Les nombres relatifs - repérage et comparaison

I. Découverte des nombres relatifs

Pour indiquer une température en dessous de zéro, une altitude sous le niveau de la mer, ou une dette, on utilise des nombres précédés d'un signe $-$ : ce sont des nombres négatifs. Les nombres précédés du signe $+$ (ou sans signe) sont des nombres positifs.

Exemple : une température de $5$ degrés en dessous de zéro s'écrit $-5$. Une altitude de $3000$ m s'écrit $+3000$.

Définition : l'ensemble des nombres positifs et négatifs (le zéro étant à la fois positif et négatif) forme l'ensemble des nombres relatifs.

II. La droite graduée

On trace une droite, on choisit un point origine $O$ et une unité de longueur. Chaque point de la droite est repéré par un nombre relatif appelé son abscisse.

Exemple : si $A$ a pour abscisse $-3$, on note $A(-3)$. Le point $A$ est placé à $3$ unités à gauche de l'origine $O$.

Remarque : sur une droite graduée, les nombres positifs sont placés à droite de l'origine, les nombres négatifs à gauche.

III. Nombres opposés

Définition : deux nombres relatifs sont opposés lorsqu'ils ont la même distance à zéro mais des signes contraires. L'opposé de $a$ se note $-a$.

Exemple : l'opposé de $+7$ est $-7$ ; l'opposé de $-4{,}5$ est $+4{,}5$.

Sur une droite graduée, deux points d'abscisses opposées sont symétriques par rapport à l'origine $O$.

IV. Distance à zéro

Définition : la distance à zéro d'un nombre relatif est la distance entre le point qui le représente et l'origine $O$ sur la droite graduée. C'est toujours un nombre positif.

Exemple : la distance à zéro de $-6$ est $6$ ; la distance à zéro de $+2{,}5$ est $2{,}5$.

V. Comparaison des nombres relatifs

Règles :

• Tout nombre positif est supérieur à tout nombre négatif.

• Zéro est supérieur à tout nombre négatif et inférieur à tout nombre positif.

• Pour comparer deux nombres positifs, on compare leur distance à zéro : le plus grand est celui qui a la plus grande distance à zéro.

• Pour comparer deux nombres négatifs, on compare leur distance à zéro : le plus grand est celui qui a la plus petite distance à zéro.

Exemple : $+3<+8$ (distances $3<8$). $-8<-3$ (distances $8>3$, donc $-8$ est le plus petit). $-5<0<+2$.

Sur la droite graduée : plus un point est à droite, plus son abscisse est grande.

VI. Rangement de nombres relatifs

Exemple : ranger dans l'ordre croissant : $-4\ ;\ +2\ ;\ -7\ ;\ 0\ ;\ +5\ ;\ -1$.

Ordre croissant : $-7<-4<-1<0<+2<+5$.