Racines carrées

I. Définition de la racine carrée

Définition : pour $a$ positif, la racine carrée de $a$, notée $\sqrt a$, est le nombre positif dont le carré vaut $a$ : $(\sqrt a)^2=a$ avec $\sqrt a\ge0$. Si $a<0$, $\sqrt a$ n'existe pas.

Exemple : $\sqrt9=3$ car $3^2=9$ et $3\ge0$. $\sqrt0=0$. $\sqrt2\approx1{,}414$.

Remarque : pour $a$ positif, $\sqrt{a^2}=a$ ; pour $a$ quelconque, $\sqrt{a^2}=|a|$.

II. Propriétés des racines carrées

Produit : pour $a,b$ positifs : $\sqrt{a\times b}=\sqrt a\times\sqrt b$.

Quotient : pour $a$ positif et $b$ strictement positif : $\sqrt{a/b}=\sqrt a/\sqrt b$.

Exemple : $\sqrt{4\times9}=\sqrt4\times\sqrt9=2\times3=6$ ; $\sqrt{25/16}=\sqrt{25}/\sqrt{16}=5/4$.

III. Écriture simplifiée d'une racine carrée

Méthode : on écrit $a=b^2\times c$, où $b^2$ est le plus grand carré parfait divisant $a$. Alors $\sqrt a=\sqrt{b^2\times c}=b\sqrt c$.

Exemple : $\sqrt{75}=\sqrt{25\times3}=5\sqrt3$ ; $\sqrt{72}=\sqrt{36\times2}=6\sqrt2$.

IV. Calculs avec les racines carrées

Règle : on n'additionne (ou ne soustrait) que des racines carrées semblables : $a\sqrt c+b\sqrt c=(a+b)\sqrt c$.

Attention : en général, $\sqrt a+\sqrt b\ne\sqrt{a+b}$.

Exemple : $3\sqrt2+5\sqrt2=8\sqrt2$ ; $\sqrt8+\sqrt{18}=2\sqrt2+3\sqrt2=5\sqrt2$.

V. Rendre rationnel le dénominateur

Méthode : pour $\dfrac a{\sqrt b}$ ($b>0$), on multiplie numérateur et dénominateur par $\sqrt b$ : $\dfrac a{\sqrt b}=\dfrac{a\sqrt b}b$.

Exemple : $\dfrac5{\sqrt3}=\dfrac{5\sqrt3}{3}$.