Puissances

I. Puissance d'un nombre rationnel

Définition : pour $a$ rationnel non nul et $n$ entier naturel $\ge2$ : $a^n=a\times a\times\ldots\times a$ ($n$ facteurs). $a$ est la base, $n$ l'exposant. On a $a^1=a$ et $a^0=1$ (pour $a\ne0$).

Exemple : $(-3)^4=(-3)\times(-3)\times(-3)\times(-3)=81$.

Règle des signes : si $n$ est pair, $a^n$ est positif ; si $n$ est impair, $a^n$ est du même signe que $a$.

II. Puissances d'exposant négatif

Définition : pour $a$ rationnel non nul et $n$ entier naturel non nul : $a^{-n}=\dfrac1{a^n}$.

Exemple : $2^{-3}=\dfrac1{2^3}=\dfrac18$ et $(-5)^{-2}=\dfrac1{(-5)^2}=\dfrac1{25}$.

III. Opérations sur les puissances

Propriétés : pour $a$ rationnel non nul, $n,p$ entiers relatifs :

$a^n\times a^p=a^{n+p}$   ;   $a^n\div a^p=a^{n-p}$   ;   $(a^n)^p=a^{n\times p}$

$(a\times b)^n=a^n\times b^n$   ;   $\left(\dfrac ab\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}$ ($b\ne0$)

Exemple : $2^3\times2^5=2^8=256$ ; $(3^2)^4=3^8$ ; $(2\times5)^3=2^3\times5^3=1000$.

IV. Puissances de 10 et notation scientifique

Propriété : pour $n\in\mathbb N$ : $10^n$ = 1 suivi de $n$ zéros ; $10^{-n}=\dfrac1{10^n}$.

Définition (notation scientifique) : un nombre décimal positif s'écrit $a\times10^n$ où $1\le a<10$ et $n$ est un entier relatif.

Exemple : $523\,000=5{,}23\times10^5$ ; $0{,}00042=4{,}2\times10^{-4}$.