $a^2+b^2+c^2-4d=4+4+36-\frac{124}3=\frac83$).
$\vec{\Omega_2A}(-1,0,-1)$, $\vec{\Omega_2A}\wedge\vec u=(1,0,-1)$, $\|\vec{\Omega_2A}\wedge\vec u\|=\sqrt2$.
$d(\Omega_2,D)=\dfrac{\sqrt2}{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt6}3=R_2$ : $(D)$ est tangente à $(S_2)$.

Exercice 2 — Position relative sphère / plans

Difficile 10 min

On considère $(S): x^2+y^2+z^2+2x-2y+2z-1=0$.
1) Montrer que $(S)$ est une sphère en déterminant son centre et son rayon $R$.
2) Étudier la position relative de $(S)$ et des plans :
a) $(P_1): 2x+y+2z-3=0$
b) $(P_2): x-2y+2z+3=0$
c) $(P_3): x+2y-z+9=0$

1) $a=2,b=-2,c=2,d=-1$ : $a^2+b^2+c^2-4d=4+4+4+4=16>0$. Centre $\Omega(-1,1,-1)$, rayon $R=\dfrac{\sqrt{16}}2=2$.

2a) $\vec n(2,1,2)$, $\|\vec n\|=3$. $d(\Omega,P_1)=\dfrac{|2(-1)+1+2(-1)-3|}3=\dfrac{|-6|}3=2=R$ : $(P_1)$ est tangent à $(S)$.

2b) $\vec n(1,-2,2)$, $\|\vec n\|=3$. $d(\Omega,P_2)=\dfrac{|-1-2-2+3|}3=\dfrac23

2c) $\vec n(1,2,-1)$, $\|\vec n\|=\sqrt6$. $d(\Omega,P_3)=\dfrac{|-1+2+1+9|}{\sqrt6}=\dfrac{11}{\sqrt6}\approx4{,}49>R=2$ : $(P_3)\cap(S)=\varnothing$.

Exercice 3 — Distance point-droite et projeté orthogonal

Difficile 10 min

Soit $(\Delta): \begin{cases}x-y=1\\y+z=2\end{cases}$ et $N(-1,2,0)$.
1) Calculer $d(N,(\Delta))$.
2) Déterminer les coordonnées de $H$, projeté orthogonal de $N$ sur $(\Delta)$.

En posant $y=t$ : $x=t+1$, $z=2-t$. $(\Delta)$ passe par $A(1,0,2)$, dirigée par $\vec u(1,1,-1)$.

1) $\vec{AN}(-2,2,-2)$. $\vec{AN}\wedge\vec u=\begin{pmatrix}2(-1)-(-2)(1)\\-((-2)(-1)-(-2)(1))\\(-2)(1)-2(1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-4\\-4\end{pmatrix}$.
$\|\vec{AN}\wedge\vec u\|=\sqrt{32}=4\sqrt2$, $\|\vec u\|=\sqrt3$.
$d(N,\Delta)=\dfrac{4\sqrt2}{\sqrt3}=\dfrac{4\sqrt6}3$.

2) $H=A+t\vec u=(1+t,t,2-t)$, avec $\vec{NH}\cdot\vec u=0$ :
$\vec{NH}=(2+t,t-2,2-t)$. $(2+t)+(t-2)-(2-t)=0 \iff 3t-2=0 \iff t=\dfrac23$.
$H=\left(\dfrac53,\dfrac23,\dfrac43\right)$.

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