Systèmes d'équations

I. Notion de système de deux équations

Définition : un système de deux équations à deux inconnues $x$ et $y$ est de la forme $\{ax+by=c\ ;\ a'x+b'y=c'\}$. Résoudre ce système, c'est trouver tous les couples $(x;y)$ qui vérifient à la fois les deux équations.

II. Résolution par substitution

Méthode : 1) exprimer une inconnue en fonction de l'autre à partir d'une équation ; 2) remplacer cette expression dans la deuxième équation ; 3) résoudre l'équation à une inconnue obtenue, puis en déduire l'autre inconnue.

Exemple : $\{y=2x-1\ ;\ 3x+y=9\}$. En remplaçant : $3x+(2x-1)=9\iff5x=10\iff x=2$, puis $y=3$. Solution : $(2;3)$.

III. Résolution par combinaison linéaire

Méthode : 1) multiplier une ou les deux équations pour que les coefficients d'une même inconnue soient opposés (ou égaux) ; 2) additionner (ou soustraire) membre à membre pour éliminer cette inconnue ; 3) résoudre l'équation obtenue, puis en déduire la deuxième inconnue.

Exemple : $\{2x+3y=8\ ;\ 2x-y=0\}$. En soustrayant : $4y=8\iff y=2$, puis $2x=y=2\iff x=1$. Solution : $(1;2)$.

IV. Problèmes se ramenant à un système

Exemple : deux stylos et trois cahiers coûtent 38 dh ; un stylo et un cahier coûtent 15 dh. En notant $x$ le prix d'un stylo et $y$ celui d'un cahier : $\{2x+3y=38\ ;\ x+y=15\}$, dont la résolution donne $x=7$ et $y=8$.