Étude de fonction numérique

Branches infinies (asymptotes, branches paraboliques), concavité et point d'inflexion, éléments de symétrie d'une courbe.

Se connecter pour suivre sa progression

Objectifs du chapitre

Déterminer les asymptotes horizontales, verticales et obliques d'une courbe.
Reconnaître et étudier les branches paraboliques.
Étudier la concavité d'une courbe et déterminer ses points d'inflexion.
Montrer qu'une droite ou un point est un élément de symétrie d'une courbe.

Étude de fonction numérique

Branches infinies (asymptotes verticale, horizontale, oblique, branches paraboliques), concavité et point d'inflexion, axe et centre de symétrie d'une courbe.

I. Branches infinies

Définition : si $x$ ou $f(x)$ tend vers l'infini pour $M(x,f(x))\in(C_f)$, on dit que $(C_f)$ admet une branche infinie.

1. Asymptote verticale — asymptote horizontale

Définition : si $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=b$, $(C_f)$ admet une asymptote horizontale d'équation $y=b$. Si $\lim\limits_{x\to a}f(x)=\infty$, $(C_f)$ admet une asymptote verticale d'équation $x=a$.

2. Asymptote oblique

Définition : si $\lim\limits_{x\to+\infty}\big(f(x)-(ax+b)\big)=0$ (ou en $-\infty$), la droite $y=ax+b$ est une asymptote oblique de $(C_f)$.

Propriété (caractérisation) : $y=ax+b$ est asymptote oblique au voisinage de $\infty$ si et seulement si : $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\infty$ ; $\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}x=a$ ; $\lim\limits_{x\to\infty}\big(f(x)-ax\big)=b$.

3. Position relative de $(C_f)$ et de l'asymptote oblique

On étudie le signe de $f(x)-(ax+b)$ : si $>0$, $(C_f)$ est au-dessus de $(\Delta)$ ; si $<0$, au-dessous ; si $=0$, $(C_f)$ coupe $(\Delta)$.

4. Branche parabolique

Si $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\infty$ :

• Si $\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}x=0$ : branche parabolique orientée vers l'axe des abscisses.

• Si $\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}x=\infty$ : branche parabolique orientée vers l'axe des ordonnées.

• Si $\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}x=a$ (fini, non nul) et $\lim\limits_{x\to\infty}\big(f(x)-ax\big)=\infty$ : branche parabolique orientée vers la droite $y=ax$.

II. Concavité d'une courbe — point d'inflexion

Définitions : $(C_f)$ est convexe sur $I$ si elle est au-dessus de ses tangentes ; concave si elle est au-dessous de ses tangentes. $A(a,f(a))$ est un point d'inflexion si $(C_f)$ change de concavité de part et d'autre de $a$.

Propriété : pour $f$ deux fois dérivable sur $I$ : si $(\forall x\in I):f''(x)\ge0$, $(C_f)$ est convexe sur $I$ ; si $f''(x)\le0$, $(C_f)$ est concave sur $I$ ; si $f''$ s'annule et change de signe en $a$, alors $A(a,f(a))$ est un point d'inflexion.

III. Éléments de symétrie d'une courbe

1. Axe de symétrie

Propriété : la droite $x=a$ est un axe de symétrie de $(C_f)$ (avec $f$ définie sur $D$) si et seulement si : $(\forall x\in D):(2a-x)\in D$ et $f(2a-x)=f(x)$.

2. Centre de symétrie

Propriété : le point $I(a,b)$ est centre de symétrie de $(C_f)$ si et seulement si : $(\forall x\in D):(2a-x)\in D$ et $f(2a-x)+f(x)=2b$.

Exercices

Moyens

Exercice 1 — Asymptotes horizontale et verticale

Moyen 15 min

1. Soit $h(x)=3+\dfrac{x+1}{x^2+3}$ sur $\mathbb R$. Calculer $\lim\limits_{x\to+\infty}h(x)$ et $\lim\limits_{x\to-\infty}h(x)$, puis interpréter graphiquement. 2. Soit $g(x)=\dfrac{x+5}{(x+2)^2}$. Calculer $\lim\limits_{x\to-2}g(x)$, puis interpréter.

1. $\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{x+1}{x^2+3}=0$ (degré du dénominateur supérieur), donc $\lim\limits_{x\to\pm\infty}h(x)=3$. La droite $y=3$ est asymptote horizontale de $(C_h)$ en $+\infty$ et en $-\infty$.

2. Quand $x\to-2$ : le numérateur $\to3$ et le dénominateur $(x+2)^2\to0^+$ (toujours positif), donc $\lim\limits_{x\to-2}g(x)=+\infty$. La droite $x=-2$ est asymptote verticale de $(C_g)$.

Exercice 2 — Lecture d'un tableau de variations — asymptotes

Moyen 15 min

Soit $f$ une fonction dont le tableau de variations indique : $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=1$, $\lim\limits_{x\to0^-}f(x)=+\infty$, $\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=+\infty$ (puis $f$ décroît jusqu'à $\lim\limits_{x\to2^-}f(x)=-\infty$), $\lim\limits_{x\to2^+}f(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=1$. a. Déterminer $D_f$. b. Interpréter graphiquement les limites aux bornes.

a. $f$ n'est pas définie en $0$ et en $2$ (limites infinies de part et d'autre) : $D_f=\mathbb R\setminus\{0;2\}$.

b. $\lim\limits_{x\to-\infty}f=1$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f=1$ : la droite $y=1$ est asymptote horizontale en $-\infty$ et en $+\infty$.

$\lim\limits_{x\to0^-}f=\lim\limits_{x\to0^+}f=+\infty$ : la droite $x=0$ est asymptote verticale.

$\lim\limits_{x\to2^-}f=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to2^+}f=+\infty$ : la droite $x=2$ est asymptote verticale.

Exercice 3 — Asymptote oblique — détermination directe

Moyen 15 min

Soit $f(x)=\dfrac{x^2-3x+1}{x-1}$. 1. Déterminer $D_f$. 2. Montrer que la droite $y=x-2$ est une asymptote oblique de $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$.

1. $D_f=\mathbb R\setminus\{1\}$.

2. Division : $x^2-3x+1=(x-1)(x-2)-1$, donc $f(x)=(x-2)-\dfrac1{x-1}$.

$\lim\limits_{x\to+\infty}\big(f(x)-(x-2)\big)=\lim\limits_{x\to+\infty}-\dfrac1{x-1}=0$. Donc $y=x-2$ est asymptote oblique de $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$ (et de $-\infty$ par le même calcul).

Exercice 4 — Concavité et point d'inflexion

Moyen 15 min

Soit $f(x)=x^3-6x^2+9x+2$ sur $\mathbb R$. Étudier la concavité de $(C_f)$ et déterminer les coordonnées de son point d'inflexion.

$f'(x)=3x^2-12x+9$, donc $f''(x)=6x-12=6(x-2)$.

$f''(x)=0\iff x=2$. $f''(x)<0$ pour $x<2$ (concave) et $f''(x)>0$ pour $x>2$ (convexe).

$f''$ change de signe en $x=2$ : $A(2,f(2))$ est point d'inflexion. $f(2)=8-24+18+2=4$. Point d'inflexion : $A(2;4)$.

Exercice 5 — Axe de symétrie (2 cas)

Moyen 15 min

Montrer que la droite $x=a$ est axe de symétrie de $(C_f)$ dans les cas suivants : a) $f(x)=x^2+x+1$, $a=-\dfrac12$. b) $f(x)=\sqrt{x^2-2x+3}$, $a=1$.

a. $D_f=\mathbb R$. $f(2a-x)=f(-1-x)=(-1-x)^2+(-1-x)+1=(1+2x+x^2)-1-x+1=x^2+x+1=f(x)$. Donc $x=-\frac12$ est axe de symétrie.

b. $x^2-2x+3$ a un discriminant négatif, toujours positif : $D_f=\mathbb R$. $f(2-x)=\sqrt{(2-x)^2-2(2-x)+3}=\sqrt{4-4x+x^2-4+2x+3}=\sqrt{x^2-2x+3}=f(x)$. Donc $x=1$ est axe de symétrie.

Difficiles

Exercice 1 — Asymptote oblique et position relative

Difficile 20 min

Soit $g(x)=\dfrac{2x^2+3x-1}{x+2}$. 1. Déterminer $D_g$. 2. Montrer que $(C_g)$ admet une asymptote oblique $(D):y=ax+b$ en $+\infty$, en déterminant $a$ et $b$. 3. Déterminer la position relative de $(D)$ et $(C_g)$.

1. $D_g=\mathbb R\setminus\{-2\}$.

2. Division : $2x^2+3x-1=(x+2)(2x-1)+1$, donc $g(x)=2x-1+\dfrac1{x+2}$. Comme $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac1{x+2}=0$, la droite $y=2x-1$ est asymptote oblique : $a=2$, $b=-1$.

3. $g(x)-(2x-1)=\dfrac1{x+2}$. Ce quotient est positif si $x>-2$ ($C_g$ au-dessus de $(D)$) et négatif si $x<-2$ ($C_g$ au-dessous de $(D)$).

Exercice 2 — Branches paraboliques (3 cas)

Difficile 20 min

Étudier les branches infinies de $f$ au voisinage de $+\infty$ dans les cas suivants : 1. $f(x)=2x^3-x$. 2. $f(x)=\sqrt{2x+1}$. 3. $f(x)=\dfrac x2+\sqrt x$.

1. $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$. $\dfrac{f(x)}x=2x^2-1\to+\infty$. Branche parabolique orientée vers l'axe des ordonnées.

2. $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$. $\dfrac{f(x)}x=\dfrac{\sqrt{2x+1}}x\to0$ (numérateur en $\sqrt x$, dénominateur en $x$). Branche parabolique orientée vers l'axe des abscisses.

3. $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$. $\dfrac{f(x)}x=\dfrac12+\dfrac1{\sqrt x}\to\dfrac12$, donc $a=\dfrac12$. Puis $f(x)-\dfrac x2=\sqrt x\to+\infty$. Branche parabolique orientée vers la droite $y=\dfrac x2$.

Exercice 3 — Centre de symétrie (3 cas)

Difficile 20 min

Montrer que $I(a,b)$ est centre de symétrie de $(C_f)$ dans les cas suivants : a) $f(x)=-x^3+3x^2$, $I(1;2)$. b) $f(x)=\dfrac{x^2-2}{x+1}$, $I(-1;-2)$. c) $f(x)=\dfrac{x-1}{2x+1}$, $I\left(-\dfrac12;\dfrac12\right)$.

a. $f(2-x)=-(2-x)^3+3(2-x)^2=x^3-3x^2+4$. Somme : $f(2-x)+f(x)=(x^3-3x^2+4)+(-x^3+3x^2)=4=2\times2$. Donc $I(1;2)$ est centre de symétrie.

b. $f(-2-x)=\dfrac{(-2-x)^2-2}{-1-x}=\dfrac{x^2+4x+2}{-(x+1)}$. Somme : $f(-2-x)+f(x)=\dfrac{-(x^2+4x+2)+(x^2-2)}{x+1}=\dfrac{-4x-4}{x+1}=-4=2\times(-2)$. Donc $I(-1;-2)$ est centre de symétrie.

c. $f(-1-x)=\dfrac{(-1-x)-1}{2(-1-x)+1}=\dfrac{-2-x}{-1-2x}=\dfrac{2+x}{1+2x}$. Somme : $f(-1-x)+f(x)=\dfrac{(2+x)+(x-1)}{2x+1}=\dfrac{2x+1}{2x+1}=1=2\times\dfrac12$. Donc $I\left(-\frac12;\frac12\right)$ est centre de symétrie.

Quiz — Quiz — Étude de fonction numérique (20 questions)

Commentaires (0)

Connecte-toi pour laisser un commentaire.