Calcul numérique

I. Comparaison des nombres rationnels

Propriété : soient $\frac ab$ et $\frac cb$ deux nombres rationnels de même dénominateur $b>0$ : $\dfrac ab\le\dfrac cb\iff a\le c$.

Pour comparer deux nombres rationnels de dénominateurs différents, on les réduit d'abord au même dénominateur (positif), puis on compare les numérateurs.

Exemple : $-\dfrac56=-\dfrac{10}{12}$ et $-\dfrac34=-\dfrac9{12}$ ; comme $-10<-9$, on a $-\dfrac56<-\dfrac34$.

Remarque : tout nombre rationnel positif est supérieur à tout nombre rationnel négatif ; $0$ est supérieur à tout rationnel négatif et inférieur à tout rationnel positif.

II. Addition et soustraction des nombres rationnels

1. Même dénominateur

Règle : $\dfrac ab+\dfrac cb=\dfrac{a+c}b$   ;   $\dfrac ab-\dfrac cb=\dfrac{a-c}b$.

2. Dénominateurs différents

Règle : on réduit d'abord au même dénominateur (le plus souvent leur PPCM), puis on applique la règle précédente. Exemple : $\dfrac23-\dfrac54=\dfrac8{12}-\dfrac{15}{12}=-\dfrac7{12}$.

III. Multiplication et division des nombres rationnels

1. Multiplication

Règle : $\dfrac ab\times\dfrac cd=\dfrac{a\times c}{b\times d}$ ($b\ne0$, $d\ne0$). Règle des signes : produit de même signe = positif ; signes différents = négatif.

2. Inverse et division

Définition : deux nombres rationnels non nuls sont inverses si leur produit vaut $1$. L'inverse de $\dfrac ab$ est $\dfrac ba$.

Règle : $\dfrac ab\div\dfrac cd=\dfrac ab\times\dfrac dc$ (avec $c\ne0$).

IV. Priorité des opérations et distributivité

Règle (priorités) : 1) parenthèses (des plus intérieures aux plus extérieures) ; 2) multiplications et divisions, de gauche à droite ; 3) additions et soustractions, de gauche à droite.

Propriété (distributivité) : $a\times(b+c)=a\times b+a\times c$   ;   $a\times(b-c)=a\times b-a\times c$.

Exemple : $5\times\left(3-\dfrac15\right)=5\times3-5\times\dfrac15=15-1=14$.