La symétrie axiale

I. Symétrique d'un point par rapport à une droite

Définition : soit $(d)$ une droite et $M$ un point n'appartenant pas à $(d)$. Le symétrique de $M$ par rapport à $(d)$ est le point $M'$ tel que $(d)$ soit la médiatrice du segment $[MM']$.

Remarque : si $M$ appartient à $(d)$, alors $M$ est son propre symétrique : $M'=M$.

Construction à l'équerre : on trace la perpendiculaire à $(d)$ passant par $M$, elle coupe $(d)$ en un point $H$ ; on place $M'$ sur cette perpendiculaire tel que $HM'=HM$, de l'autre côté de $(d)$.

II. Symétrique d'un segment et d'une droite

Propriété : le symétrique d'un segment $[AB]$ par rapport à une droite $(d)$ est le segment $[A'B']$, où $A'$ et $B'$ sont les symétriques respectifs de $A$ et $B$. De plus, $A'B'=AB$ (la longueur est conservée).

Propriété : le symétrique d'une droite par rapport à $(d)$ est une droite.

III. Propriétés de la symétrie axiale

La symétrie axiale conserve :

• les longueurs (le symétrique d'un segment a la même longueur) ;

• les angles (le symétrique d'un angle a la même mesure) ;

• les aires et les périmètres des figures ;

• l'alignement des points et le parallélisme des droites.

IV. Symétrique de figures usuelles

Le symétrique d'un cercle de centre $O$ et de rayon $r$ est un cercle de même rayon $r$, dont le centre est le symétrique de $O$.

Le symétrique d'un triangle (ou de tout polygone) est un triangle (ou un polygone) superposable au premier, obtenu en construisant le symétrique de chacun de ses sommets.

V. Axe de symétrie d'une figure

Définition : une droite $(d)$ est un axe de symétrie d'une figure lorsque le symétrique de cette figure par rapport à $(d)$ est la figure elle-même.

Exemples : un cercle a une infinité d'axes de symétrie (toutes les droites passant par son centre). Un carré a $4$ axes de symétrie. Un triangle isocèle a $1$ axe de symétrie. Un triangle équilatéral a $3$ axes de symétrie.