Les nombres décimaux

I. Écriture d'un nombre décimal

Définition : un nombre décimal est composé d'une partie entière et d'une partie décimale, séparées par une virgule. Exemple : dans $27{,}345$, la partie entière est $27$ et la partie décimale est $345$.

Valeur des chiffres : chaque chiffre a une valeur qui dépend de sa position.

$27{,}345$ : $2$ dizaines, $7$ unités, $3$ dixièmes, $4$ centièmes, $5$ millièmes.

Remarque : on peut ajouter ou enlever des zéros inutiles à la fin de la partie décimale sans changer la valeur du nombre : $3{,}50=3{,}5$ et $8=8{,}0$.

II. Comparaison et rangement

Méthode : pour comparer deux nombres décimaux, on compare d'abord leur partie entière ; si elles sont égales, on compare chiffre par chiffre la partie décimale (en complétant avec des zéros si nécessaire).

Exemple : comparer $5{,}42$ et $5{,}4$. On écrit $5{,}4=5{,}40$. Comme $42>40$, on a $5{,}42>5{,}4$.

Rangement croissant : ranger $3{,}6\ ;\ 3{,}09\ ;\ 3{,}64\ ;\ 3{,}1$ dans l'ordre croissant donne $3{,}09<3{,}1<3{,}6<3{,}64$.

III. Addition et soustraction des nombres décimaux

Méthode : on aligne les virgules les unes sous les autres (donc les chiffres de même rang), puis on additionne ou on soustrait comme pour les nombres entiers.

Exemple : $12{,}7+3{,}45$. On aligne : $12{,}70+3{,}45=16{,}15$.

Exemple : $9{,}2-4{,}67=4{,}53$.

IV. Multiplication des nombres décimaux

Méthode : on multiplie les deux nombres comme s'ils étaient entiers (en ignorant les virgules), puis on place la virgule dans le résultat de sorte que le nombre de chiffres après la virgule soit égal à la somme des chiffres après la virgule des deux facteurs.

Exemple : $2{,}3\times1{,}4$. On calcule $23\times14=322$. Il y a $1+1=2$ chiffres après la virgule au total, donc $2{,}3\times1{,}4=3{,}22$.

Multiplier par $10$, $100$, $1000$ : on déplace la virgule vers la droite d'autant de rangs que de zéros. $4{,}25\times100=425$.

V. Division d'un nombre décimal

Diviser par $10$, $100$, $1000$ : on déplace la virgule vers la gauche. $53{,}8\div100=0{,}538$.

Division décimale : lorsque la division de deux nombres entiers ne « tombe pas juste », on poursuit le calcul en ajoutant des zéros après la virgule au dividende pour obtenir un quotient décimal exact ou une valeur approchée.

Exemple : $15\div4=3{,}75$ (quotient exact). $10\div3\approx3{,}33$ (valeur approchée au centième près).

VI. Ordre de grandeur et arrondi

Arrondir un nombre décimal à une position donnée, c'est remplacer ce nombre par la valeur la plus proche possédant ce nombre de chiffres après la virgule.

Exemple : $7{,}268$ arrondi au dixième est $7{,}3$ (car le chiffre des centièmes, $6$, est $\ge5$) ; arrondi au centième, il vaut $7{,}27$.