La rotation

Définition et propriétés de la rotation, angle au centre et rotation dans un polygone régulier.

Objectifs du chapitre

Connaître la définition d'une rotation (centre, angle, sens).
Connaître les propriétés conservées par une rotation.
Déterminer l'angle d'une rotation dans un polygone régulier.

La rotation

Définition de la rotation, ses propriétés, angle au centre dans un polygone régulier.

I. Définition de la rotation

Définition : pour $O$ un point du plan et $\alpha$ un angle donné (avec un sens : direct ou indirect), la rotation de centre $O$ et d'angle $\alpha$ associe à tout point $M$ le point $M'$ tel que $OM'=OM$ et l'angle $M\hat OM'$ mesure $\alpha$, dans le sens choisi.

Le point $O$ est invariant par cette rotation (son image est lui-même).

Exemple : la rotation de centre $O$ et d'angle $90°$ dans le sens direct transforme $M$ en $M'$ tel que $OM=OM'$ et $M\hat OM'=90°$ (sens direct = contraire des aiguilles d'une montre).

II. Propriétés de la rotation

Propriétés : la rotation conserve les longueurs, les angles et les aires. L'image d'un segment est un segment de même longueur ; l'image d'une droite est une droite ; l'image d'un cercle de centre $I$ et de rayon $r$ est un cercle de même rayon $r$, de centre l'image de $I$.

III. Angle au centre et rotation dans un polygone régulier

Propriété : dans un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans un cercle de centre $O$, la rotation de centre $O$ et d'angle $\dfrac{360°}n$ transforme chaque sommet en le sommet suivant.

Exemple : dans un hexagone régulier $ABCDEF$ de centre $O$, la rotation de centre $O$ et d'angle $60°$ ($=360°/6$) transforme $A$ en $B$, $B$ en $C$, etc.

Exercices

Faciles

Exercice 1 — Déterminer l'angle d'une rotation dans un triangle isocèle

Facile 10 min

ABC est un triangle isocèle en A tel que l'angle $\hat{BAC}=40°$. La rotation de centre A transforme B en C. Déterminer l'angle de cette rotation (sens direct).

Comme $AB=AC$ (triangle isocèle en $A$) et que l'angle $\hat{BAC}=40°$, la rotation de centre $A$ et d'angle $40°$ (sens direct) transforme $B$ en $C$.

Moyens

Exercice 1 — Construire l'image d'un triangle par une rotation

Moyen 15 min

Construire l'image d'un triangle ABC par la rotation de centre O (un point extérieur au triangle) et d'angle 90° dans le sens direct.

On trace $OA'=OA$, $OB'=OB$, $OC'=OC$ (les images), en reportant un angle de $90°$ dans le sens direct depuis chaque point, à la même distance de $O$ que le point d'origine. On obtient le triangle $A'B'C'$, image de $ABC$.

Exercice 2 — Déterminer l'angle d'une rotation dans un carré

Moyen 15 min

ABCD est un carré de centre O (orienté dans le sens direct). Déterminer l'angle et le sens de la rotation de centre O qui transforme : 1. A en B. 2. A en C. 3. A en D.

1. $A\to B$ : rotation d'angle $90°$ (sens direct).

2. $A\to C$ : rotation d'angle $180°$.

3. $A\to D$ : rotation d'angle $270°$ (ou $90°$ dans le sens indirect).

Exercice 3 — Rotation et nature d'un triangle dans un hexagone régulier

Moyen 15 min

Un hexagone régulier ABCDEF a pour centre O. 1. Quelle rotation de centre O transforme A en D ? 2. Quelle est la nature du triangle OAB ?

1. La rotation de centre $O$ qui transforme $A$ en $D$ est celle d'angle $3\times60°=180°$ ($D$ est le sommet opposé à $A$ dans l'hexagone).

2. Comme $OA=OB$ (rayons du cercle circonscrit égaux au côté de l'hexagone régulier) et que l'angle $A\hat OB=60°$, le triangle $OAB$ est équilatéral.

Exercice 4 — Composer deux rotations de même centre

Moyen 10 min

Soit r la rotation de centre O et d'angle 50° dans le sens direct. r transforme un point M en un point M′, et transforme M′ en un point M″. Quel est l'angle de la rotation qui transforme directement M en M″ ?

La composition de deux rotations de même centre $O$ et d'angles $50°$ chacune (sens direct) est une rotation de centre $O$ et d'angle $50°+50°=100°$ (sens direct).

Quiz — Quiz — La rotation (12 questions)

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