Calcul littéral et équations

Ce chapitre couvre le programme de 3AC sur le thème « Calcul littéral et équations ».

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Objectifs du chapitre

Comprendre les notions clés du chapitre « Calcul littéral et équations »
Appliquer les méthodes vues en cours sur des exercices
Résoudre des problèmes concrets liés au chapitre

Calcul littéral, identités remarquables et équations

Développement, identités remarquables, factorisation, équations et inéquations du premier degré à une inconnue.

I. Développement et réduction

Règle (double distributivité) : $(a+b)(c+d)=a\times c+a\times d+b\times c+b\times d$.

Exemple : $(x+3)(2x-5)=2x^2-5x+6x-15=2x^2+x-15$.

II. Les identités remarquables

Propriété : pour tous nombres $a$ et $b$ :

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ ; $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ ; $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

Exemple : $(x+3)^2=x^2+6x+9$ ; $(2x-1)(2x+1)=4x^2-1$.

III. Factorisation

Factoriser une expression, c'est l'écrire sous forme d'un produit de facteurs, en utilisant :

• le facteur commun : $ac+bc=c(a+b)$

• les identités remarquables « à l'envers » : $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ ; $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$ ; $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$.

Exemple : $9x^2-4=(3x)^2-2^2=(3x-2)(3x+2)$.

IV. Équations du premier degré à une inconnue

Propriétés : on ne change pas les solutions d'une équation en ajoutant (ou retranchant) un même nombre aux deux membres, ou en multipliant (ou divisant) les deux membres par un même nombre non nul.

Exemple : $2x+5=3x-1\iff2x-3x=-1-5\iff-x=-6\iff x=6$.

V. Mise en équation d'un problème

Méthode : 1) choisir l'inconnue (souvent $x$) ; 2) traduire les données par une équation ; 3) résoudre l'équation ; 4) vérifier et conclure dans le contexte du problème.

VI. Inéquations du premier degré à une inconnue

Propriétés : on ne change pas le sens d'une inégalité en ajoutant/retranchant un même nombre, ou en multipliant/divisant par un nombre strictement positif. On change le sens en multipliant/divisant par un nombre strictement négatif.

Exemple : $-2x+3>7\iff-2x>4\iff x<-2$ (le sens change en divisant par $-2$).

Exercices

Faciles

Exercice 1 — Développer et réduire

Facile 15 min

Développer et réduire les expressions suivantes : $A=4(2x-3)+5(x+1)$ ; $B=(x+2)(x-5)$ ; $C=(2x-3)(4-x)$.

$A=8x-12+5x+5=13x-7$.

$B=x^2-5x+2x-10=x^2-3x-10$.

$C=8x-2x^2-12+3x=-2x^2+11x-12$.

Exercice 2 — Problème — trois nombres consécutifs

Facile 10 min

La somme de trois nombres entiers consécutifs est égale à 96. Calculer ces trois nombres.

Soit $x$ le plus petit des trois nombres : $x+(x+1)+(x+2)=96\iff3x+3=96\iff x=31$.

Les trois nombres sont 31, 32 et 33.

Moyens

Exercice 1 — Identités remarquables

Moyen 15 min

Développer à l'aide des identités remarquables : $D=(x+4)^2$ ; $E=(2x-5)^2$ ; $F=(3x+1)(3x-1)$ ; $G=(x-2)^2-(x+2)^2$.

$D=x^2+8x+16$.

$E=4x^2-20x+25$.

$F=9x^2-1$.

$G=(x^2-4x+4)-(x^2+4x+4)=-8x$.

Exercice 2 — Factoriser des expressions

Moyen 15 min

Factoriser les expressions suivantes : $H=3x+12$ ; $I=x^2-49$ ; $J=9x^2-6x+1$ ; $K=(3x-1)(x+5)+(3x-1)$.

$H=3(x+4)$.

$I=(x-7)(x+7)$.

$J=(3x-1)^2$.

$K=(3x-1)(x+5+1)=(3x-1)(x+6)$.

Exercice 3 — Démonstration avec une identité remarquable

Moyen 10 min

Montrer que pour tout nombre $x$ : $(x+2)^2-(x-2)^2=8x$.

$(x+2)^2-(x-2)^2=(x^2+4x+4)-(x^2-4x+4)=8x$. L'égalité est bien vérifiée pour tout nombre $x$.

Exercice 4 — Résoudre des équations

Moyen 15 min

Résoudre les équations suivantes : $A:4x-5=2x+7$ ; $B:3(2x-1)=5x+4$ ; $C:\dfrac{2x+1}3=\dfrac{x-2}2$.

$A:2x=12\iff x=6$.

$B:6x-3=5x+4\iff x=7$.

$C:2(2x+1)=3(x-2)\iff4x+2=3x-6\iff x=-8$.

Exercice 5 — Résoudre des inéquations

Moyen 15 min

Résoudre les inéquations suivantes : $D:5x-2\ge3x+6$ ; $E:-3x+1<2x-9$ ; $F:\dfrac x2-3\le1$.

$D:2x\ge8\iff x\ge4$.

$E:-5x<-10\iff x>2$ (le sens change en divisant par $-5$).

$F:\dfrac x2\le4\iff x\le8$.

Exercice 6 — Problème — âges

Moyen 15 min

Un père a 36 ans et son fils a 8 ans. Dans combien d'années l'âge du père sera-t-il le triple de l'âge du fils ?

Dans $x$ années : $36+x=3(8+x)\iff36+x=24+3x\iff12=2x\iff x=6$.

Dans 6 ans, l'âge du père sera le triple de celui du fils.

Exercice 7 — Problème — encadrement d'un prix de vente

Moyen 15 min

Un commerçant achète un article à 150 dh et souhaite le revendre avec un bénéfice supérieur à 45 dh, tout en gardant un prix de vente inférieur à 220 dh. Déterminer, sous forme d'un encadrement, les prix de vente possibles.

Bénéfice supérieur à 45 dh $\Rightarrow$ prix de vente supérieur à $150+45=195$ dh.

Prix de vente inférieur à 220 dh.

Encadrement : $195<\text{prix de vente}<220$ (en dh).

Difficiles

Exercice 1 — Développer, factoriser et évaluer E(x)

Difficile 20 min

Soit $E(x)=(x+3)^2-(x-1)(x+3)$. 1. Développer et réduire $E(x)$. 2. Factoriser $E(x)$. 3. Calculer $E(2)$ de deux façons différentes.

1. $E(x)=(x^2+6x+9)-(x^2+2x-3)=4x+12$.

2. $E(x)=(x+3)[(x+3)-(x-1)]=(x+3)\times4=4(x+3)$.

3. Forme développée : $E(2)=4\times2+12=20$. Forme factorisée : $E(2)=4\times(2+3)=4\times5=20$. On retrouve bien le même résultat.

Exercice 2 — Développer, factoriser et résoudre F(x)=0

Difficile 20 min

On considère $F(x)=4x^2-1+(2x-1)(x+3)$. 1. Développer et réduire $F(x)$. 2. Factoriser $F(x)$. 3. Résoudre l'équation $F(x)=0$.

1. $F(x)=(4x^2-1)+(2x^2+5x-3)=6x^2+5x-4$.

2. On remarque que $4x^2-1=(2x-1)(2x+1)$, donc $F(x)=(2x-1)(2x+1)+(2x-1)(x+3)=(2x-1)[(2x+1)+(x+3)]=(2x-1)(3x+4)$.

3. $F(x)=0\iff(2x-1)(3x+4)=0\iff2x-1=0$ ou $3x+4=0\iff x=\dfrac12$ ou $x=-\dfrac43$.

Exercice 3 — Système d'inéquations

Difficile 15 min

Résoudre le système d'inégalités suivant, puis représenter l'ensemble des solutions communes sur une droite graduée : $2x-1\le5$ et $3x+2>-4$.

$2x-1\le5\iff2x\le6\iff x\le3$.

$3x+2>-4\iff3x>-6\iff x>-2$.

Solutions communes : $-2

Quiz — Quiz — Calcul littéral et équations (17 questions)

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