Vecteurs et translation

Notion de vecteur, somme de deux vecteurs et relation de Chasles, translation, coordonnées d'un vecteur dans un repère.

Objectifs du chapitre

Manipuler la notion de vecteur (direction, sens, norme).
Utiliser la relation de Chasles pour simplifier une somme de vecteurs.
Connaître les propriétés de la translation.
Calculer les coordonnées d'un vecteur dans un repère.

Vecteurs et translation

Notion de vecteur, relation de Chasles, translation et ses propriétés, coordonnées d'un vecteur.

I. Notion de vecteur

Définition : à tout couple de points $(A;B)$ du plan, on associe le vecteur $\overrightarrow{AB}$, caractérisé par sa direction (celle de la droite $(AB)$), son sens (de $A$ vers $B$) et sa norme $\|\overrightarrow{AB}\|$, égale à la distance $AB$.

Remarque : $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\iff ABDC$ est un parallélogramme (ou $A,B,D,C$ alignés avec même sens et longueur).

II. Somme de deux vecteurs

Relation de Chasles : pour tous points $A,B,C$ : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

III. La translation

Définition : pour $\vec u$ un vecteur donné, la translation de vecteur $\vec u$ associe à tout point $M$ le point $M'$ tel que $\overrightarrow{MM'}=\vec u$.

Propriétés : la translation conserve les longueurs, les angles, le parallélisme et les aires. L'image d'une droite est une droite parallèle ; l'image d'un segment est un segment de même longueur ; l'image d'un cercle de rayon $r$ est un cercle de même rayon.

IV. Coordonnées d'un vecteur

Propriété : dans un repère $(O;I,J)$, si $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$, alors $\overrightarrow{AB}(x_B-x_A;\,y_B-y_A)$.

Exemple : $A(1;2)$, $B(4;-1)$ : $\overrightarrow{AB}(4-1;-1-2)=(3;-3)$.

Exercices

Moyens

Exercice 1 — Simplifier des sommes de vecteurs

Moyen 15 min

ABCD est un parallélogramme de centre O. Simplifier les expressions suivantes : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ ; $\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}$ ; $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}$.

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ (relation de Chasles) — appliquée ici avec $\overrightarrow{AD}$ à la place de $\overrightarrow{BC}$ (car $ABCD$ parallélogramme, $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$) : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$.

$\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{AB}$ (relation de Chasles).

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}$.

Exercice 2 — Coordonnées et norme de vecteurs

Moyen 15 min

Dans un repère $(O;I,J)$, on donne $A(1;-2)$, $B(3;4)$ et $C(-1;5)$. 1. Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BC}$. 2. Calculer la norme du vecteur $\overrightarrow{AB}$.

1. $\overrightarrow{AB}=(3-1;4-(-2))=(2;6)$. $\overrightarrow{AC}=(-1-1;5-(-2))=(-2;7)$. $\overrightarrow{BC}=(-1-3;5-4)=(-4;1)$.

2. $\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx6{,}32$.

Exercice 3 — Déterminer le vecteur d'une translation et l'image d'un point

Moyen 15 min

Soit $t$ la translation qui transforme $A(2;1)$ en $A'(5;-2)$. 1. Déterminer les coordonnées du vecteur de la translation $t$. 2. Déterminer les coordonnées de l'image $B'$ du point $B(-1;3)$ par $t$.

1. Vecteur de translation $=\overrightarrow{AA'}=(5-2;-2-1)=(3;-3)$.

2. $B'=B+(3;-3)=(-1+3;3-3)=(2;0)$.

Difficiles

Exercice 1 — Image d'un triangle par une translation

Difficile 15 min

ABC est un triangle. Soit $t$ la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$. Construire l'image du triangle ABC par $t$, puis préciser la nature du quadrilatère formé par $A$, $B$ et les images de $B$ et $C$.

La translation $t$ de vecteur $\overrightarrow{AB}$ transforme $A$ en $B$ (car $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}$). Elle transforme le triangle $ABC$ en un triangle $BB'C'$, où $B'=t(B)$ et $C'=t(C)$.

Comme $t$ conserve la direction, le sens et la longueur du vecteur de translation, le quadrilatère $ABB'A$ formé (où l'on retrouve le déplacement de $A$ vers $B$ répété identiquement) illustre les propriétés de la translation : $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{CC'}$.

Exercice 2 — Démontrer que les diagonales d'un parallélogramme ont le même milieu

Difficile 15 min

ABCD est un parallélogramme. Montrer, en utilisant les vecteurs, que les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ ont le même milieu.

$ABCD$ est un parallélogramme, donc $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, ce qui signifie que $D=A+(C-B)$, soit $A+C=B+D$.

On en déduit que $\dfrac{A+C}2=\dfrac{B+D}2$, c'est-à-dire que le milieu de $[AC]$ est le même que le milieu de $[BD]$.

Quiz — Quiz — Vecteurs et translation (12 questions)

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