Géométrie dans l'espace : la sphère et la boule

Définitions de la sphère et de la boule, aire d'une sphère, volume d'une boule, problèmes concrets.

Se connecter pour suivre sa progression

Objectifs du chapitre

Connaître les définitions de la sphère et de la boule.
Calculer l'aire d'une sphère.
Calculer le volume d'une boule.
Résoudre des problèmes concrets liés à la sphère et à la boule.

La sphère et la boule

Définitions de la sphère et de la boule, aire d'une sphère, volume d'une boule.

I. La sphère et la boule

Définitions : pour $O$ un point de l'espace et $r$ un nombre positif :

La sphère de centre $O$ et de rayon $r$ est l'ensemble des points de l'espace situés à la distance $r$ de $O$.

La boule de centre $O$ et de rayon $r$ est l'ensemble des points situés à une distance de $O$ inférieure ou égale à $r$ (la sphère et son intérieur).

Remarque : l'intersection d'une sphère avec un plan est soit un point (plan tangent), soit un cercle (plan sécant), soit vide (plan trop éloigné du centre).

II. Aire d'une sphère

Propriété : l'aire $A$ d'une sphère de rayon $r$ est $A=4\pi r^2$.

Exemple : $r=5$ cm : $A=4\times\pi\times5^2=100\pi\approx314{,}16$ cm².

III. Volume d'une boule

Propriété : le volume $V$ d'une boule de rayon $r$ est $V=\dfrac43\pi r^3$.

Exemple : $r=3$ cm : $V=\dfrac43\times\pi\times3^3=36\pi\approx113{,}1$ cm³.

Exercices

Faciles

Exercice 1 — Calculer l'aire d'une sphère

Facile 10 min

Calculer l'aire d'une sphère de rayon 7 cm (valeur exacte en fonction de $\pi$, puis valeur arrondie au dixième).

$A=4\pi\times7^2=196\pi\approx615{,}75$ cm².

Moyens

Exercice 1 — Calculer le volume d'une boule à partir du diamètre

Moyen 15 min

Calculer le volume d'une boule de diamètre 10 cm (valeur exacte, puis valeur arrondie au centième).

Rayon $=10/2=5$ cm. $V=\dfrac43\pi\times5^3=\dfrac{500\pi}3\approx523{,}60$ cm³ (arrondi au centième).

Exercice 2 — Problème — volume et masse d'une boule de pétanque

Moyen 15 min

Une boule de pétanque en acier a un rayon de 3,75 cm. 1. Calculer son volume (arrondir au cm³). 2. Sachant que la masse volumique de l'acier est d'environ 7,8 g/cm³, calculer approximativement la masse de la boule.

1. $V=\dfrac43\pi\times3{,}75^3\approx\dfrac43\pi\times52{,}73\approx220{,}9\approx221$ cm³.

2. Masse $\approx221\times7{,}8\approx1723$ g $\approx1{,}72$ kg.

Exercice 3 — Effet d'un doublement du rayon

Moyen 10 min

Le rayon d'une sphère est doublé. Par quel facteur son aire est-elle multipliée ? Par quel facteur le volume de la boule correspondante est-il multiplié ?

L'aire dépend de $r^2$, elle est donc multipliée par $2^2=4$.

Le volume dépend de $r^3$, il est donc multiplié par $2^3=8$.

Exercice 4 — Problème — volume d'un réservoir sphérique

Moyen 15 min

Un réservoir sphérique a un rayon intérieur de 1,2 m. 1. Calculer le volume d'eau que peut contenir ce réservoir, en m³ (arrondir au centième). 2. Convertir ce volume en litres (1 m³ = 1000 L).

1. $V=\dfrac43\pi\times1{,}2^3=\dfrac43\pi\times1{,}728=2{,}304\pi\approx7{,}24$ m³.

2. $7{,}24$ m³ $\approx7\,240$ L.

Difficiles

Exercice 1 — Problème — volume comestible d'une orange

Difficile 15 min

Une orange assimilée à une boule a un diamètre de 8 cm. On enlève son écorce, qui représente environ 20% du volume total. Calculer le volume de la partie comestible (arrondir au cm³).

Rayon $=4$ cm. Volume total $=\dfrac43\pi\times4^3=\dfrac{256\pi}3\approx268{,}08$ cm³.

Partie comestible (80% du volume) $\approx0{,}8\times268{,}08\approx214{,}5\approx214$ cm³.

Quiz — Quiz — La sphère et la boule (12 questions)

Commentaires (0)

Connecte-toi pour laisser un commentaire.