Fonctions linéaires et affines

I. Fonction linéaire

Définition : pour $a$ rationnel, la fonction qui à tout $x$ associe $a\times x$ est une fonction linéaire de coefficient $a$, notée $f:x\mapsto ax$. On note $f(x)=ax$ l'image de $x$ par $f$.

Exemple : $f(x)=3x$ : $f(2)=6$, $f(-1)=-3$.

Remarque : la représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine du repère.

II. Fonction affine

Définition : pour $a,b$ rationnels, la fonction $f:x\mapsto ax+b$ est une fonction affine. Si $b=0$, $f$ est linéaire ; si $a=0$, $f$ est constante.

Exemple : $f(x)=2x-3$ : $f(1)=-1$, $f(0)=-3$.

Remarque : la représentation graphique de $x\mapsto ax+b$ est une droite qui coupe l'axe des ordonnées au point $(0;b)$.

III. Détermination d'une fonction affine

Propriété : une fonction affine $f:x\mapsto ax+b$ est entièrement déterminée par les images de deux nombres distincts $x_1$ et $x_2$ : $a=\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$.

Exemple : $f(1)=5$, $f(3)=9$ : $a=\dfrac{9-5}{3-1}=2$, puis $5=2\times1+b\Rightarrow b=3$. Donc $f(x)=2x+3$.