Trigonométrie

Ce chapitre couvre le programme de 3AC sur le thème « Trigonométrie ».

Objectifs du chapitre

Comprendre les notions clés du chapitre « Trigonométrie »
Appliquer les méthodes vues en cours sur des exercices
Résoudre des problèmes concrets liés au chapitre

Trigonométrie dans le triangle rectangle

Cosinus, sinus et tangente d'un angle aigu, calcul de longueurs et de mesures d'angles dans un triangle rectangle.

I. Cosinus, sinus et tangente d'un angle aigu

Définition : dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, pour l'angle aigu $\hat B$ :

$\cos\hat B=\dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}=\dfrac{AB}{BC}$ ; $\sin\hat B=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}=\dfrac{AC}{BC}$ ; $\tan\hat B=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}=\dfrac{AC}{AB}$

Exemple : $AB=4$, $AC=3$, $BC=5$ : $\cos\hat B=0{,}8$ ; $\sin\hat B=0{,}6$ ; $\tan\hat B=0{,}75$.

Remarque : pour tout angle aigu $\hat x$ : $0<\cos\hat x<1$ et $0<\sin\hat x<1$. Relation fondamentale : $\cos^2\hat x+\sin^2\hat x=1$. Et $\tan\hat x=\dfrac{\sin\hat x}{\cos\hat x}$.

II. Calcul de longueurs

Méthode : connaissant un angle aigu et un côté, on calcule les autres côtés à l'aide de $\cos$, $\sin$, $\tan$.

Exemple : $\hat B=40°$, $BC=8$ cm : $AB=BC\times\cos40°\approx6{,}13$ cm.

III. Calcul de mesures d'angles

Méthode : connaissant deux côtés, on calcule un angle aigu à l'aide de la calculatrice ($\cos^{-1}$, $\sin^{-1}$ ou $\tan^{-1}$).

Exemple : $AB=5$, $BC=8$ : $\cos\hat B=0{,}625$, donc $\hat B\approx51{,}3°$.

Exercices

Faciles

Exercice 1 — Calculer cos, sin et tan

Facile 10 min

ABC est un triangle rectangle en A tel que $AB=3$ cm, $AC=4$ cm et $BC=5$ cm. Calculer $\cos\hat B$, $\sin\hat B$ et $\tan\hat B$.

$\cos\hat B=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac35=0{,}6$. $\sin\hat B=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac45=0{,}8$. $\tan\hat B=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac43\approx1{,}33$.

Moyens

Exercice 1 — Calculer des longueurs à partir d'un angle

Moyen 15 min

ABC est un triangle rectangle en A tel que $\hat B=35°$ et $BC=12$ cm. Calculer $AB$ et $AC$ (arrondir au dixième de cm).

$AB=BC\times\cos(35°)\approx12\times0{,}819\approx9{,}8$ cm.

$AC=BC\times\sin(35°)\approx12\times0{,}574\approx6{,}9$ cm.

Exercice 2 — Calculer la mesure d'un angle

Moyen 10 min

ABC est un triangle rectangle en A tel que $AB=5$ cm et $BC=9$ cm. Calculer la mesure de l'angle $\hat B$ (arrondir au degré).

$\cos\hat B=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac59\approx0{,}556$.

$\hat B=\cos^{-1}(0{,}556)\approx56°$ (à l'aide de la calculatrice).

Exercice 3 — Problème — hauteur atteinte par une échelle

Moyen 15 min

Une échelle de 5 m de long est appuyée contre un mur et fait un angle de 65° avec le sol. 1. Calculer la hauteur atteinte par l'échelle sur le mur. 2. Calculer la distance entre le pied de l'échelle et le mur.

1. Hauteur $=5\times\sin(65°)\approx5\times0{,}906\approx4{,}5$ m.

2. Distance au mur $=5\times\cos(65°)\approx5\times0{,}423\approx2{,}1$ m.

Exercice 4 — Utiliser la relation fondamentale

Moyen 10 min

Sachant que $\cos\hat x=0{,}6$ pour un angle aigu $\hat x$, calculer $\sin\hat x$ à l'aide de la relation fondamentale, puis calculer $\tan\hat x$.

$\sin^2\hat x=1-\cos^2\hat x=1-0{,}36=0{,}64$, donc $\sin\hat x=\sqrt{0{,}64}=0{,}8$.

$\tan\hat x=\dfrac{\sin\hat x}{\cos\hat x}=\dfrac{0{,}8}{0{,}6}\approx1{,}33$ (soit $\dfrac43$).

Difficiles

Exercice 1 — Problème — distance d'observation depuis une falaise

Difficile 15 min

Depuis le sommet d'une falaise de 45 m de haut, l'angle d'observation d'un bateau au niveau de la mer est de 20° (angle formé avec l'horizontale). Calculer la distance entre le pied de la falaise et le bateau (arrondir au mètre).

$\tan(20°)=\dfrac{\text{hauteur}}{\text{distance}}$, donc distance $=\dfrac{45}{\tan(20°)}\approx\dfrac{45}{0{,}364}\approx123{,}6\approx124$ m.

Quiz — Quiz — Trigonométrie dans le triangle rectangle (12 questions)

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