Repérage dans le plan

Repère du plan, distance entre deux points, milieu d'un segment, lien entre fonction affine et repérage.

Objectifs du chapitre

Utiliser un repère du plan et lire des coordonnées.
Calculer la distance entre deux points dans un repère orthonormé.
Calculer les coordonnées du milieu d'un segment.
Relier une fonction affine à sa représentation graphique.

Repérage dans le plan

Repère du plan, distance entre deux points, milieu d'un segment, fonction affine et repérage.

I. Repère du plan

Définition : un repère du plan est formé d'un point $O$ (origine) et de deux droites graduées non parallèles passant par $O$ : l'axe des abscisses $(O;I)$ et l'axe des ordonnées $(O;J)$. À tout point $M$ on associe un couple unique $(x;y)$, noté $M(x;y)$.

Remarque : si les axes sont perpendiculaires, le repère est orthogonal ; si de plus les unités sont les mêmes, il est orthonormé.

II. Distance entre deux points

Propriété : dans un repère orthonormé $(O;I,J)$, pour $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ : $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$.

Exemple : $A(1;2)$, $B(4;6)$ : $AB=\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.

III. Milieu d'un segment

Propriété : dans un repère $(O;I,J)$, pour $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$, le milieu $K$ de $[AB]$ a pour coordonnées $x_K=\dfrac{x_A+x_B}2$, $y_K=\dfrac{y_A+y_B}2$.

Exemple : $A(-1;3)$, $B(5;-7)$ : $K=\left(\dfrac{-1+5}2;\dfrac{3-7}2\right)=(2;-2)$.

IV. Fonction affine et repérage

Dans un repère, la représentation graphique de $f(x)=ax+b$ est une droite. $a$ est le coefficient directeur (pente) : il indique la variation de $y$ quand $x$ augmente de 1. $b$ est l'ordonnée à l'origine.

Exercices

Faciles

Exercice 1 — Calculer le milieu d'un segment

Facile 10 min

Dans un repère $(O;I,J)$, on donne $A(-3;4)$ et $B(5;-2)$. Déterminer les coordonnées du milieu $K$ du segment $[AB]$.

$K=\left(\dfrac{-3+5}2;\dfrac{4-2}2\right)=(1;1)$.

Moyens

Exercice 1 — Déterminer un sommet d'un parallélogramme

Moyen 15 min

ABCD est un parallélogramme tel que $A(1;1)$, $B(4;2)$ et $C(5;5)$. Déterminer les coordonnées du point $D$ (on pourra utiliser le fait que les diagonales d'un parallélogramme ont le même milieu).

Milieu de $[AC]=\left(\dfrac{1+5}2;\dfrac{1+5}2\right)=(3;3)$. Comme $ABCD$ est un parallélogramme, le milieu de $[BD]$ est aussi $(3;3)$.

$\dfrac{4+D_x}2=3\Rightarrow D_x=2$. $\dfrac{2+D_y}2=3\Rightarrow D_y=4$.

$D(2;4)$.

Exercice 2 — Déterminer une abscisse inconnue à partir d'une distance

Moyen 15 min

Dans un repère orthonormé, soit $A(2;3)$ et $B(x;7)$ où $x$ est un nombre à déterminer. Sachant que $AB=5$, calculer les valeurs possibles de $x$.

$AB^2=(x-2)^2+(7-3)^2=(x-2)^2+16=25\Rightarrow(x-2)^2=9\Rightarrow x-2=\pm3$.

$x=5$ ou $x=-1$.

Exercice 3 — Déterminer une fonction affine et tester l'appartenance d'un point

Moyen 15 min

Une droite passe par les points $A(0;2)$ et $B(4;10)$. 1. Déterminer l'expression de la fonction affine associée à cette droite. 2. Le point $C(6;15)$ appartient-il à cette droite ? Justifier.

1. $a=\dfrac{10-2}{4-0}=\dfrac84=2$, et $b=2$ (ordonnée à l'origine, puisque $A(0;2)$). $f(x)=2x+2$.

2. $f(6)=2\times6+2=14\ne15$ : le point $C$ n'appartient pas à la droite.

Difficiles

Exercice 1 — Calculer des distances et déterminer la nature d'un triangle

Difficile 20 min

Dans un repère orthonormé $(O;I,J)$, on donne $A(1;5)$, $B(-3;2)$ et $C(4;-1)$. 1. Calculer les distances $AB$, $AC$ et $BC$. 2. En déduire la nature du triangle $ABC$.

1. $AB=\sqrt{(-3-1)^2+(2-5)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$.

$AC=\sqrt{(4-1)^2+(-1-5)^2}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}=3\sqrt5\approx6{,}71$.

$BC=\sqrt{(4-(-3))^2+(-1-2)^2}=\sqrt{49+9}=\sqrt{58}\approx7{,}62$.

2. On vérifie que $AB^2+AC^2=25+45=70\ne58=BC^2$ (et de même pour les autres combinaisons) : le triangle n'est pas rectangle. Comme les trois côtés sont différents, c'est un triangle quelconque (scalène).

Quiz — Quiz — Repérage dans le plan (12 questions)

Commentaires (0)

Connecte-toi pour laisser un commentaire.