Fonctions exponentielles

Fonction exponentielle népérienne (réciproque de $\ln$, notation $e^x$), ses propriétés algébriques, limites usuelles, dérivée et primitives, et fonction exponentielle de base $a$.

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Fonctions exponentielles

La fonction exponentielle népérienne comme réciproque de $\ln$, notation $e^x$, propriétés algébriques, limites usuelles, dérivée de $e^x$ et $e^{u(x)}$, primitives, et fonction exponentielle de base $a$.

I. Fonction exponentielle népérienne

1. Définition et propriétés

Définition : on appelle fonction exponentielle népérienne, notée $\exp$, la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien $\ln$ :

$(\forall x \in \mathbb{R})(\forall y \in ]0,+\infty[) : \exp(x)=y \iff x=\ln(y)$.

Notation $e^x$ : pour $r \in \mathbb{Q}$, $\ln(\exp(r))=r$ et $\ln(e^r)=r\ln(e)=r$, donc $\exp(r)=e^r$. En prolongeant cette relation de $\mathbb{Q}$ à $\mathbb{R}$, on obtient : $(\forall x \in \mathbb{R}) : \exp(x)=e^x$.

Propriétés :

la fonction $\exp$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$ ;
$(\forall x \in \mathbb{R}) : e^x>0$ ;
$(\forall x \in ]0,+\infty[)(\forall y \in \mathbb{R}) : e^y=x \iff \ln(x)=y$ ;
$(\forall x \in \mathbb{R}) : \ln(e^x)=x$ et $(\forall x \in ]0,+\infty[) : e^{\ln(x)}=x$ ;
$(\forall a,b \in \mathbb{R}) : e^a>e^b \Rightarrow a>b$ ;
$(\forall a,b \in \mathbb{R}) : e^a=e^b \Rightarrow a=b$.

Propriétés algébriques : pour tous réels $x,y$ et $r \in \mathbb{Q}$ :

$e^{x+y}=e^xe^y$	$e^{x-y}=\dfrac{e^x}{e^y}$
$e^{-x}=\dfrac{1}{e^x}$	$(e^x)^r=e^{rx}$

2. Limites usuelles

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}e^x=+\infty$	$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty$	$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\dfrac{e^x}{x^n}=+\infty\ (n \in \mathbb{N}^*)$
$\displaystyle\lim_{x \to -\infty}e^x=0$	$\displaystyle\lim_{x \to -\infty}xe^x=0$	$\displaystyle\lim_{x \to -\infty}x^ne^x=0\ (n \in \mathbb{N}^*)$
$\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{e^x-1}{x}=1$

Exemple : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}(e^x-x)=\lim_{x \to +\infty}x\left(\dfrac{e^x}{x}-1\right)=+\infty$ car $\dfrac{e^x}{x} \to +\infty$.

3. Dérivée de la fonction exponentielle népérienne

En posant $f(x)=\ln(x)$ sur $]0,+\infty[$, on a $f^{-1}(x)=e^x$ sur $\mathbb{R}$, et $\left(f^{-1}\right)'(x)=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}$, d'où $(e^x)'=\dfrac{1}{1/e^x}=e^x$.

Propriété : la fonction $x \mapsto e^x$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(e^x)'=e^x$.

Propriété (composée) : si $u$ est dérivable sur $I$, alors $x \mapsto e^{u(x)}$ est dérivable sur $I$ et $\left(e^{u(x)}\right)'=u'(x)e^{u(x)}$.

Corollaire (primitives) : soit $u$ dérivable sur $I$. Les primitives de $x \mapsto u'(x)e^{u(x)}$ sur $I$ sont les fonctions $x \mapsto e^{u(x)}+c$, $c \in \mathbb{R}$.

II. Fonction exponentielle de base $a$ $(a \neq 1, a>0)$

Définition : soit $a$ un réel strictement positif et différent de $1$. La fonction réciproque de $x \mapsto \log_a(x)$ est appelée fonction exponentielle de base $a$, définie sur $\mathbb{R}$ et notée $\exp_a(x)$ ou $a^x$.

Pour $x \in \mathbb{R}$ et $y \in \mathbb{R}_+^*$ :

$a^x=y \iff x=\log_a(y) \iff x=\dfrac{\ln(y)}{\ln(a)} \iff x\ln(a)=\ln(y) \iff e^{x\ln(a)}=y$.

D'où : $\boxed{a^x=e^{x\ln(a)}}$.

Exemples : $2^x=e^{x\ln(2)}$ ; $\sqrt3^{\,x}=e^{x\ln(\sqrt3)}=e^{\frac{x}{2}\ln(3)}$.

Remarque : $(\forall x \in \mathbb{R}) : 1^x=1$.

Propriétés : pour tous réels $x,y$ et $r \in \mathbb{Q}$ :

$a^{x+y}=a^xa^y$	$a^{-x}=\dfrac{1}{a^x}$
$a^{x-y}=\dfrac{a^x}{a^y}$	$a^{rx}=(a^x)^r$

Méthode à retenir

Méthode — résoudre une équation/inéquation avec $e^x$ :

si l'équation est de la forme $e^{f(x)}=e^{g(x)}$, utiliser l'injectivité de $\exp$ : $f(x)=g(x)$ ;
si l'équation est polynomiale en $e^x$ (ex. $(e^x)^2-3e^x+2=0$), poser $t=e^x>0$ et résoudre en $t$, puis revenir à $x=\ln(t)$ ;
pour une inéquation, se rappeler que $e^x>0$ toujours, ce qui peut simplifier l'étude du signe d'un produit ou quotient.

Méthode — dérivée/primitive avec $e^{u(x)}$ : repérer la forme $u'(x)e^{u(x)}$ pour appliquer directement $(e^{u})'=u'e^{u}$ (dérivée) ou $e^{u(x)}+c$ (primitive).

Exercices

Faciles

Exercice 1 — Domaine, continuité et images

Facile 10 min

Soit $f(x)=\dfrac{3e^x}{2e^x+4}$.
1) Déterminer $D_f$ puis montrer que $f$ est continue sur $D_f$.
2) Calculer $f(0)$ et $f(\ln(2))$.

1) Comme $e^x>0$ pour tout $x$, on a $2e^x+4>4>0$ : le dénominateur ne s'annule jamais, donc $D_f=\mathbb{R}$. $f$ est un quotient de fonctions continues sur $\mathbb{R}$ dont le dénominateur ne s'annule pas : $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.

2) $f(0)=\dfrac{3e^0}{2e^0+4}=\dfrac{3}{6}=\dfrac12$.
$f(\ln2)=\dfrac{3e^{\ln2}}{2e^{\ln2}+4}=\dfrac{3\times2}{2\times2+4}=\dfrac{6}{8}=\dfrac34$.

Exercice 2 — Identité avec $e^x$ et $e^{-x}$

Facile 10 min

Montrer que $(\forall x \in \mathbb{R})$ : $\dfrac{e^x-1}{e^x+1}=\dfrac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}$.

En multipliant le numérateur et le dénominateur du membre de droite par $e^x$ :

$\dfrac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}=\dfrac{(1-e^{-x})\times e^x}{(1+e^{-x})\times e^x}=\dfrac{e^x-1}{e^x+1}$.

L'égalité est donc vérifiée pour tout $x \in \mathbb{R}$.

Moyens

Exercice 1 — Équations avec exponentielle (injectivité)

Moyen 10 min

Résoudre dans $\mathbb{R}$ :
1) $e^{1-x}=e^{x-x^2}$
2) $e^{x^2-x}=1$

1) Par injectivité de $\exp$ : $1-x=x-x^2 \iff x^2-2x+1=0 \iff (x-1)^2=0 \iff x=1$. $S=\{1\}$.

2) $e^{x^2-x}=1=e^0 \iff x^2-x=0 \iff x(x-1)=0 \iff x=0$ ou $x=1$. $S=\{0,1\}$.

Exercice 2 — Équation et inéquation avec changement de variable $t=e^x$

Moyen 10 min

Résoudre dans $\mathbb{R}$ :
1) $(e^x)^2-3e^x+2=0$
2) $(e^x)^2-3e^x+2<0$

On pose $t=e^x>0$.

1) $t^2-3t+2=0 \iff (t-1)(t-2)=0 \iff t=1$ ou $t=2$.
$e^x=1 \iff x=0$ ; $e^x=2 \iff x=\ln2$. $S=\{0,\ln2\}$.

2) $t^2-3t+2<0 \iff 1Donc $1

Exercice 3 — Simplification d'expressions exponentielles

Moyen 10 min

Simplifier :
1) $A=\dfrac{e^{2x}\times e^{3x}}{(e^x)^4}$
2) $B=(e^{2-x})^2\times e^{3x-4}$
3) $C=e^{2x}\left[(e^x+e^{-x})^2+(e^x-e^{-x})^2\right]$

1) $A=\dfrac{e^{5x}}{e^{4x}}=e^{x}$.

2) $B=e^{2(2-x)}\times e^{3x-4}=e^{4-2x}\times e^{3x-4}=e^{4-2x+3x-4}=e^{x}$.

3) $(e^x+e^{-x})^2=e^{2x}+2+e^{-2x}$ et $(e^x-e^{-x})^2=e^{2x}-2+e^{-2x}$ ; leur somme vaut $2e^{2x}+2e^{-2x}$.
$C=e^{2x}\times(2e^{2x}+2e^{-2x})=2e^{4x}+2$.

Exercice 4 — Limites usuelles avec $e^x$

Moyen 10 min

Calculer les limites suivantes :
1) $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(e^x-\sqrt x\right)$
2) $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(2x-1)e^{-x}$
3) $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{e^{2x}-1}{x}$
4) $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}2xe^{3x}$

1) $e^x-\sqrt x=\sqrt x\left(\dfrac{e^x}{\sqrt x}-1\right)\to+\infty$ car $\dfrac{e^x}{\sqrt x}\to+\infty$ (croissance comparée).

2) $(2x-1)e^{-x}=2xe^{-x}-e^{-x}\to 0-0=0$ car $xe^{-x}\to0$ et $e^{-x}\to0$.

3) $\dfrac{e^{2x}-1}{x}=2\times\dfrac{e^{2x}-1}{2x}\to2\times1=2$ (limite usuelle $\lim_{u\to0}\frac{e^u-1}{u}=1$ avec $u=2x$).

4) En posant $t=3x\to-\infty$ : $2xe^{3x}=\dfrac23\times(3x)e^{3x}=\dfrac23te^t\to\dfrac23\times0=0$.

Exercice 5 — Dérivées avec $e^{u(x)}$

Moyen 10 min

Déterminer $f'$ dans les cas suivants :
1) $f(x)=e^{x^2+3x}$
2) $f(x)=(e^{2x}-e^{-x})^2$
3) $f(x)=e^{\sqrt[3]{x}}$

1) $u(x)=x^2+3x$, $u'(x)=2x+3$ : $f'(x)=(2x+3)e^{x^2+3x}$.

2) Soit $w(x)=e^{2x}-e^{-x}$, $w'(x)=2e^{2x}+e^{-x}$. $f=w^2$ donc $f'=2ww'=2(e^{2x}-e^{-x})(2e^{2x}+e^{-x})$.

3) $u(x)=\sqrt[3]{x}=x^{1/3}$, $u'(x)=\dfrac13x^{-2/3}=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$ : $f'(x)=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\,e^{\sqrt[3]{x}}$.

Exercice 6 — Primitives avec exponentielle

Moyen 10 min

Déterminer l'ensemble des primitives de $f$ dans les cas suivants :
1) $f(x)=2e^{2x}-e^{-x}$
2) $f(x)=e^{5x+4}$
3) $f(x)=(x^2+1)e^{x^3+3x}$

1) $\left(e^{2x}\right)'=2e^{2x}$ et $\left(e^{-x}\right)'=-e^{-x}$ : les primitives sont $x\mapsto e^{2x}+e^{-x}+c$.

2) Les primitives sont $x\mapsto \dfrac15e^{5x+4}+c$.

3) $u(x)=x^3+3x$, $u'(x)=3x^2+3=3(x^2+1)$, donc $f(x)=\dfrac13u'(x)e^{u(x)}$. Les primitives sont $x\mapsto\dfrac13e^{x^3+3x}+c$.

Difficiles

Exercice 1 — Inéquations produit et quotient avec $e^x$

Difficile 10 min

Résoudre dans $\mathbb{R}$ :
1) $(e^x+2)(e^{-x+1}-4) \ge 0$
2) $\dfrac{e^x+1}{e^{-x}-e} \le 0$

1) Comme $e^x>0$ pour tout $x$, $e^x+2>0$ toujours : le signe du produit est celui de $e^{-x+1}-4$.
$e^{-x+1}-4\ge0 \iff e^{1-x}\ge4 \iff 1-x\ge\ln(4) \iff x\le1-\ln(4)=1-2\ln(2)$.
$S=]-\infty,1-2\ln(2)]$.

2) Le numérateur $e^x+1>0$ toujours : le signe de la fraction est celui de $\dfrac{1}{e^{-x}-e}$, donc du dénominateur.
$e^{-x}-e<0 \iff e^{-x}-1$.
$S=]-1,+\infty[$.

Exercice 2 — Étude complète d'une fonction avec $e^x$

Difficile 10 min

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x-\dfrac{e^x-1}{e^x+1}$.
1) Montrer que $(\forall x\in\mathbb{R})$ : $f(x)=x+1-\dfrac{2e^x}{e^x+1}$, et en déduire $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)$.
2) Montrer que $(\forall x\in\mathbb{R})$ : $f(x)=x-1+\dfrac{2}{e^x+1}$, et en déduire $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$.
3) Montrer que $f$ est impaire.
4) Montrer que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et déterminer $f'(x)$ ; en déduire le sens de variation de $f$.

1) $\dfrac{e^x-1}{e^x+1}=\dfrac{(e^x+1)-2}{e^x+1}=1-\dfrac{2}{e^x+1}$... en écrivant $-\dfrac{2}{e^x+1}$ autrement : $1-\dfrac{2e^x}{e^x+1}=\dfrac{(e^x+1)-2e^x}{e^x+1}=\dfrac{1-e^x}{e^x+1}=-\dfrac{e^x-1}{e^x+1}$.
Donc $f(x)=x-\dfrac{e^x-1}{e^x+1}=x+\left(1-\dfrac{2e^x}{e^x+1}\right)-1+1$... plus directement : $f(x)=x+1-\dfrac{2e^x}{e^x+1}$ se vérifie en développant : $x+1-\dfrac{2e^x}{e^x+1}=x+\dfrac{(e^x+1)-2e^x}{e^x+1}=x+\dfrac{1-e^x}{e^x+1}=x-\dfrac{e^x-1}{e^x+1}=f(x)$. ?
Quand $x\to-\infty$, $e^x\to0$, donc $\dfrac{2e^x}{e^x+1}\to0$, et $f(x)\to x+1\to-\infty$.

2) $x-1+\dfrac{2}{e^x+1}=x+\dfrac{-(e^x+1)+2}{e^x+1}=x+\dfrac{1-e^x}{e^x+1}=f(x)$. ?
Quand $x\to+\infty$, $e^x\to+\infty$, donc $\dfrac{2}{e^x+1}\to0$, et $f(x)\to x-1\to+\infty$.

3) $f(-x)=-x-\dfrac{e^{-x}-1}{e^{-x}+1}$. En multipliant par $e^x$ : $\dfrac{e^{-x}-1}{e^{-x}+1}=\dfrac{1-e^x}{1+e^x}=-\dfrac{e^x-1}{e^x+1}$.
Donc $f(-x)=-x+\dfrac{e^x-1}{e^x+1}=-\left(x-\dfrac{e^x-1}{e^x+1}\right)=-f(x)$ : $f$ est impaire.

4) $f$ est dérivable comme somme/quotient de fonctions dérivables (dénominateur $e^x+1>0$ jamais nul).
$f'(x)=1-\dfrac{e^x(e^x+1)-(e^x-1)e^x}{(e^x+1)^2}=1-\dfrac{2e^x}{(e^x+1)^2}=\dfrac{(e^x+1)^2-2e^x}{(e^x+1)^2}=\dfrac{e^{2x}+1}{(e^x+1)^2}$.
Comme $e^{2x}+1>0$ toujours, $f'(x)>0$ pour tout $x$ : $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Exercice 3 — Puissances de base $a$ avec logarithme

Difficile 10 min

Montrer que $\dfrac{9^{\frac{2}{\ln(3)}}\times8^{\frac{3}{\ln(4)}}}{25^{\frac{4}{\ln(5)}}}=\sqrt{e}$.

On utilise $a^x=e^{x\ln(a)}$.

$9^{\frac{2}{\ln3}}=e^{\frac{2}{\ln3}\times\ln9}=e^{\frac{2}{\ln3}\times2\ln3}=e^{4}$ (car $\ln9=2\ln3$).

$8^{\frac{3}{\ln4}}=e^{\frac{3}{\ln4}\times\ln8}=e^{\frac{3}{2\ln2}\times3\ln2}=e^{\frac92}$ (car $\ln8=3\ln2$, $\ln4=2\ln2$).

$25^{\frac{4}{\ln5}}=e^{\frac{4}{\ln5}\times\ln25}=e^{\frac{4}{\ln5}\times2\ln5}=e^{8}$ (car $\ln25=2\ln5$).

Donc l'expression vaut $\dfrac{e^4\times e^{9/2}}{e^8}=e^{4+\frac92-8}=e^{\frac12}=\sqrt e$.

Quiz — Quiz — Fonctions exponentielles (20 questions)

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