Généralités sur les fonctions numériques

Fonctions majorées, minorées, bornées, extremums, périodicité, comparaison de fonctions, image d'un intervalle, monotonie et composée de fonctions.

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Objectifs du chapitre

Étudier la majoration, la minoration et la périodicité d'une fonction.
Comparer deux fonctions et interpréter graphiquement.
Déterminer l'image d'un intervalle par une fonction.
Étudier la monotonie d'une fonction et de ses transformées.
Calculer et étudier une fonction composée.

Généralités sur les fonctions numériques

Fonctions majorées/minorées/bornées, extremums, fonctions périodiques, comparaison de fonctions, image d'un intervalle, monotonie, composée de fonctions, représentation de x↦ax³ et x↦√(x+a).

I. Fonction majorée, minorée, bornée — extremums

Définitions : $f$ définie sur $I$ est majorée sur $I$ s'il existe $M\in\mathbb R$ tel que $(\forall x\in I):f(x)\le M$ ; minorée s'il existe $m$ tel que $f(x)\ge m$ ; bornée si elle est majorée et minorée.

Remarque : si $f$ est majorée par $M$, $(C_f)$ est au-dessous de la droite $y=M$ ; si minorée par $m$, $(C_f)$ est au-dessus de $y=m$.

Propriété : $f$ est bornée sur $I\iff(\exists k\in\mathbb R_+^*):|f(x)|\le k$ pour tout $x\in I$.

Extremums : $f(a)$ est le maximum de $f$ sur $I$ si $(\forall x\in I):f(x)\le f(a)$ ; c'est le minimum si $f(x)\ge f(a)$ ; un extremum est un maximum ou un minimum.

II. Fonctions périodiques

Définition : $f$ définie sur $D$ est périodique de période $T$ ($T>0$) si $x+T\in D$ et $f(x+T)=f(x)$ pour tout $x\in D$.

Exemples : $\sin$ et $\cos$ sont $2\pi$-périodiques ; $\tan$ est $\pi$-périodique.

III. Comparaison de deux fonctions

Définitions : $f$ et $g$ définies sur $D$ sont égales sur $D$ si $(\forall x\in D):f(x)=g(x)$ ; $f$ est supérieure ou égale à $g$ (noté $f\ge g$) si $(\forall x\in D):f(x)\ge g(x)$.

Interprétation graphique : si $f>g$ sur $D$, $(C_f)$ est strictement au-dessus de $(C_g)$ ; si $f\le g$, $(C_f)$ est au-dessous de $(C_g)$ ; si $f\ge0$, $(C_f)$ est au-dessus de l'axe des abscisses ; si $f\le0$, en dessous.

IV. Image d'un intervalle par une fonction

Définition : $f(I)=\{f(x)\ /\ x\in I\}$.

Technique (sur $[a,b]$) : si $f$ est croissante sur $[a,b]$, $f([a,b])=[f(a);f(b)]$ ; si décroissante, $f([a,b])=[f(b);f(a)]$ ; si $f$ change de monotonie, $f([a,b])=[m;M]$ où $m,M$ sont les valeurs minimale et maximale de $f$ sur $[a,b]$.

V. Monotonie d'une fonction numérique

Propriété : pour $f$ définie sur $I$ et $\lambda\in\mathbb R$, $k\in\mathbb R$ :

$f$ et $f+k$ ont le même sens de variation sur $I$. Si $\lambda>0$, $f$ et $\lambda f$ ont le même sens de variation. Si $\lambda<0$, $f$ et $\lambda f$ ont des sens de variation contraires.

VI. Composée de deux fonctions numériques

Définition : pour $g$ définie sur $J$, $f$ définie sur $I$ telle que $(\forall x\in I):f(x)\in J$, la composée $g\circ f$ est définie sur $I$ par $(g\circ f)(x)=g(f(x))$.

Remarques : $x\in D_{g\circ f}\iff x\in D_f$ et $f(x)\in D_g$. En général, $g\circ f\ne f\circ g$.

Propriété (monotonie de la composée) : pour $f$ définie sur $I$, $g$ sur $J$, avec $f(I)\subset J$ : si $f$ et $g$ ont le même sens de variation, $g\circ f$ est croissante sur $I$ ; si des sens contraires, $g\circ f$ est décroissante sur $I$.

VII. Représentation graphique de $x\mapsto ax^3$ et $x\mapsto\sqrt{x+a}$

Fonction $x\mapsto ax^3$ ($a\ne0$) : impaire. Si $a>0$, elle est croissante sur $\mathbb R$ ; si $a<0$, elle est décroissante sur $\mathbb R$.

Fonction $x\mapsto\sqrt{x+a}$ : définie sur $D_f=[-a;+\infty[$, strictement croissante sur cet intervalle.

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Exercices

Faciles

Exercice 1 — Domaines et majoration/minoration

Facile 15 min

Soient $f(x)=3-\sqrt{1-2x}$ et $g(x)=\sqrt{x^2+4}$. 1. Déterminer $D_f$ et $D_g$. 2. Montrer que $f$ est majorée par $3$ sur $D_f$. 3. Montrer que $g$ est minorée par $2$ sur $D_g$.

1. $D_f$ : il faut $1-2x\ge0\iff x\le\frac12$, donc $D_f=\left]-\infty;\frac12\right]$. $D_g=\mathbb R$ (car $x^2+4>0$ toujours).

2. $f(x)-3=-\sqrt{1-2x}\le0$ car $\sqrt{1-2x}\ge0$. Donc $f(x)\le3$ pour tout $x\in D_f$ : $f$ est majorée par $3$.

3. $g(x)^2=x^2+4\ge4$, et $g(x)\ge0$, donc $g(x)\ge\sqrt4=2$ pour tout $x$ : $g$ est minorée par $2$.

Exercice 2 — Application du sens de variation de $x\mapsto\sqrt{x+a}$ et $x\mapsto ax^3$

Facile 10 min

Soient $f(x)=\sqrt{x+2}$ et $g(x)=-x^3$. Étudier les variations de $f$ et de $g$.

$f(x)=\sqrt{x+2}$ est de la forme $\sqrt{x+a}$ avec $a=2$ : $D_f=[-2;+\infty[$ et $f$ est strictement croissante sur $[-2;+\infty[$.

$g(x)=-x^3$ est de la forme $ax^3$ avec $a=-1<0$ : $g$ est décroissante sur $\mathbb R$.

Moyens

Exercice 1 — Fonction bornée par une constante

Moyen 10 min

Soit $f$ définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=2\sin(x)+\cos(x)$. Montrer que $(\forall x\in\mathbb R):|f(x)|\le3$.

Par l'inégalité triangulaire : $|f(x)|=|2\sin(x)+\cos(x)|\le2|\sin(x)|+|\cos(x)|$.

Exercice 2 — Fonctions périodiques

Moyen 10 min

Montrer que les fonctions $f(x)=\cos^2(x)$ et $g(x)=\sin(2\pi x)$ sont périodiques de périodes respectives $\pi$ et $1$.

$f(x+\pi)=\cos^2(x+\pi)=(-\cos x)^2=\cos^2(x)=f(x)$ : $f$ est $\pi$-périodique.

$g(x+1)=\sin(2\pi(x+1))=\sin(2\pi x+2\pi)=\sin(2\pi x)=g(x)$ : $g$ est $1$-périodique.

Exercice 3 — Comparaison de deux fonctions par étude de signe

Moyen 15 min

Soient $f(x)=x^2-2x+1$ et $g(x)=-2x^2+4x+1$, définies sur $\mathbb R$. 1. Étudier le signe de $f(x)-g(x)$. 2. En déduire une comparaison entre $f$ et $g$.

1. $f(x)-g(x)=x^2-2x+1-(-2x^2+4x+1)=3x^2-6x=3x(x-2)$.

Ce trinôme s'annule en $x=0$ et $x=2$, positif à l'extérieur, négatif entre les racines.

2. $f\ge g$ sur $]-\infty;0]\cup[2;+\infty[$, et $f\le g$ sur $[0;2]$ (avec égalité en $x=0$ et $x=2$).

Exercice 4 — Image d'un intervalle (technique de monotonie)

Moyen 10 min

Soit $f(x)=x^2-4x+5$ sur $[1;4]$. Sachant que $f$ est décroissante sur $[1;2]$ et croissante sur $[2;4]$, déterminer $f([1;4])$.

$f(x)=(x-2)^2+1$. Le minimum sur $[1;4]$ est atteint en $x=2$ : $f(2)=1$.

Les valeurs aux bornes : $f(1)=1-4+5=2$ et $f(4)=16-16+5=5$. Le maximum est donc $5$.

Comme $f$ change de monotonie sur $[1;4]$ : $f([1;4])=[1;5]$.

Difficiles

Exercice 1 — Étude complète de monotonie et effet des transformations

Difficile 25 min

Soit $f(x)=\dfrac1{x^2+1}$. 1. Déterminer $D_f$. 2. Étudier la parité de $f$. 3. Montrer que pour $a,b\in[0;+\infty[$ : $\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}=-\dfrac{a+b}{(a^2+1)(b^2+1)}$. 4. Étudier la monotonie de $f$ sur $[0;+\infty[$ puis sur $]-\infty;0]$. 5. Étudier la monotonie de $3f$, $-2f$ et $f+3$ sur $[0;+\infty[$.

1. $x^2+1>0$ pour tout $x$, donc $D_f=\mathbb R$.

2. $f(-x)=\dfrac1{(-x)^2+1}=\dfrac1{x^2+1}=f(x)$ : $f$ est paire, $(C_f)$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

3. $f(a)-f(b)=\dfrac1{a^2+1}-\dfrac1{b^2+1}=\dfrac{(b^2+1)-(a^2+1)}{(a^2+1)(b^2+1)}=\dfrac{-(a-b)(a+b)}{(a^2+1)(b^2+1)}$. En divisant par $(a-b)$ : $\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}=-\dfrac{a+b}{(a^2+1)(b^2+1)}$.

4. Pour $a,b\in[0;+\infty[$, $a+b\ge0$ donc le taux d'accroissement est $\le0$ : $f$ est décroissante sur $[0;+\infty[$. Comme $f$ est paire, elle est croissante sur $]-\infty;0]$.

5. $f$ décroissante sur $[0;+\infty[$ : $3f$ (coefficient $3>0$) est décroissante ; $-2f$ (coefficient $-2<0$) est croissante ; $f+3$ (même sens que $f$) est décroissante sur $[0;+\infty[$.

Exercice 2 — Fonction composée — domaine et expression

Difficile 20 min

Soient $f(x)=\dfrac1x$ et $g(x)=\dfrac{2x+3}{3x-6}$. a. Déterminer $D_f$, $D_g$ et $D_{g\circ f}$. b. Donner l'expression de $g\circ f$.

a. $D_f=\mathbb R^*$. $D_g$ : $3x-6\ne0\iff x\ne2$, donc $D_g=\mathbb R\setminus\{2\}$.

$x\in D_{g\circ f}\iff x\in D_f$ et $f(x)\in D_g\iff x\ne0$ et $\dfrac1x\ne2\iff x\ne0$ et $x\ne\dfrac12$. Donc $D_{g\circ f}=\mathbb R\setminus\left\{0;\dfrac12\right\}$.

b. $(g\circ f)(x)=g\left(\dfrac1x\right)=\dfrac{2/x+3}{3/x-6}=\dfrac{2+3x}{3-6x}$ (en multipliant numérateur et dénominateur par $x$).

Quiz — Quiz — Généralités sur les fonctions numériques (20 questions)

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