Les triangles

I. Vocabulaire du triangle

Un triangle est une figure formée par trois points non alignés, appelés sommets, et les trois segments qui les relient, appelés côtés. Le triangle de sommets $A$, $B$, $C$ se note $ABC$.

Le périmètre d'un triangle est la somme des longueurs de ses trois côtés.

II. Inégalité triangulaire

Propriété : dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.

Pour un triangle $ABC$ : $AB

Utilité : cette propriété permet de savoir si un triangle de côtés donnés est constructible.

Exemple : peut-on construire un triangle de côtés $3$ cm, $4$ cm et $9$ cm ? On vérifie : $3+4=7<9$. L'inégalité n'est pas vérifiée, donc ce triangle n'existe pas.

III. Construction d'un triangle connaissant ses trois côtés

Méthode : on trace d'abord un côté à la règle. Puis, à l'aide du compas, on trace un arc de cercle centré à chaque extrémité, de rayon égal aux deux autres côtés. Le troisième sommet est le point d'intersection des deux arcs.

IV. Triangle isocèle

Définition : un triangle est isocèle lorsqu'il a (au moins) deux côtés de même longueur.

Vocabulaire : le troisième côté s'appelle la base, et le sommet opposé à la base est le sommet principal.

Propriété : un triangle isocèle a un axe de symétrie : la médiatrice de sa base, qui passe aussi par le sommet principal.

V. Triangle équilatéral

Définition : un triangle est équilatéral lorsque ses trois côtés ont la même longueur.

Propriété : un triangle équilatéral a $3$ axes de symétrie (les médiatrices de ses trois côtés).

VI. Triangle rectangle

Définition : un triangle est rectangle lorsqu'il possède un angle droit. Le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse ; c'est le plus long côté du triangle.

Construction : on peut construire un triangle rectangle à l'aide d'une équerre pour tracer l'angle droit.

VII. Somme des angles d'un triangle

Propriété (admise) : dans tout triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à $180°$.

Exemple : dans un triangle $ABC$, si $\widehat A=50°$ et $\widehat B=70°$, alors $\widehat C=180-50-70=60°$.