Statistiques et probabilités

Ce chapitre couvre le programme de 3AC sur le thème « Statistiques et probabilités ».

Objectifs du chapitre

Comprendre les notions clés du chapitre « Statistiques et probabilités »
Appliquer les méthodes vues en cours sur des exercices
Résoudre des problèmes concrets liés au chapitre

Statistiques

Vocabulaire statistique, représentations graphiques, moyenne, médiane et étendue d'une série statistique.

I. Vocabulaire statistique

Définitions : la population est l'ensemble des éléments étudiés ; chaque élément est un individu. Le caractère est la propriété étudiée (quantitatif ou qualitatif). L'effectif d'une valeur est le nombre d'individus qui la présentent ; l'effectif total est le nombre total d'individus. La fréquence d'une valeur est le quotient de son effectif par l'effectif total (souvent en %).

II. Représentations graphiques

Une série statistique peut être représentée par un diagramme en bâtons, un diagramme circulaire (ou semi-circulaire), ou un histogramme lorsque les données sont regroupées en classes.

III. Moyenne, médiane et étendue

Moyenne : quotient de la somme des valeurs par l'effectif total. Pour des valeurs $x_i$ d'effectifs $n_i$ : $\text{Moyenne}=\dfrac{n_1x_1+n_2x_2+\ldots+n_kx_k}{n_1+n_2+\ldots+n_k}$.

Exemple : notes de 10 élèves : $8(\times2)$, $12(\times5)$, $16(\times3)$. Moyenne $=\dfrac{2\times8+5\times12+3\times16}{10}=\dfrac{124}{10}=12{,}4$.

Médiane : pour une série ordonnée, valeur qui la partage en deux groupes de même effectif.

Étendue : différence entre la plus grande et la plus petite valeur de la série.

Exemple : série $5;7;7;9;12;14;15$ (effectif 7, impair) : médiane $=9$ (valeur du milieu) ; étendue $=15-5=10$.

Exercices

Faciles

Exercice 1 — Effectif, fréquences et moyenne — âges des adhérents

Facile 15 min

Un club sportif a relevé les âges de 30 adhérents : Âge 12 ; 13 ; 14 ; 15 — Effectif 6 ; 10 ; 9 ; 5. 1. Quel est l'effectif total ? 2. Calculer la fréquence de chaque âge. 3. Calculer l'âge moyen des adhérents.

1. Effectif total $=6+10+9+5=30$.

2. $12$ ans : $\frac6{30}=20\%$ ; $13$ ans : $\frac{10}{30}\approx33{,}3\%$ ; $14$ ans : $\frac9{30}=30\%$ ; $15$ ans : $\frac5{30}\approx16{,}7\%$.

3. Âge moyen $=\dfrac{12\times6+13\times10+14\times9+15\times5}{30}=\dfrac{403}{30}\approx13{,}43$ ans.

Exercice 2 — Comparer la dispersion de deux séries

Facile 10 min

Deux séries statistiques ont la même moyenne 12. La série A a pour étendue 4 et la série B a pour étendue 16. Que peut-on dire de la dispersion des valeurs de chaque série ?

Les deux séries ont la même moyenne ($12$), mais la série B (étendue $16$) a des valeurs beaucoup plus dispersées autour de la moyenne que la série A (étendue $4$), qui est plus homogène.

Moyens

Exercice 1 — Moyenne, médiane et étendue d'une série de notes

Moyen 15 min

Les notes sur 20 obtenues par une classe sont : $8;10;10;12;13;14;14;14;16;18$. 1. Calculer la moyenne de la classe. 2. Déterminer la médiane. 3. Calculer l'étendue des notes.

1. Moyenne $=\dfrac{8+10+10+12+13+14+14+14+16+18}{10}=\dfrac{129}{10}=12{,}9$.

2. La série (déjà ordonnée) compte 10 valeurs. La médiane est la moyenne des 5ᵉ et 6ᵉ valeurs : $\dfrac{13+14}2=13{,}5$.

3. Étendue $=18-8=10$.

Exercice 2 — Fréquences et diagramme circulaire — moyens de transport

Moyen 20 min

Dans une entreprise de 40 employés, 15 utilisent la voiture, 12 le bus, 8 le vélo et 5 marchent à pied. 1. Calculer la fréquence de chaque moyen de transport. 2. Représenter ces données par un diagramme circulaire (préciser les angles).

1. Voiture : $\frac{15}{40}=37{,}5\%$ ; bus : $\frac{12}{40}=30\%$ ; vélo : $\frac8{40}=20\%$ ; pied : $\frac5{40}=12{,}5\%$.

2. Angles : voiture $0{,}375\times360=135°$ ; bus $0{,}30\times360=108°$ ; vélo $0{,}20\times360=72°$ ; pied $0{,}125\times360=45°$ (somme $=360°$).

Exercice 3 — Effectif total et histogramme — notes regroupées par classes

Moyen 15 min

Le tableau suivant donne les notes de 20 élèves, regroupées par classes : $[0;5[$ : 2 élèves ; $[5;10[$ : 5 élèves ; $[10;15[$ : 9 élèves ; $[15;20]$ : 4 élèves. 1. Quel est l'effectif total ? 2. Représenter cette série par un histogramme.

1. Effectif total $=2+5+9+4=20$.

2. L'histogramme comporte 4 rectangles, de largeurs correspondant aux classes $[0;5[$, $[5;10[$, $[10;15[$ et $[15;20]$, et de hauteurs proportionnelles aux effectifs $2$, $5$, $9$ et $4$.

Quiz — Quiz — Statistiques (12 questions)

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